1.9.2. Усеченное нормальное распределение

Усеченное нормальное распределение случайной величины – это такое распределение, для которого в крайних областях (х < а, х > b) плотность распределения принимается равной нулю; при этом усеченное распределение принимает вид:

(1.37)

Из условия нормировки

следует формула для коэффициента

C = 1/ [F(b) – F(a)], (1.38)

где F  функция основного (не усеченного) распределения. Указанные распределения представлены на рис. 1.18.

Приведем основные формулы для усеченного распределения:

,

, (1.39)

. (1.40)

В этих формулах и относятся к основному распределению.

В частном случае для описания распре­деления положительных случайных величин (при х < 0, f(х) = 0) формулы усеченного нормального распределения при а = 0 и имеют следующий вид:

; (1.41)

. (1.42)

1.9.3. Экспоненциальное распределение

Экспоненциальное распределение характерно для внезапных отказов элементов и систем. Плотность вероятности экспоненциального распределения задается уравнением

, , , x > 0 , (1.43)

где   параметр распределения, являющийся строго положительной константой.

Среднее значение и среднеквадратическое отклонение σ экспоненциального распределения совпадают и равны обратному значению параметра == 1/. Графики функций F(х) и f(x) приведены на рис. 1.19. Отличительной особенностью экспоненциального распределения является то, что интенсивность отказов (х) постоянна, т.e. не зависит от аргумента (значения случайной величины).

Основное свойство экспоненциального закона состоит в том, что при нем вероятность безотказной работы на данном интервале не зависит от времени предшествующей работы, а зависит от длины интервала. Это значит, что будущее поведение элемента не зависит от прошлого, если в данный момент он исправлен.

Применимость экспоненциального закона зависит в основном от характера отказов. Как уже сказано, внезапные отказы случайного характера хорошо описываются экспоненциальным законом, но отказы, связанные с износом, не следуют этому закону. Если учитывается сезонная нестационарность потока отказов, то поток отказов не будет простейшим и экспоненциальный закон не применим. Аналогичное запрещение накладывается в случае учета начальных отказов.

1.9.4. Распределение Эрланга

Это распределение при х > 0 задается следующими формулами:

(1.44)

где  и l – параметры распределения, причем параметр  строго положителен, а l – целое положительное число.

Следует помнить, что частным случаем распределения Эрланга является экспоненциальное распределение (при l =1). Случайную величину X, имеющую распределение Эрланга с параметрами  и l, можно интерпретировать как сумму взаимно независимых случайных величин X₁, Х₂, .., Х_l, имеющих экспоненциальное распределение с параметром :

Х = Х₁ + Х₂ + ... + Х_l. (1.45)

Среднее значение и сре­днеквадратическое от­кло­не­ние распределения Эр­лан­га определяются по формулам:

. (1.46)

Графики плотности рас­пре­деления f(х) при разных значениях l представлены на рис. 1.20. Интенсивность от­ка­зов (х) в данном случае монотонно возрастает.

С ростом значения параметра l распределение Эрланга стремится к нормальному распределению. Это ясно из содержания центральной предельной теоремы теории вероятностей и представления по формуле (1.44). Поэтому при больших значениях l можно считать:

(1.47)