64

1. Краткие сведения из теории вероятностей

1. Функция распределения и плотность распределения случайной величины

Количественный анализ надежности осуществляется с помощью методов теории вероятностей и математической статистики, предназначенных для изучения случайных величин и событий. Именно случайность является характерной особенностью проблем, возникающих при изучении надежности. Случайными являются моменты возникновения отказов, продолжительность безотказной работы изделий и т.п. Для конкретности под случайной величиной будем понимать продолжительность безотказной работы (ресурс) изделия.

Случайной величиной называют переменную величину, которая в результате опыта может принимать различные значения. Случайные величины обычно обозначают большими буквами, например, Х. Значения случайной величины, которые она принимает в результате опыта, обозначают малыми буквами . При массовых испытаниях каждое из возможных значений случайной величиныможет встретитьсяm₁, m₂,…,m_n раз. Эти числа называют частотами. Весь набор значений случайной величины называют генеральной совокупностью N_x. Отсеянные из генеральной совокупности N_x значения грубых ошибок образуют выборку объема N. Если всего было проведено N_x испытаний, то в результате выборки получаем , и отношение m_i/N называют частостью или относительной частотой.

Случайные величины бывают дискретными и непрерывными.

Дискретными случайными величинами называют такие, которые могут принимать конечное и счетное множество возможных значений, например: 0,1; 0,2; 0,3 и т.д. К дискретным случайным величинам относится и формула Бернулли для определения вероятности:

P_m,n =C_n^m P^m Q^n-m = P^m Q^n-m ,

где n - количество опытов; m = 0, 1, 2, … – количество событий; Q=1P.

Пример 1.1. Известно, что вероятность Р безотказной работы изделия при каждом испытании равна 0,8. Проводят n = 10 испытаний. Найти вероятность того, что из 10 испытаний m (m = 2) испытаний будут успешными.

Решение. Для нахождения вероятности воспользуемся формулой Бернулли:

Р_2,10 =С₁₀² ∙0,8²(1  0,8)⁸ =∙0,8² ∙0,2⁸=0,00073.

Полученное значение дает 0,073%-ную вероятность.

В технических приложениях наиболее часто встречаются распределения дискретных случайных величин по биноминальному закону и по закону Пуассона (закону редких событий).

Биноминальный закон распределения встречается при повторении испытаний. Если n раз производятся независимые одинаковые опыты, причем вероятность повторения изучаемого события в каждом опыте постоянна и равна P, а вероятность его непоявления Q=1– P, тогда вероятность появления данного события точно x_i раз определится по формуле

.

Распределение обладает следующими свойствами:

• область значений – целые положительные числа от 0 до n;

• вероятность P может иметь любое значение между 0 и +1;

• при P = 1/2 закон распределения симметричный;

• N – целое положительное число;

• среднее значение = n∙P;

• среднеквадратическое отклонение .

Распределение по закону Пуассона встречается в задачах о повторении испытаний, в которых вероятность ожидаемого события очень мала. В технике это распределение применимо при определении числа редких компонентов на единицу площади или объема, числа атмосферных помех при радиопередачах, при расчете количества запасных частей, определении вероятности восстановления сложных систем и т.п. Закон распределения Пуассона имеет вид:

,

где а – параметр распределения; х_i = 0, 1, 2, … .

Свойства распределения:

• распределение несимметричное;

• несимметричность особенно сильно выражена при малых значениях а;

• среднее значение ;

• среднее квадратическое отклонение .

Непрерывными случайными величинами называют такие, которые в некотором интервале могут принимать любое значение. Число бракованных изделий в различных выборках из генеральной совокупности есть дискретная случайная величина, а размер этих изделий – непрерывная случайная величина.

Всякую непрерывную случайную величину можно задать в виде дискретной, если все возможные ее значения разбить на интервалы и задать вероятности появления этих интервалов (из-за ограниченности измерительных средств все замеры непрерывных величин задаются в дискретном виде). Случайные величины характеризуются функциями распределения вероятностей.

