Trojan_teplotechnic

21

cp = δqp/ dT,

(2.14)

равная отношению удельного количества теплоты δqp, сообщенной телу в процессе при постоянном давлении, к изменению температуры тела dT;

теплоемкость при постоянном объеме

cv = δqv/ dT,

(2.15)

равная отношению удельного количества теплоты δqv, подведенной к телу в процессе при постоянном объеме, к изменению температуры тела dT.

В соответствии с первым законом термодинамики для закрытых систем

δq= du + pdv.

С учетом соотношения (2.1)

δq = (∂u / ∂T )v dT +
+[(∂u / ∂v)T + p]dv .	(2.16)

Для изохорного процесса (v = const) это уравнение принимает вид:

δqv = (∂u / ∂T )v dT ,

и, учитывая (2.15), получаем, что

cv = (∂u / ∂T )v ,

(2.17)

т.е. теплоемкость тела при постоянном объеме равна частной производной от его внутренней энергии по температуре и характеризует темп роста внутренней энергии в изохорном процессе с ростом температуры.

С учетом (2.2) для идеального газа

cv = du/ dT.

(2.18)

Для изобарного процесса (р = const) из уравнений (2.16) и (2.14) получаем:

сp = (∂u / ∂T )v +[(∂u / ∂v)T + p]×

×(dν / dT) р ,

или

сp = сv +[(∂u / ∂v)T + p]×
×(dν / dT ) p .	(2.19)

Это уравнение показывает связь между теплоемкостями ср и сv. Для идеального газа оно значительно упрощается. Действительно, внутренняя энергия идеального газа определяется только его температурой и не зависит от объема, поэтому (ди/дv)T = 0 и, кроме того, из уравнения состояния (1.3) следует

р(дv/дТ)р = R, откуда

ср = сv + R.

(2.20)

Соотношение (2.20) называется

уравнением Майера и является одним из основных в технической термодинамике.

В процессе v = const теплота, сообщаемая газу, идет лишь на изменение его внутренней энергии, тогда как в процессе p = const теплота расходуется и на увеличение внутренней энергии и на совершение работы против внешних сил. Поэтому ср больше сv на величину этой работы. Следовательно, газовая постоянная R численно равна работе расширения одного килограмма газа при нагревании его при постоянном давлении на один кельвин.

Для реальных газов ср – сv > R, поскольку при расширении реальных газов (при p = const) совершается работа не только против внешних сил, но и против сил притяжения, действующих между молекулами, что вызывает дополнительный расход теплоты.

Обычно теплоемкости определяются экспериментально, но для многих веществ их можно рассчитать методами статистической физики.

Поскольку теплоемкость газа зависит от температуры, в термодинамике различают истинную и среднюю теплоемкости.

Средней теплоемкостью сm данного процесса в интервале температур от t1 до t2 называется отношение количества теплоты, сообщаемой газу, к разнос-

ти конечной и	начальной					температур
(t2 – t1):
с t2	= q /(t	2	−t	1	) .	(2.21)
m t
1

22

Для приближенных расчетов при невысоких температурах можно принимать следующие значения мольных теплоемкостей (смотри таблицу 2.1).

Выражение	Таблица 2.1
c = δq/ dT	(2.22)

определяет теплоемкость при данной температуре, или так называемую истин-

ную теплоемкость.

Из (2.22) следует, что

t2
q = ∫cdt ,	(2.23)

t1

поэтому

t2

cm tt12 = ∫cdt /(t2 −t1 ) .

t1

Для практических расчетов теплоемкости всех веществ сводят в таблицы, причем с целью сокращения объема таблиц средние теплоемкости приводят в них для интервала температур от 0 до t ˚C [2, 3].

Среднюю теплоемкость в интервале температур от t1 до t2 находят по формуле:

Теплоемкость смесей идеальных газов. Если смесь газов задана массовыми долями, то ее массовая теплоемкость определяется как сумма произведений массовых долей на массовую теплоемкость каждого компонента:

n	n
cv = ∑gi cvi ,	cp = ∑gi cpi . (2.26)
1	1

При задании смеси объемными долями объемная теплоемкость смеси

	n	n
сv′	= ∑ri cvi′ ,	с′p = ∑ri c′pi . (2.27)

с t2	=	cm t02 t2	− cm t01 t1	.	(2.24)
m t		t2	−t1
1
Тогда, учитывая (2.21),
q = cm tt2 (t2 −t1 ) = cm t02 t2 − cm t01 t1 .					(2.25)
1

Все изложенное относится также к мольным и к объемным теплоемкостям.

