Boyarshinov_ChM_T2

течения связь между приращениями напряжения и деформации (одноосное напряженное состояние) определяется, как и ранее, выражением (6.48).

Для произвольного поперечного сечения полосы с лагранжевой координатой s внутренний изгибающий момент для момента времени t+ t равен

M s,t t d d Ex d

F F F

где - вертикальная координата в плоскости поперечного сечения полосы; F - область, занятая рассматриваемым сечением.

Отсюда, с учетом выражения

,

получаем уравнение связи изгибающего момента M и приращения кривизны

M s,t t M s,t Ex 2d .	(6.67)
F

Очевидно, что в случае чисто упругого деформирования величина Ex совпадает с модулем упругости E и последнее уравнение принимает обычный вид [26]

M EI 0 .

Граничные условия рассматриваемой задачи имеют вид:

- на выходе из последней черновой клети

v1 0,t v10 t ;				v2 0,t 0;			q 0,t 0;	(6.68)
- на входе в тянуще - тормозные ролики
v1 L,t v1L t ;				v2 L,t 0;			q L,t 0.	(6.69)
Начальные условия задачи:
1		1		2		2
		0	s ;	v s,0 v		0	s ;
v s,0 v
				uy s,0 uy0 s ;				(6.70)
ux s,0 ux0 s ;

q s,0 q0 s ; s,0 0 s .

В системе из 10 дифференциальных уравнений (6.58) - (6.67) содержатся 10 неизвестных функций

ux(s, t), uy(s, t), v1(s, t), v2(s, t), q(s, t), (s, t), (s, t), M(s, t), Q1(s, t), Q2(s, t).

Таким образом, для описания процесса формирования петли металлической полосы необходимо решить систему неоднородных дифференциальных уравнений в частных производных (6.58) - (6.67) с краевыми условиями (6.68) - (6.70).

205

Для численного интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных построим разностные аналоги уравнений (6.58) - (6.67) на сетке с постоянными шагами по времени и координате h (i - номер шага по времени, j - номер шага по координате):

vi 1

vi

vi 1

Qi 1

Qi 1

m

1j

1j m i

1j 1

1j

0

0

j

2 j

h

vi 1

vi

vi 1

Qi 1

Qi 1

m

2 j

2 j m i

2 j 1

h

2 j

0

0

j

1j

i 1

i

i 1

i 1

I j

j Mj 1

Mj

Qi 1

;

h

2 j

vi 1

vi 1

ijv2i j1 ;

1j 1

h

1j

vi 1

vi 1

i

vi 1

i 1

;

2 j 1

2 j

h

j

1j

j

qi 1

qi

ij 1;

j

j

qi 1

qi 1

i 1

0j .

j 1

j

h

j

Mi 1 Mi

i 1 i

E 2d

;

j

j

j

j

x

F

ui 1

ui

vi 1 cosqi

vi 1 sinqi

;

xj

xj

1j

j

2 j

j

uyji 1

uyji

vi 1 sinqi

vi 1 cosqi .

1j

j

2 j

j

ijQ2i j1 m0hgsinqij ;

ijQ1ij1 m0hgcosqij ;

(6.71)

(6.72)

(6.73)

(6.74)

(6.75)

(6.76)

(6.77)

(6.78)

(6.79)

(6.80)

При записи системы уравнений (6.71) - (6.80) произведена линеаризация исходной задачи. Это позволило получить (для каждого шага по времени) систему линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений искомых функций.

Алгоритм решения задачи реализуется следующим образом. На начальном временном слое значения функций известны из начальных условий (6.70) в каждом узле конечно - разностной сетки. Первоначально предполагается, что деформирование происходит упруго (Ex = E). Это дает возможность сформировать “нулевую” систему алгебраических уравнений, решение которой позволяет определить узловые значения всех искомых величин (в том числе и силовые параметры Q1, Q2, M) для следующего момента времени .

