Задача д8.

Вертикальный вал АК (рис. Д8.0-Д8.9), вращающийся с постоянной угловой скоростью ώ=10 с^-1, закреплен подпятником в точкеАи цилиндрическим подшипником в точке, указанной в табл. Д8 в столбце 2(АВ=BD=DE=ЕК=а). К валу жестко прикреплены тонкий однородный ломаный стержень массойт=10 кг, состоящий из частей 1 и 2 (размеры частей стержня показаны на рисунках, гдеb=0,1 м, а их массыm₁ иm₂пропорциональны длинам), и невесомый стержень длинойl=4b с точечной массойт₃=3 кг на конце; оба стержня лежат в одной плоскости. Точки крепления стержней указаны в таблице в столбцах 3 и 4, а углы, β, γ, даны в столбцах 5-8. Пренебрегая весом вала, определить реакции подпятника и подшипника. При подсчетах принятьа=0,6 м.

Пример Д8.

Вертикальный вал длиной 3а (АВ=BD=DE=a), закрепленный подпятникомА и подшипникомD (рис. Д8,a), вращается с постоянной угловой скоростью ώ. К валу жестко прикреплен в точкеЕ ломаный однородный стержень массойmи длиной 10b, состоящий из двух частей 1 и 2, а в точкеВ прикреплен невесомый стержень длинойl=5b с точечной массойm₃на конце; оба стержня лежат в одной плоскости.

Дано:ώ=8 с^-1,m=m₁+m₂=10 кг,m₃=2 кг,=30°, β=150°,=60°,а=0,3 м,b=0,1 м.

Определить:реакции подпятникаА и подшипникаD, пренебрегая весом вала.

Решение.

1. Изображаем (с учетом заданных углов) вал и прикрепленные к нему в точках В иЕ стержни (рис. Д8,б). Массы и веса частей 1 и 2 ломаного стержня пропорциональны длинам этих частей и соответственно равныm₁=0,6m;m₂=0,4m;

P₁=0,6mg;P₂=0,4mg;P₃=m₃g

2. Для определения искомых реакций рассмотрим движение заданной механической системы и применим принцип Даламбера. Проведем вращающиеся вместе с валом координатные оси А_ху так, чтобы стержни лежали в плоскостиху, и изобразим действующие на систему силы: активные силы-силы тяжестиР₁, Р₂,Р₃ и реакции связей оставляющие реакции подпятникаХ_А, Y_А и реакцию цилиндрического подшипника несогласно принципу Даламбера, присоединим к этим силам силы инерции элементов однородного ломаного стержня и груза, считая его материальной точкой.

Так как вал вращается равномерно, то элементы стержня имеют только нормальные ускорения а_nk , направленные к оси вращения, а численноа_nk=ώ²h_kи, гдеh_k-расстояния элементов от оси вращения. Тогда силы инерцииF^и_к будут направлены от оси вращения, а численно, где—масса элемента. Так как всеF^и_к пропорциональныh_k, то эпюры этих параллельных сил инерции стержня образуют для части 1 треугольник, а для части 2-прямоугольник (рис. Д8,б).

Каждую из полученных систем параллельных сил инерции заменим ее равнодействующей, равной главному вектору этих сил. Так как модуль главного вектора сил инерции любого тела имеет значение R^и=та_с, гдет-масса тела,а_с-ускорение его центра масс, то для частей стержня соответственно получим

Сила инерции точечной массы 3 должна быть направлена в сторону, противоположную ее ускорению и численно будет равна

Ускорения центров масс частей 1 и 2 стержня и груза 3 равны:

где h_C1, h_C2-расстояния центров масс частей стержня от оси вращения, аh₃-соответствующее расстояние груза:

Подставив в (2) и (3) значения (4) и учтя (5), получим числовые значения R^и₁ ,R^и₂иF^и₃

При этом линии действия равнодействующих R_и1 иR_и2пройдут через центры тяжестей соответствующих эпюр сил инерции. Так, линия действияR_и1 проходит на расстоянииот вершины треугольникаЕ, гдеН=6bcos30°.

3. Согласно принципу Даламбера, приложенные внешние силы (активные и реакции связей) и силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Составим для этой плоской системы сил три уравнения равновесия. Получим

где H₁, H₂, Н₃-плечи силR^и₁,R^и₂, F^и₃ относительно точкиА, равные (при подсчетах учтено, чтоН=6bcos30°=0,52 м)

Подставив в уравнения (7) соответствующие величины из равенств (1), (5), (6), (8) и решив эту систему уравнений (7), найдем искомые реакции.

Ответ:Х_А=-33,7 Н;Y_A=117,7 Н;R_D=-45,7. Н.