1

1

Аналогично мольная теплоемкость смеси равна сумме произведений объемных долей на мольные теплоемкости составляющих смесь газов:

n
µсv = ∑ri (µcv )i ,
1
n
µсp = ∑ri (µcp )i .	(2.28)
1

2.6 Энтальпия
В термодинамике важную роль	H = U + pV.	(2.29)
играет величина суммы внутренней энер-
гии системы U и произведения давления	Так как входящие в нее величины
системы р на величину объема системы	являются функциями состояния, то и са-
V, называемая энтальпией и обозна-	ма энтальпия является функцией со-
чаемая Н:	стояния и поэтому может быть представ-

23

лена в виде функции двух любых параметров состояния:

Н= ψ1 (р, V); H = ψ2 (V, Т);

Н= ψ3 (р, Т).

Так же как внутренняя энергия, работа и теплота, энтальпия измеряется в джоулях.

Энтальпия обладает свойством аддитивности. Величина

h = u + pv,	(2.30)
называемая удельной энтальпией	(h =

= H/m), представляет собой энтальпию системы, содержащей 1 кг вещества, и измеряется в Дж/кг.

Поскольку энтальпия есть функция состояния, dH является полным дифференциалом, и, следовательно, изменение энтальпии в любом процессе определяется только начальным и конечным состояниями тела и не зависит от характера процесса.

∆H = ∫2 dH = H 2 − H1 .

1

Физический смысл энтальпии ясен из следующего простого примера. В цилиндре под поршнем находится газ (рисунок 2.3). Его давление уравновешивается грузом весом pF.

Рисунок 2.3. – К определению физического смысла энтальпии.

Полная энергия Е расширенной системы, состоящей из газа и поршня с грузом, складывается из внутренней энергии газа U и потенциальной энергии поршня с грузом, равной pFy = pV, так что

E = U + pV = H.

Член pV численно равен работе, которую нужно совершить, чтобы ввести объем V газа из вакуума в пространство с давлением р. Он характеризует потенциальную энергию газа, сжатого внешним давлением.

Следовательно, энтальпия любой термодинамической системы представляет собой сумму внутренней энергии системы и потенциальной энергии источника внешнего давления.

Уравнение (2.11), с учетом (2.5),

δq = du + p dv

в случае, когда единственным видом работы является работа расширения, с учетом очевидного соотношения

p dv = d(pv) – v dp

может быть записано в виде

δq = d(u +pv) – v dp,

или

δq = dh – v dp.

(2.31)

Из этого соотношения следует, что если давление системы сохраняется неизменным, т.е. осуществляется изобарный процесс (dp=0), то

δqp = dh	(2.32)
и
qp = h2 – h1,	(2.33)

т.е. теплота, подведенная к системе при постоянном давлении, расходуется только на изменение энтальпии данной системы.

Для идеального газа с учетом

(2.18) и (1.3) получим:

dh = du+d(pv) = сv dT + R dT =

= (cv + R) dT=cp dT.

(2.34)

Начало отсчета энтальпии, так же как и внутренней энергии, примем равным 0 ˚С:

24

h = ∫t	cp dT = cpm		t0 t .	(2.35)
0

При расчетах практический интерес представляет изменение энтальпии в конечном процессе:

t2

∆h = h2 – h1 = ∫cp dT =

t1

= c	pm	t2	t	2	−c	pm	t1	t	1	.	(2.36)
		0					0

	Примеры решение типовых задач
Задача 2.1
Дано:	В закрытом сосуде объемом 300 л находится воз-
V = 300 л = 0,3 м3	дух при давлении 0,3 МПа и температуре 20 ˚C.
Р1 = 0,3 МПа =	Какое количество теплоты необходимо подвести для
= 0,3 106 Па	того, чтобы температура воздуха поднялась до 120 ˚C? Зада-
t1 = 20 ˚C	чу решить, принимая теплоемкость воздуха постоянной.
t2 = 120 ˚C
µв ≈29 кг/ кмоль
Rв = 287 Дж/(кг·К)
Qv– ?
	Решение:

Пользуясь уравнением состояния, определяем массу воздуха, находящегося в

сосуде

	m =	p V	=	0,3 10	6 0,3	=1,07 кг.
		1
		RT		287 (20 + 273)
		1

Для двухатомных газов, считая теплоемкость величиной постоянной, имеем (таблица 2.1)

µcv = 20,93 кДж/(кмоль·К);

следовательно, массовая изохорная теплоемкость воздуха

cv = µµcv = 2029,93 = 0,722 кДж/(кг·К).