Далее, по величинам приращения деформации за временной шаг с

помощью зависимости S *p определяется "хордовый" модуль Ex для каждой

частицы полосы, и для каждого сечения определяется величина Ex 2dF . Это

F

позволяет вновь сформировать систему уравнений (6.71) - (6.80) и решить задачу изгиба на том же временном шаге, то есть определить уточненные

206

величины приращений деформации и напряжения, вычислить новые значения

Ex 2dF . “Внутренний” итерационный процесс продолжается до получения

F

требуемой точности решения. С помощью найденных величин формируется новая система алгебраических уравнений для следующего шага и определяется решение для момента времени 2 , и так далее, до конца рассматриваемого процесса.

Для проверки правильности разработанной математической модели проводилось сравнение результатов компьютерных расчетов с данными экспериментальных измерений. На рис. 6.26 приведены результаты лабораторных исследований и численного моделирования процесса петлеобразования свинцовой полосы шириной 90 мм и толщиной 6 мм. Длина участка петлеобразования 825 мм, скорости на входе и выходе этого участка равны соответственно 0.106 м/с и 0.019 м/с. Для расчетов использовалась конечно-разностная сетка с 30 узлами по длине пролета. Шаг по времени выбран равным 0,01 с. Из рисунка видно наличие удовлетворительного совпадения результатов для начально периода петлеобразования: правильно отражается возникновение и динамика накопления петли металла. Очевидно, что резкое увеличение кривизны (в наивысшей точке в момент времени t=4 с) определяется именно наличием пластических деформаций в полосе.

Рис. 6.26. Сопоставление результатов численного (сплошные линии) и

экспериментального (точки) исследований петлеобразования свинцовой

полосы.

Время: 1 - 0,2 секунды; 2 - 2 секунды; 3 - 4 секунды.

207

Рис. 6.27. Фазы упругопластического изгиба на стадиях накопления (а - г) и выборки (д - з) свинцовой полосы; а - 1 секунда; б - 3 секунды; в - 5 секунд; г - 7 секунд; д - 15 секунд; е - 22 секунды; ж - 30 секунд; з - 35 секунд;

Рис. 6.28. Графики изменения скорости v10(t) на входе и v1L(t) на выходе участка петлеобразования

Результаты численного моделирования свободного петлеобразования стальной упругопластической полосы шириной 1250 мм и толщиной 30 мм (температура 11000 С) на участке длиной 8 метров показаны на рис. 6.29. Графики изменения скоростей полосы на выходе из клети и на входе в тянуще -

208

тормозные ролики приведены на рис. 6.28. Для расчетов использовалась конечно - разностная сетка, содержащая 80 узлов. Для интегрирования по сечению полосы взято 40 точек по высоте поперечного сечения. Шаг интегрирования по времени составил 0.001 с.

Рис. 6.29. Фазы упругопластического изгиба стальной горячей полосы при свободном петлеобразовании; а - 1 секунда; б - 2 секунды; в - 3.5 секунды; г - 4 секунды

Здесь также отчетливо просматриваются последовательные стадии формирования и выборки петли полосы. Следует отметить, что для рассматриваемого режима петлеобразования характерно появление второй петли, которая, по-видимому, появляется в результате торможения первой петли возле тянуще-тормозных роликов.

В ходе проведения вычислительных исследований процесса петлеобразования упругой полосы выявлена особенность поведения упругой (холодной) полосы. На рис. 6.30 приведена форма полосы с эпюрой распределения абсолютных скорости ее точек для последовательных моментов стадии выборки. Из рис. видно, что после выхода заднего конца полосы из клети и его резкого торможения возникает колебательный процесс с амплитудой раскачивания примерно 2 м и периодом около 3.5 с.

209

а б в Рис. 6.30. Форма упругой полосы и эпюры распределения скорости при свободном петлеобразовании; а - 11.9 секунд; б - 12.6 секунды; в - 12.8 секунд

Необходимо отметить отсутствие подобного раскачивания полосы в момент торможения левого конца при упругопластическом деформировании. Это объясняется диссипацией упругой энергии за счет пластического деформирования. Разработанная модель позволяет определять разнообразные характеристики упругопластической полосы в процессе ее свободного петлеобразования (рис. 6.31). Пиковое значение усилия на тянуще - тормозных роликах соответсвует тому моменту выборки петли, когда кривизна в ее вершине становится наибольшей.

