2.10. Определение вида и параметров закона распределения времени до отказа

Наиболее распространенными законами распределения отказов изделий являются:

• экспоненциальный;

• усеченный нормальный;

• логарифмически-нормальный;

• Вейбулла;

• гамма.

Поэтому при определении вида закона распределения рекомендуется аппроксимировать экспериментальные характеристики этими законами в той последовательности, которая указана выше.

При выявлении закона распределения целесообразно соблюдать следующий порядок:

• подготовка опытных данных;

• построение гистограмм (полигонов) какой-либо количественной характеристики надежности;

• проверка допустимости предполагаемого закона распределения отказов, используя определенные критерии согласия (Пирсона, Колмогорова и др.).

Подготовка опытных данных включает выборку исходных результатов из отчетных документов, составление вариационного ряда и заполнение таблицы отказов.

При составлении вариационного ряда исследуемого времени безотказной работы или времени восстановления оно записывается в порядке возрастания значений, причем одинаковые значения не исключаются, а повторяются друг за другом. По полученным данным заполняется табл. 2.10. В ней приняты следующие обозначения: х_i – значение члена вариационного ряда (наработка до отказа, наработка между соседними отказами и т.п.); n_i – число наблюдаемых однозначных отказов i-го интервала времени;– общее число отказов;H_i – накопленное число отказов, являющееся суммой n_i отказов второго столбца, начиная с первого числа n_i и кончая i-м числом n_i; – частость отказов.

Таблица 2.10

Форма таблицы для определения

закона распределения графическим способом

хi	ni	Hi		1–
1	2	3	4	5

Приведенная таблица предназначена для определения закона распределения графическим способом при помощи координатной сетки. При таком способе вид закона распределения оценивается, как это следует из табл. 2.10, по виду кривой вероятности безотказной работы 1–_.Координатные сетки для различных законов распределения приведены в приложении 2.

Если вид закона распределения оценивается не графическим способом, то удобно применять табл. 2.11, в которой используются обозначения: – длинаi-го интервала времени; n() – число отказов на участке;N₀ – число образцов, первоначально установленных на испытание; N_р – среднее число исправно работающих элементов в промежутке .

По данным табл. 2.11 строятся гистограммы для количественных характеристик надежности (либо P^(t), либо а^(t), либо λ^(t)) и аппроксимируются кривой, по виду которой можно установить ориентировочно закон распределения отказов путем сравнения с соответствующими теоретическими кривыми.

Таблица 2.11

Форма таблицы для определения

закона распределения аналитическим способом

	n()	P^(t)=1–n(ti)/N0
1	2	3	4	5

Проверка допустимости принятого закона распределения отказов осуществляется по критериям согласия. Наиболее употребительными критериями являются критерии ² (Пирсона) и Колмогорова. После установления вида распределения приступают к определению его параметров.

Пример 2.26. В результате опыта получен следующий вариационный ряд времен исправной работы изделия в часах:

2; 3; 3; 5; 6; 7; 8; 8; 9; 9; 13; 15; 16; 17; 18; 20;

21; 25; 28; 35; 37; 53; 56; 69; 77; 86; 98; 119.

Требуется установить закон распределения времени безотказной работы.

Решение. 1. Используя исходные данные и вычислив , заполняем табл. 2.12 по форме табл. 2.10.

2. Проверяем согласие экспериментального распределения с экспоненциальным распределением. Наносим экспериментальные данные на координатную сетку (рис. П.2.1). Получаем расположение точек (см. рис. 2.18).

3. Проводим через отметки прямую линию таким образом, чтобы отклонения точек от прямой линии были минимальными. Убеждаемся в возможности линейной интерполяции. Находим и снимаем наибольшее отклонение. В нашем случае D = 0,12.

4. Рассчитываем критерий согласия Колмогорова:

.

В соответствии с формулой (1.79) считаем, что закон распределения времени безотказной работы не противоречит экспоненциальному.

Пример 2.27. В результате опыта получен следующий вариационный ряд времен безотказной работы изделия в часах:

115, 232, 328, 368, 393, 404, 421, 457, 483, 511, 527,

540, 544, 572, 598, 605, 619, 633, 660, 681, 736, 791, 942.

Требуется определить закон распределения времени безотказной работы.

Решение. 1. Используя данные, заполняем табл. 2.13, предварительно вычислив значение .

2. Проверяем согласие экспериментального распределения с экспоненциальным распределением. В результате проверки получен отрицательный ответ. Проверяем согласие экспериментального распределения с усеченным нормальным распределением. Наносим экспериментальные данные на координатную сетку (рис. П.2.2.). Получаем расположение отметок, показанное на рис. 2.19.

3. Проводим через отметки прямую линию и убеждаемся в возможности линейной интерполяции. Находим и снимаем наибольшее отклонение: D = 0,08.

4. Рассчитываем критерий согласия:

.

В соответствии с формулой (1.79) считаем, что исследуемый закон распределения времени исправной работы подчиняется усеченному нормальному.

Таблица 2.13

Исходные данные

к примеру 2.27

ti	ni	Hi
115 232 328 368 393 404 421 457 483 511 527 540 544 572 598 605 619 633 660 681 736 791 942	1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23	0,04 0,08 0,12 0,16 0,21 0,25 0,29 0,34 0,39 0,44 0,50 0,54 0,58 0,62 0,66 0,70 0,74 0,78 0,83 0.87 0,91 0,95 1,00	0,96 0,92 0,88 0,84 0,79 0,75 0,71 0,66 0,61 0,56 0,50 0,46 0,42 0,38 0,34 0,30 0,26 0,22 0,17 0,13 0,09 0,05 0,00

Таблица 2.12

Экспериментальные данные

к примеру 2.26

ti	ni	Hi
2 3 5 6 7 8 9 13 15 16 17 18 20 21 25 28 35 37 53 56 69 77 86 98 119	1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1	1 3 4 5 6 8 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28	0,04 0,11 0,14 0,18 0,21 0,29 0,36 0,39 0,43 0,47 0,50 0,54 0,57 0,61 0,64 0,68 0,72 0,75 0,79 0,82 0,86 0,89 0,93 0,96 1,00	0,96 0,89 0,86 0,82 0,79 0,71 0,64 0,61 0,57 0,53 0,50 0,46 0,43 0,39 0,36 0,32 0,28 0,25 0,21 0,18 0,14 0,11 0,07 0,04 0,00

Пример 2.28. Используя данные примера 2.26 путем построения гистограмм и их аппроксимации аналитическими выражениями установить закон распределения времени исправной работы.

Решение. 1. Заполняем табл. 2.14 по форме табл. 2.11.

2. Строим гистограмму λ(t) (рис. 2.20).

3. Находим среднее значение λ_ср и наибольшее отклонение:

1/ч, D_К = 0,0184.

1. Проверяем соответствие закона по критерию согласия Колмогорова

.

Таблица 2.14

Исходные данные к примеру 2.28

, ч		, 1/ч
0 – 20 20 – 40 40 – 60 60 – 80 80 – 100 100 –120	16 5 2 2 2 1	0,0400 0,0263 0,0167 0,0250 0,0500 –

В соответствии с формулой (1.79) считаем, что закон распределения экспоненциальный.