Количество подведенной теплоты

Qv = m cv (t2 – t1) = 1,07 0,722 (120-20) = 77,25 кДж.

Задача 2.2
Дано:	Найти изменение внутренней энергии и энталь-
m = 1 кг	пии 1 кг воздуха при его охлаждении от 300 ˚C до 50 ˚C. Те-
t1 = 300 ˚C	плоемкость воздуха принять постоянной.
t2 = 50 ˚C
µв ≈29 кг/ кмоль
∆и, ∆h – ?
	Решение:

Считая воздух идеальным газом, имеем

∆ и = cv (t2 – t1), кДж/кг

25

∆h = cр (t2 – t1), кДж/кг.

Для двухатомных газов, согласно таблице 2.1,

µсv = 20,93 кДж/(кмоль·К); µср = 29,31 кДж/ (кмоль·К),

тогда,

сv = µµcv = 2029,93 = 0,722 кДж/(кг·К);

		ср =	µcр	=	29,31		=1,01 кДж/(кг·К).
	Следовательно,		µ		29
		∆ и = 0,722 (50 – 300) = – 180,5 кДж/кг;
		∆h = 1,01 (50 – 300) = – 252,5 кДж/кг.
	Задача 2.3
	Дано:			Вычислить среднюю массовую теплоемкость для
	t1 = 200 ˚C	воздуха при постоянном давлении в пределах 200 – 800 ˚C,
	t2 = 800 ˚C	считая зависимость теплоемкости от температуры нелиней-
	срm 800200 −?	ной.

Решение:

Согласно уравнению (2.24)

					c t2	=	cpm t02 t2 −cpm t01 t1			.
					pm t		t	2 −t1
					1
Пользуясь таблицей I (смотри приложения), получим для воздуха
				c	800	=1,0710		кДж/(кг·К);
					pm 0
				c	200	=1,0115		кДж/(кг·К),
					pm 0
отсюда				1,0710 800 −1,0115 200
	c 800		=						=1,091 кДж/(кг·К).
	pm 200				800 − 200
Задача 2.4
Дано:				Найти количество теплоты, необходимое для на-
t1 = 200 ˚C			грева 1 м3 (при нормальных условиях) газовой смеси соста-
t2 = 1200 ˚C			ва: rCO2 = 0,145; rO2 = 0,065; rN2 = 0,79 от 200 ˚C до 1200 ˚C
rCO2 = 0,145			при P = const и нелинейной зависимости теплоемкости от
rO2 = 0,065			температуры.
rN2 = 0,79
qp – ?
					Решение:
Пользуясь формулами (2.25) и (2.27), получим
							n			n
q p	= c′ртсм t02 t2 − c′ртсм t01 t1					= ∑cpmi t02 ri t2 − ∑c pmi t01 ri t1 =
						1		1

			26
= (c′	t2	r	+ c′	t2	r	+ c′	t2	r	) t	2	−
pmCO2 0		CO2	pmO2 0		O2	ртN 2 0		N 2
−(c′pmCO2 t01 rCO2 + c′pmO2 t01 rO2						+ c′ртN 2 t01 rN 2 ) t1 .

Подставляя значения соответствующих теплоемкостей из таблицы П3 (смотри приложения), находим

qp = (2,2638·0,145 + 1,5005·0,065 + 1,4143·0,79)·1200 –

– (1,7873·0,145 + 1,3352·0,065 + 1,2996·0,79)·200 = 1576,2 кДж/м3.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 2.5

Воздух в количестве 6 м3 при давлении 0,3 МПа и температуре 25 ˚C нагревается при постоянном давлении до 130 ˚C.

Определить количество подведенной к воздуху теплоты, считая с = const.

Ответ: QР = 2231 кДж.