а

б

Рис. 6.31. Механические характеристики процесса свободного петлеобразования; а - продольная составляющая скорости при t = 4 с; б - усилие на тянущих роликах

210

Контрольные вопросы и задания

Оцените порядок аппроксимации дифференциального уравнения (6.1) разностной схемой (6.4).

Оцените порядок аппроксимации дифференциального уравнения (6.1) разностной схемой (6.5).

Оцените порядок аппроксимации дифференциального уравнения (6.1) разностной схемой (6.6).

Проверьте условия устойчивости разностного аналога (6.4) дифференциального уравнения (6.1).

Проверьте условия устойчивости разностного аналога (6.5) дифференциального уравнения (6.1).

Проверьте условия устойчивости разностного аналога (6.6) дифференциального уравнения (6.1).

Оцените порядок аппроксимации граничного условия (6.32) разностной схемой (6.9).

Покажите, выполнив необходимые выкладки, что решение системы уравнений (6.19) аппроксимирует на отрезке t,t t решение уравнения (6.102) с точностью O 2 .

Покажите, что поле скоростей, определяемое соотношением (6.21), удовлетворяет уравнению несжимаемости (6.11).

Покажите, что решение системы уравнений (6.23) на отрезке t,t t

аппроксимирует с погрешностью O 2 решение уравнения (6.22).

Покажите, что с		погрешностью O 2 решение уравнения (6.12) на
отрезке t,t t		можно заменить решением системы уравнений (6.25).
Определите,	как ограничения следует наложить на краевые условий
(6.68) - (6.70)	для их согласованности.

212

П Р Е Д М Е Т Н Ы Й

А

Адамс Д. К.	27
аналог разностный	16, 96

Б

балка на упругом основании	48
— многопролетная	189
Буняковский В. Я.	78

В

винклерово (упругое) основание	48
время фиктивное	157

Г
Галеркин Б. Г.	61
Д	96
дискриминант	88
З
задача граничная	7, 41
— Коши	7, 9
— —, устойчивость	10
— на собственные значения	7
— сеточная	80
знакопеременный изгиб	189
И
история нагружения	193, 197
К
корректность поставленной задачи	7
— разностной схемы	114
— численного решения	7
коэффициент Шези	180
Курант Р.	120
Кутта М. В.	19
М
метод интегрирования неявный	29
— решения приближенный	6
— — точный	6
— — численный	6
— Адамса	27
— Адамса - Моултона	29
— Белоцерковского	166
— Бимана	39
— Верле	39
— Галеркина	61
— дифференциальной прогонки	45
— Либмана	152

У К А З А Т Е Л Ь

— моментов	56
— наименьших квадратов	69

— Неймана		111
— Пикара		12
— полушага		38
— последовательной верхней релаксации		154
— пристрелки		42
— прогонки		83
— расщепления	136, 164
— Ритца		75
— Ричардсона		152
— Рунге - Кутты 2 порядка		19
— Рунге - Кутты 3 порядка		25
— Рунге - Кутты 4 порядка		25
— — — для системы уравнений		34
— сеточный		80
— средней точки		38
— Фурье		93
— Эйлера		15
— — для системы уравнений		33
— Эйлера - Коши		21
— Эйлера - Кромера		38
минимизирующая последовательность		78

Н

накопленная пластическая деформация	189
напряжения остаточные	200
невязка	58
нейтральная линия	190
неравенство Коши - Буняковского	78

О
область сеточная	80
П
Пеано Д.	9
петлеобразование	202
Пикар Ш. Э.	12
погрешность аппроксимации	17
— решения	14
полушаг	135
порядок аппроксимации	98
признак устойчивости Неймана	114
— — по начальным данным	102
— — по правой части	103
пространство L2	73
Пуассон Д. С.	148
принцип максимума	106

Р

213

радиус гидравлический	180
разрешимость метода Галеркина	67
— — наименьших квадратов	72
— — сеток	81
Ритц В.	75

214