электротехника. методическое пособие

Действующие значения напряжений на элементах r, L, C :

Ur = rI = 2 10 = 20 B,

UL = xL I = 70 10 = 700 B, UC = xC I = 30,05 10 = 300,5 B.

Мгновенные значения напряжений на элементах r, L, C :

ur = 2Ur sin(ωt + Ψu − ϕ) =

=1,41 20sin(314t + 30° − 87°02′) =

=28,2sin(314t − 57°02′),

uL = 2UL sin(ωt + Ψu − ϕ + 90°) =

=1,41 700sin(314t + 30° − 87°02′ + 90°) =

=987sin(314t + 32°58′),

uС = 2UС sin(ωt + Ψu − ϕ − 90°) =

=1,41 300,5sin(314t + 30° − 87°02′ − 90°) =

=423,7sin(314t − 147°02′).

Активная мощность

P = rI 2 = 2 102 = 200 Вт.

Реактивная мощность электрической цепи

Q = (xL − xC )I 2 = (70 − 30,05)102 = 3995 вар.

Полная мощность цепи

S = zI 2 = 40 102 = 4000 ВА.

Графики зависимостей i(ωt) и u(ωt) и векторную диаграм-

му тока и напряжений студентам предлагается построить самостоятельно. Построение векторной диаграммы рекомендуется

111

выполнить с использованием следующих масштабов: по току 2,5 А/см, по напряжению 100 В/см.

3.12.Резонанс напряжений

Вэлектрической цепи однофазного синусоидального напряжения с последовательным соединением элементов r, L, C

возможно явление резонанса напряжений. Данное явление наступает при выполнении условия

xL = xC .

(3.122)

Это равенство можно переписать в следующем виде:

2πfL =	1
	2πf C .	(3.123)

При заданных параметрах электрической цепи, т.е. при известных значенияхL иC , достижение резонансного состояния возможно, если значение частоты питающего напряжения определить по выражению

f = f	р	=	1		1	.	(3.124)
			2π
					LC

Если средства регулирования частоты отсутствуют, то резонансное состояние электрической цепи может быть достигнуто

посредством изменения величины индуктивности	L или емко-
сти C или же одновременным изменением этих параметров.
Для резонансного состояния электрической	цепи (см.
рис. 3.20) характерно следующее.
Полное сопротивление электрической цепи при резонансе

напряжений становится минимальным по величине и равняется ее активному сопротивлению:

z = z	min	= r2 + (x	L	− x )2	= r .	(3.125)
				С

112

Действующее значение тока достигает своей максимальной величины:

	I = Imax = U	=	U	= U .	(3.126)
			zmin
	z			r

Угол сдвига фаз φ между напряжением источника и током при резонансе напряжений становится равным нулю:

	ϕ = arccos	r	= arccos	r	= 0° .	(3.127)
		z		r

Реактивная мощность цепи

Q = Q	− Q	= (x	L	− x )I 2	= 0 .	(3.128)
L	C			C

Полная мощность электрической цепи

S = P2 + Q2 = P .

(3.129)

Электрическая цепь с последовательным соединением резистивного элемента, идеализированного индуктивного элемента и идеализированного емкостного элемента, находясь в состоянии резонанса напряжений, ведет себя по отношению к источнику, как идеализированная цепь с резистивным элементом (см. рис. 3.3). Векторная диаграмма напряжений и тока для режима резонанса напряжения приведена на рис. 3.24.

Рис. 3.24. Векторная диаграмма электрической цепи при резонансе напряжений

113

Треугольники сопротивлений и мощностей вырождаются в отрезки прямых линий (рис. 3.25, 3.26).

Рис. 3.25. Вырожденный треугольник сопротивлений при резонансе напряжений

Рис. 3.26. Вырожденный треугольник мощностей при резонансе напряжений

При рассмотрении явления резонанса напряжения следует акцентировать внимание на следующих моментах.

Активное сопротивление цепи r , как правило, имеет небольшую величину, и поэтому ток при резонансе напряжений может достигать больших значений. Это приводит к увеличению потерь энергии в резистивном элементе и может явиться причиной его перегрева. Если активное сопротивление r представляет активное сопротивление провода катушки, то увеличенные потери энергии в проводе могут стать причиной перегрева катушки и выхода ее из строя.

При выполнении условия xL = xC >> r напряжения на ин-

дуктивности и емкости достигают значений, превышающих величину напряжения в питающей сети:

UL = UC >> Ur = U .

(3.130)

Так, если действующее значение напряжения источника

U = 220 B , a xL = xC = 10r , то

UL = UC = 10U = 2200 B .

(3.131)

114

Возникновение больших по величине напряжений на индуктивности и емкости при резонансе напряжений может стать причиной пробоя изоляции провода катушки и диэлектрика конденсатора, а также сделать опасными условия работы электротехнического персонала в таких электрических цепях.

3.13. Расчет электрической цепи, содержащей источник однофазного синусоидального напряжения и нагрузку в виде параллельного соединения катушки, конденсатора и резистора

Рассмотрим электрическую цепь (рис. 3.27), содержащую источник электрической энергии, между внешними зажимами которого действует однофазное синусоидальное напряжение u = Um sin ωt , и нагрузку в виде параллельного соединения катуш-

ки, конденсатора и резистора. Катушка на схеме представлена последовательным соединением активного r1 и индуктивного xL1 сопротивлений. Конденсатор показан последовательным соединением активного r2 и емкостного xC 2 сопротивлений. Резистор замещается активным сопротивлением r3 . Параметры проводов ли-

нии, соединяющей источник инагрузку, неучитываются. Задачей расчета является нахождение величин действую-

щих значений токов в ветвях нагрузки I1, I2 , I3 , активных P1, P2 , P3 и реактивных QL1, QC 2 мощностей, а также тока, ак-

тивной, реактивной и полной мощности источника S . Одной из задач расчета является построение векторной диаграммы электрической цепи.