Задача 2.6

Найти среднюю объемную теплоемкость c′pm и cvm′ для воздуха в пределах 400 ÷1200 ˚C, считая зависимость теплоемкости от температуры нелинейной.

Ответ: с′pm 1200400 =1,4846 кДж/(м3·К); сvm′ 1200400 =1,1137 кДж/(м3·К).

Задача 2.7

Найти изменение внутренней энергии и энтальпии 2 м3 воздуха, если температура его понижается от 250 ˚C до 70 ˚C. Теплоемкость воздуха принять постоянной. Начальное давление воздуха 0,6 МПа.

Ответ: ∆U = – 1039 кДж; ∆Н = – 1453,5 кДж.

Задача 2.8

Газовая смесь имеет следующий состав по объему: 20% Н2О; 35% СО2 и 45% N2. Определить количество теплоты, необходимое для нагрева 1 кг смеси при постоян-

ном объеме от 200 ˚C до 400 ˚C.

Ответ: qv =181 кДж/кг.

Вопросы для самоподготовки

1Что изучает техническая термодинамика?

2Что такое термодинамическая система, открытая, закрытая, изолированная термодинамическая система?

3Основные термодинамические параметры состояния, их размерность. Что такое идеальный газ, его уравнение состояния? Газовая постоянная, универсальная газовая постоянная, их физический смысл.

4Реальный газ. Уравнение Ван-дер-Ваальса.

27

5Что такое термодинамический процесс, равновесный, неравновесный, обратимый, необратимый термодинамический процесс, термодинамический цикл?

6Что собой представляет газовая смесь? Закон Дальтона. Способы задания газовой

смеси.

7Как определяется кажущаяся молекулярная масса, газовая постоянная смеси?

8Что понимается под внутренней энергией системы? От каких параметров (параметра) состояния зависит внутренняя энергия реального и идеального газа?

9Что называется работой деформации? Как она определяется и графически представляется в p,v – координатах?

10Сущность и аналитическое выражение первого закона термодинамики.

11Дать определение теплоемкости, удельной, истинной и средней теплоемкости.

12Что такое теплоемкость при постоянном объеме и при постоянном давлении?

13Связь между теплоемкостями cp и cv (уравнение Майера).

14Как определяется теплоемкость газовых смесей?

15Что такое энтальпия, ее физический смысл.

16Аналитическое выражение первого закона термодинамики с использованием эн-

тальпии.

3 Второй закон термодинамики

3.1 Энтропия

Выражение δq/T при равновесном изменении состояния газа есть полный дифференциал некоторой функции состояния. Она называется энтропией, обозначается для 1 кг газа через s и измеряется в Дж/(кг·К). Для произвольного количества газа энтропия, обозначаемая через S, равна S = ms и измеряется в Дж/К.

Впервые энтропия была введена Р. Клаузиусом

Таким образом,

ds = δq/T.

(3.1)

Подобно любой другой функции состояния энтропия может быть представлена в виде функции любых двух параметров состояния:

s = ξ1 (p, v); s = ξ2 (p, T);

s= ξ3 (v, T).

Втехнической термодинамике обычно используется не абсолютное значение энтропии, а ее изменение в каком-

либо процессе:

				2	δ q
∆s = s	2	− s	=	∫1	T	.	(3.2)
		1

Понятие энтропии позволяет ввести чрезвычайно удобную для термодинамических расчетов Т,s – диаграмму, на которой (как и на р,v – диаграмме) состояние термодинамической системы изображается точкой, а равновесный термодинамический процесс – линией (рисунок 3.1).

Рисунок 3.1. – Графическое изображение теплоты в Т, s – координатах.

Из уравнения (3.1) следует, что в равновесном процессе

δq = T ds		(3.3)
и
q = ∫2	Tds .	(3.4)
1
Очевидно, что в Т,s		– диаграмме

28

элементарная теплота процесса δq изображается элементарной площадкой с высотой Т и основанием ds, а площадь, ограниченная линией процесса, крайними ординатами и осью абсцисс, эквивалентна теплоте процесса.

Формула (3.3) показывает, что ds и δq имеют одинаковые знаки, следова-

тельно, по характеру изменения энтропии в равновесном процессе можно судить о том, в каком направлении происходит теплообмен. При нагревании тела (δq > 0) его энтропия возрастает (ds > 0). Если тело охлаждается (δq < 0), то его энтропия убывает (ds < 0).