Кроме случайной, на практике приходится иметь дело и с систематической величиной. Это такая величина, которая остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одного и того же физического параметра. Она может возникнуть, например, из-за неправильного монтажа устройства или из-за постоянного внешнего воздействия (нагрев, вибрация и т.д.). Систематическая величина может быть исключена путем введения поправки, равной по величине и обратной по знаку погрешности.

Рассмотрим описание распределения случайных величин. Если X – случайная величина, а x – некоторое ее значение, то вероятность Р того, что случайная величина X не превысит значения x, т.е. попадет в интервал

F(x) = P(X<x),

где F(x) – интегральная функция распре­деле­ния (рис. 1.1.), определяющая вероят­ность того, что случайная величина примет значения, не превосходящие х_i.

Ее задание и определяет закон распределения случайной величины Х. В общем случае функция распределения F(x) может быть как разрывной, так и непрерывной. Конкретные виды функции распределения для некоторых важных распределений будут рассмотрены ниже.

В большинстве практически важных случаев распределение недискретных случайных величин может быть задано в другой форме с помощью введения функции плотности вероятностей f(x).

Характерной особенностью случайной величины является то, что заранее не известно, какое из значений она примет. Возможность принятия случайной величиной Х значения из элементарного интервала (х₁, х₂) количественно оценивается вероятностью

P(x₁<Xx₂) =f(x)dx , (1.1)

где P(x₁<Xx₂) – вероятность указанного события (x₁<Xx₂); f(х)  плотность распределения случайной величины; x₂= x₁+dх.

Плотность f(х) является важнейшей характеристикой, задающей распределение случайной величины. Плотность удовлетворяет двум условиям: она неотрицательна и интеграл от нее в полных пределах изменения аргумента х равен единице:

. (1.2)

Как видно из формулы (1.1), функция распределения F(х) выражается через плотность f(х):

. (1.3)

С другой стороны, если плотность f(х) непрерывна в точке х, то ее значение в этой точке равно производной от функции F(х):

. (1.4)

При этом предположении функция распределения F(x) будет являться первообразной для плотности f(x). Поэтому

,

f(x) называют также дифференциальной функцией распределения.

Из свойств плотности f(x) и определения функции следует, что последняя – неотрицательна, не убывает и равна 0 и 1 при значении аргумента

и :

F(х)0; F(х₁ )F(х₂) при x₁>х₂ ; F(–)=0; F()=1.

График плотности распределения f(x) называется кривой распределения случайной величины. Исходя из геометрической интерпретации интеграла как площади соот­вет­ствующей криволинейной тра­пеции заключаем, что для произвольного <х₀<+чис­лоF(x₀) равно площади под кривой распределения, лежащей левее прямой х=х₀. Аналогично интерпретируется вероятность P(x₁<xx₂) (рис.1.2).

Случайная величина x, для которой существует плотность распределения f(x), называется непрерывной.

Если под случайной вели­чи­ной X понимать продолжи­тель­ность безотказной работы объек­та, то произведение f(х)dх есть вероятность отказа объекта в интервале времени (х₁, х₂). Значение функции распределения F(х) равно вероятности отказа объекта до момента х. В теории надежности часто употребляют такое понятие, как вероятность безотказной работы Р(х), которое является дополнительным понятием к функции распределения F(x).

Значение вероятности безотказной работы в точке х равно вероятности того, что случайная величина X превысит х, т. е. изделие будет работать безотказно в течение времени x:

Р(х) = 1– F(х)=P{X>х}.

Функция Р(х) называется также функцией надежности. Примерные графики функции распределения F(х) и функции надежности Р(х) изображены на рис. 1.3.

На практике часто распо­ла­гают дополнительной инфор­мацией о том, что случайная величина превысила некоторое значение х (в частности, это из­де­лие проработало время x и не отказало).

Разумеется, эта информация изменяет возможность принятия случайной величиной тех или иных значений. В связи с этим вводят специальную функцию  интенсивность отказов . Значение интенсивности отказов в точке х, умноженное на dх, равно вероятности принятия случайной величиной значения из элементарного интервала (х₁, х₂) при условии, что эта случайная величина X больше х:

(х)dx = P{x < X x + dx|X > x},

где символ «|» означает «при условии, что…».

В нашем контексте есть вероятность отказа изделия сразу после момента времени х, если оно до этого не отказало.