Для параллельного соединения ветвей, образующих нагрузку, характерным является одинаковая величина напряжения на их зажимах, которая равна величине напряжения источника. Действующее значение напряжения источника определяется через амплитудное значение по формуле

U =	Um	.	(3.132)
2
			115

Рис. 3.27. Электрическая цепь с параллельным соединением катушки, конденсатора и резистора

Действующие значения токов ветвей определяются на основании закона Ома:

I	= U =			U		,		(3.133)
1	z1			r2	+ x2
				1	L1
I2	= U =				U		,	(3.134)
				r2	+ x2
	z2
				2	C 2
	I3 = U = U .							(3.135)
	z3				r3

Активные мощности ветвей рассчитываются по формулам

P = r I 2			,	(3.136)
1	1	1
P = r I 2			,	(3.137)
2	2	2
P = r I 2 .				(3.138)
3	3	3

Активная мощность источника определяется из уравнения баланса активных мощностей

P = P1 + P2 + P3 .

(3.139)

Индуктивная реактивная мощность катушки и емкостная реактивная мощность конденсатора находятся по формулам

116

Q	= x	L1	I 2		,	(3.140)
L1				1
Q	= x			I 2 .		(3.141)
C 2	C 2			2

Реактивная мощность резистора равняется нулю. Реактивная мощность источника электрической энергии оп-

ределяется из уравнения баланса реактивных мощностей:

Q = QL1 − QC 2 .

(3.142)

Полная мощность источника электрической энергии

S = P2 + Q2 .

(3.143)

По величине полной мощности источника S и величине действующего значения его напряжения U определяется действующее значение тока источника:

	I =	S	=	P2 + Q2	.	(3.144)
		U		U

Для построения векторной диаграммы электрической цепи (см. рис. 3.27) необходимо найти длины векторов напряжения и токов и рассчитать значения углов сдвига фаз ϕ1,ϕ2,ϕ3 ,ϕ . Для

определения длины вектора напряжения производится выбор масштаба по напряжению и осуществляется деление действующего значения напряжения на масштаб напряжения. Длины векторов токов находятся аналогично с учетом выбранного масштаба по току. Расчет углов сдвига фаз между напряжением и токами производится по следующим формулам:

ϕ = arccos					r1	,				(3.145)
1					z1
ϕ2	= arccos				r2		,			(3.146)
					z2
ϕ = arccos		r3	= arccos					r3	= 0 ,	(3.147)
3		z3						r3
										117

	ϕ = arccos	P	.	(3.148)
		S
Пример 3.8				u = 310,2sin ωt ,
В электрической	цепи (см. рис. 3.27)
r1 = 3 Oм, xL1 = 4 Oм ,	r2 = 8 Oм , xC 2 = 6 Oм , r3 = 5 Oм. Рассчи-

тать данную электрическую цепь и построить векторную диаграмму напряжения и токов.

Решение

Действующее значение напряжения

U = U2m = 310,21,41 = 220 B .

Действующее значение тока, проходящего по катушке,

I

= U =

U

=

220

= 44 A .

1

z1

r

2 + x2

32 + 42

1

L1

Действующее значение тока в конденсаторе

I2

= U =

U

=

220

= 22 A .

r

+ x

82 + 62

z2

2

2

2

C 2

Действующее значение тока в резисторе

I3

= U = U = 220 = 44 A .

z3

r3

5

Активные мощности ветвей нагрузки

P1 = r1 I12

= 3 442 = 5808 Вт,

P = r I 2

= 8 222

= 3872 Вт,

2

2

2

P3 = r3 I32 = 5 442 = 9680 Вт.

Активная мощность источника

P = P1 + P2 + P3 = 5808 + 3872 + 9680 = 19 360 Вт = 19,36 кВт.

118

Индуктивная реактивная мощность катушки

QL1 = xL1I12 = 4 442 = 7744 вар.

Емкостная реактивная мощность конденсатора

QC 2 = xC 2 I22 = 6 222 = 2904 вар.

Реактивная мощность резистора

Q3 = 0 .

Реактивная мощность источника

Q = QL1 − QC 2 = 7744 − 2904 = 4840 вар = 4,84 квар.

Полная мощность источника электрической энергии

S = P2 + Q2 = 193602 + 48402 = 19956			ВА = 19,956 кВА.
Действующее значение тока источника
I =	S	= 19956 = 90,71 A.
U		220

Для построения векторной диаграммы необходимо определить длины векторов напряжения и токов и найти значения углов сдвига фаз между напряжениями и токами.

Для определения длины векторов напряжения и токов производится выбор величины масштабов: по напряжению mU = 22 В/см, по току mI = 11 А/см. Тогда длина вектора на-

пряжения

lU = U = 220 = 10 cм. mU 22

Длины векторов токов:

lI	=	I1	=	44	= 4 см,
				11
	1	mI

119

	l	I2		=			I2		= 22 = 2 см,
							mI
									11
	l	I3		=		I3			= 44	= 4 см,
							mI		11
	lI =			I	= 90,71					= 8,25 см.
			mI						11

Углы сдвига фаз между напряжением и токами рассчитываются по выражениям

ϕ = arccos

r1

= arccos 3

= 53°07',

1

z1

5

ϕ2

= arccos

r2

= arccos

8

= −36°48'.

z2

10

ϕ = arccos

r3

= arccos 5 = 0°,

3

z3

5

ϕ = arccos PS = arccos19956519360 = 14 5'.

(Напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока, и поэтому угол ϕ2 отрицательный.)

Рис. 3.28. Векторная диаграмма

120