Лекция 1

Лекция 1 1

1.1. Некоторые сведения о последовательностях 1

1.2. Числовой ряд. Основные понятия теории числовых рядов: сходимость, расходимость, сумма ряда. Примеры 1

1.3. Основные свойства сходящихся рядов, необходимый признак сходимости 3

1.4. Знакопостоянные ряды, ряды с положительными членами 5

1.5. Интегральный признак Коши сходимости ряда с положительными членами 5

1.1. Некоторые сведения о последовательностях

Пусть каждому значению поставлено в соответствие (по определенным правилам) определенное действительное число; тогда множество упорядоченных действительных чиселназываетсячисловой последовательностью и обозначается , где− общий член последовательности. Например, последовательностьимеет общий член, где.

Определение 1. Последовательность называетсяубывающей (возрастающей), если .

Определение 2. Последовательность называется ограниченной сверху (ограниченной снизу), если существует такое число М, , что:.

Определение 3. Последовательность называетсяограниченной, если она ограничена как снизу, так и сверху, т.е. существует такое число М > 0 (), что.

Определение 4. Число а называется пределом последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется такой номер , зависящий от, что для всех натуральных чисел выполняется неравенство, т.е.означает, что. При этом говорят, что последовательностьсходится ка.

Приведем некоторые свойства сходящихся последовательностей.

1^о. Если последовательность имеет предел, то он единственен.

2^о. Если последовательность имеет конечный предел, то эта последовательность ограничена.

3^о. Если последовательность возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то она имеет конечный предел.

4^о. Если последовательность возрастает (убывает) и не ограничена сверху (снизу), то она имеет бесконечный предел +  (− ).

1.2. Числовой ряд. Основные понятия теории числовых рядов: сходимость, расходимость, сумма ряда. Примеры

Пусть задана бесконечная последовательность чисел .

Определение 5. Бесконечным числовым рядом называется выражение вида , обозначаемое как. Числаназываютсячленами (элементами) числового ряда.

Определение 6. Сумма первых n членов ряда называется n -ой частичной суммой ряда: .

Тогда и т.д. Получаем последовательность частичных сумм:. Таким образом, каждому числовому рядуможно поставить в соответствие последовательность частичных сумм:.

Определение 7. Пусть существует конечный или бесконечный предел S последовательности частичных сумм , то он называетсясуммой ряда , т.е.. Пусть числоS конечно (S < ), то ряд называется сходящимся; в противном случае, когда S =  или не существует, ряд называется расходящимся и суммы не имеет.

Итак, если дан ряд, то всегда можно поставить вопрос, сходится ли он (иными словами, существует ли конечный предел ) или расходится?

Приведем примеры исследования ряда на сходимость и нахождения его суммы.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд и найти его сумму.

Решение. Обозначим − общий член ряда. Тогда частичная сумма ряда. Так как, то., т.е. ряд сходится иS = 1.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд и найти его сумму.

Решение. Обозначим − общий член ряда. Тогда, частичная сумма ряда. Так как, то, тогда, т.е. ряд сходится и его сумма.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Обозначим − общий член ряда. Тогда, частичная сумма ряда,, т.е.и ряд расходится.

Пример 4. Рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии, и исследуем его на сходимость.

Решение. Пусть дана геометрическая прогрессия , гдеq − знаменатель прогрессии. Ряд называется рядом геометрической прогрессии. Обозначим− общий член ряда. Приn-частичная сумма этого ряда равна .

Рассмотрим частные случаи.

1^о. Если , то, т.е. ряд сходится.

2^о. Если , тоне существует, т.е. последовательностьрасходится, а значит, расходится и искомый ряд.

3^о. При ряд имеет вид. Тогда,, т.е. ряд расходится.

4^о. При ,ряд имеет вид, тогда, т.е. предела последовательностине существует, а значит, искомый ряд расходится.

Таким образом, ряд геометрической прогрессии сходится тогда и только тогда, когда , в остальных случаях ряд расходится.