07. Прямая на плоскости

Расстояниеотточкидопрямой(2)

Обозначим через M0 (x0, y0 ) ортогональную проекцию точки M на ℓ.

Поскольку система координат прямоугольная декартова, то, в силу

замечания 5, вектор ~n = (A, B) перпендикулярен к ℓ. Поскольку вектор

−−−→ также перпендикулярен к ℓ, получаем, что

−−−→ k ~

. Следовательно,

M0 M

−−−→

M0M n

угол между векторами

и

~

равен либо 0, либо π, и потому

M0M

n

cos( −−−→,~ ) = ±1. Отсюда вытекает, что ( −−−→,~ ) = ±| −−−→ | · |~ |.

\

M0 M n

M0M n

M0M n

Обозначим расстояние от M до ℓ через d(M, ℓ). В силу сказанного,

d(M, ℓ) = | −−−→

| = |

( −−−→,~ )

| .

~n

M0M

M0 M n

|

|

Учитывая, что M0 ℓ, получаем, что Ax0 + By0 + C = 0. Следовательно,

( −−−→,~

) = (

x0

)+

(

y′

y0

) =

Ax′

+

By′

(

Ax0

+

By0

) =

Ax′

+

By′

+

C

.

M0M n

A x′

−

B

−

−

Таким образом, формула для вычисления расстояния от точки M с координатами (x′, y′) до прямой ℓ, заданной в прямоугольной декартовой системе координат уравнением Ax + By + C = 0, имеет следующий вид:

d(M, ℓ) =	|Ax′	+ By′ +	C |	.		(14)
	√A2 + B2

Лекция 7: Прямая на плоскости

Уголмеждупрямыми(1)

7◦. Угол между прямыми.

В заключение лекции обсудим вопрос о том, как находить угол между двумя прямыми на плоскости. Напомним, что мы считаем, что система координат, заданная на плоскости, является прямоугольной декартовой.

Предположим, что на плоскости заданы прямые ℓ1 и ℓ2. Из их уравнений всегда можно извлечь их направляющие векторы ~s1 = (q1, r1 ) и

~s2 = (q2, r2 ) соответственно (см. замечания 1 и 3). После этого угол α между ℓ1 и ℓ2 можно найти, используя формулу для нахождения угла между векторами (см. лекцию 3):

	cos α =		q1q2 + r1 r2				.	(15)
		pq12 + r12 ·			pq22 + r22

Если обе прямые ℓ1 и ℓ2 заданы общими уравнениями, то проще найти угол между ℓ1 и ℓ2 как угол между их нормальными векторами

~n1 = (A1, B1 ) и ~n2 = (A2, B2 ) (легко понять, что угол между ℓ1 и ℓ2 равен углу между ~n1 и ~n2). Таким образом, угол между прямыми ℓ1 и ℓ2 можно найти по формуле

cos α =

A1 A2

+ B1B2

.

(16)

pA12 + B12 · pA22 + B22

Лекция 7: Прямая на плоскости

Уголмеждупрямыми(2)

Используя формулы (15) и (16), мы можем получить как острый, так и тупой угол между прямыми, причем заранее не известно, какой именно. Если α и β два различных угла между двумя фиксированными прямыми, то β = π − α. Поскольку cos α = − cos(π − α), косинусы углов α и β равны по модулю и различаются знаком. Поскольку косинусы острых углов положительны, а косинусы тупых углов отрицательны, из формул (15) и (16) вытекает, что острый угол между прямыми может быть найден по одной из формул

cos α =

|q1q2

+ r1 r2

|

или

cos α =

|A1 A2

+ B

1 B2 |

,

pq12 + r12 · pq22 + r22

pA12 + B12 · pA22 + B22

а тупой по одной из формул

cos α =

|q1q2

+ r1 r2

|

или

cos α =

|A1 A2

+ B

1 B2|

.

− pq12 + r12 · pq22 + r22

− pA12 + B12 · pA22 + B22

Лекция 7: Прямая на плоскости