3.2 Формулировка второго закона

Из первого закона термодинамики следует, что взаимное превращение тепловой и механической энергии в двигателе должно осуществляться в строго эквивалентных количествах. Двигатель, который позволял бы получать работу без энергетических затрат, называется веч-

ным двигателем первого рода. Ясно, что такой двигатель невозможен, ибо он противоречит первому закону термодинамики. Поэтому первый закон можно сформулировать в виде следующего утвер-

ждения: вечный двигатель первого рода невозможен.

Несмотря на эквивалентность теплоты и работы, процессы их взаимного превращения неравнозначны. Опыт показывает, что механическая энергия может быть полностью превращена в теплоту, например путем трения, однако теплоту полностью превратить в механическую энергию нельзя. Многолетние попытки осуществить такой процесс не увенчались успехом. Это связано с существованием фундаментального закона природы, называе-мого вторым законом термодинамики. Чтобы выяснить его сущность, обратимся к принципиальной схеме теплового двигателя (рисунок 3.2).

Как показал опыт, все без ис- ключе-ния тепловые двигатели должны иметь горячий источниктеплоты, рабочее тело, совершающее замкнутый круговой процесс – цикл, и холодный источник теплоты.

Практически в существующих тепловых двигателях горячими источниками служат химические реакции сжигания топлива или внутриядерные реакции, а в качестве холодного источника используется окружающая среда – атмосфера. В качестве рабочих тел, как отмечалось выше, применяются газы или пары.

Работа двигателя осуществляется следующим образом (рисунок 3.3). Расширяясь по линии 1В2, рабочее тело совершает работу, равную площади 1В22'1'. В непрерывно действующей тепловой машине этот процесс должен повторяться многократно. Для этого нужно уметь возвращать рабочее тело в исходное состояние. Такой переход можно осуществить в процессе 2В1, по при этом потребуется совершить над рабочим телом ту же самую работу. Ясно, что это не имеет смысла, так как суммарная работа – работа цикла – окажется равной нулю.

Рисунок 3.3. – Круговой процесс Рисунок 3.2. – Термодинамическая (цикл) в р,v – и Т,s – координатах.

схема теплового двигателя.

29

Для того чтобы двигатель непрерывно производил механическую энергию, работа расширения должна быть больше работы сжатия. Поэтому кривая сжатия 2А1 должна лежать ниже кривой расширения. Затраченная в процессе 2А1 работа изображается площадью 2А11'2'. В результате каждый килограмм рабочего тела совершает за цикл полезную работу lЦ, эквивалентную площади 1В2А1, ограниченной контуром цикла.

Если провести две адиабаты, касательные к контуру цикла в точках А и В, то цикл разобьется на два участка: участок А1В, на котором происходит подвод теплоты q1, и участок В2А, на котором происходит отвод теплоты q2. В точках А и В, лежащих на адиабатах, нет ни подвода, ни отвода теплоты, и в этих точках поток теплоты меняет знак. Таким образом, для непрерывной работы двигателя необходим циклический процесс, в котором к рабочему телу от горячего источника подводится теплота q1, и отводится от него к холодному теплота q2. В Т,s – диаграмме теплота q1 эквивалентна площади A'A1BB', a q2 – площади А'А2ВВ'.

Применим первый закон термодинамики к циклу, который совершает один килограмм рабочего тела:

∫δ q = ∫du + ∫δ l .

Здесь ∫ означает интегрирование по

замкнутому контуру 1В2А1. Внутренняя энергия системы яв-

ляется функцией состояния. При возвращении рабочего тела в исходное состояние она также приобретает исходное

значение. Поэтому ∫du = 0 , и предыду-

щее выражение превращается в равенство

где qц = ∫δ q представляет собой ту

часть теплоты горячего источника, которая превращена в работу. Это – теплота, полезно использованная в цикле, она равна разности теплот (q1 – q2) и эквивалентна площади, ограниченной контуром цикла в Т,s – диаграмме.

Отношение работы, производимой двигателем за цикл, к количеству теплоты, подведенной за этот цикл от горячего источника, называется термическим ко-

эффициентом полезного действия (КПД) цикла:

ηt	=	lц	=	q	− q	2	.	(3.6)
				1
		q1			q1

Коэффициент полезного действия оценивает степень совершенства цикла теплового двигателя. Чем больше КПД, тем большая часть подведенной теплоты превращается в работу.

Соотношение (3.5) является математическим выражением принципа эквивалентности тепловой и механической энергии.

Тепловой двигатель без холодного источника теплоты, т.е. двигатель, полностью превращающий в работу всю полученную от горячего источника теплоту,

называется вечным двигателем второго рода.

Таким образом, второй закон термодинамики можно сформулировать в виде следующего утверждения: «Вечный двигатель второго рода невозможен». В

более расшифрованном виде эту формулировку в 1851 г. дал В. Томсон: «Невозможна периодически действующая тепловая машина, единственным результатом действия которой было бы получение работы за счет отнятия тепла от некоторого источника».

qц = lц,,

(3.5)

3.3 Прямой цикл Карно

Итак, для превращения теплоты в работу в непрерывно действующей машине нужно иметь по крайней мере тело или систему тел, от которых можно было

бы получить теплоту («горячий» источник); рабочее тело, совершающее термодинамический процесс, и тело или систему тел, способную охлаждать рабочее те-

30

ло, т.е. забирать от него теплоту, не превращенную в работу («холодный» источник).

Рассмотрим простейший случай, когда имеется один «горячий» с температурой T1 и один «холодный» с температурой Т2 источник теплоты, причем теплоемкость каждого из них столь велика, что отъем рабочим телом теплоты от одного источника и передача ее другому не меняет их температуры.

Единственная возможность осуществления обратимого (состоящего только из равновесных процессов) цикла в этих условиях заключается в следующем. Теплоту от горячего источника к рабочему телу нужно подводить изотермически. В любом другом случае температура рабочего тела будет меньше температуры источника Т1, т.е. теплообмен между ними будет неравновесным. Равновесно охладить рабочее тело от температуры горячего до температуры холодного источника Т2, не отдавая теплоту другим телам (которых по условию нет), можно только путем адиабатного расширения с совершением работы. По тем же соображениям процесс теплоотдачи от рабочего тела к холодному источнику тоже должен быть изотермическим, а процесс повышения температуры рабочего тела от Т1 до Т2 – адиабатным сжатием с затратой работы. Такой цикл, состоящий из двух изотерм и двух адиабат, носит название цикла Карно, поскольку именно с его помощью С. Карно в 1824 г. установил основные законы превращения тепловой энергии в механическую.

Рисунок 3.4. – Прямой цикл Карно.

Осуществление цикла Карно в тепловой машине можно представить следующим образом. Газ (рабочее тело) с начальными параметрами, характеризующимися точкой а (рисунок 3.4), помещен в цилиндр под поршень, причем боковые стенки цилиндра и поршень абсолютно нетеплопроводны, так что теплота может передаваться только через основание цилиндра.

Вводим цилиндр в соприкосновение с горячим источником теплоты. Расширяясь изотермически при температуре T1 от объема va до объема vb, газ забирает от горячего источника теплоту q1 = Т1 (s2 – s1). В точке b подвод теплоты прекращаем и ставим цилиндр на теплоизолятор. Дальнейшее расширение рабочего тела происходит адиабатно. Работа расширения совершается при этом только за счет внутренней энергии, в результате чего температура газа падает до Т2.

Теперь возвратим тело в начальное состояние. Для этого сначала поместим цилиндр на холодный источник с температурой Т2 и будем сжимать. Рабочее тело по изотерме cd, затрачивая работу и отводя при этом к нижнему источнику от рабочего тела теплоту q2 = Т2 (s2

– s1).

Затем снова поставим цилиндр на теплоизолятор и дальнейшее сжатие проведем в адиабатных условиях. Работа, затраченная на сжатие по линии da, идет на увеличение внутренней энергии, в результате чего температура газа увеличивается до Т1.

Таким образом, в результате цикла каждый килограмм газа получает от горячего источника теплоту q1, отдает холодному теплоту q2 и совершает работу

lц.

Подставив в формулу (3.6), справедливую для любого цикла, выражения для q1 и q2, получим, что термический КПД цикла Карно определяется формулой

ηt = l −T2 / T1 .

(3.7)

Из нее видно, что термический