Boyarshinov_ChM_T2

выборе параметра D. С другой стороны, теперь можно попытаться подобрать такое значение D~ , которое будет обращать это выражение в тождество:

	~	~
	2 u1 b;D ,u2	b;D 0.

В случае, если полученное выражение является достаточно сложным, для

~

определения D может использоваться один из известных методов поиска корня нелинейного уравнения.

Пример 3.1. Решим задачу теплопроводности для однородного тонкого стержня с теплоизолированной боковой поверхностью

d2q J x,q 0 dx2

при условии J x,q const и граничных условиях

q 0 q 0 cp ,

q 1 1.

Введем обозначения:

q u1,

q u2 .

Исходное уравнение представим в виде системы двух дифференциальных уравнений:

u1 u2;

u J			;
	2

с граничными условиями

u1 0 u2 0 cp ,

u1 1 1.

В соответствии с идеей метода пристрелки положим u1 0 D. Из первого граничного условия выразим

u2	0	u1	0 cp	D cp ,

что позволяет перейти к задаче Коши

u1 u2 , u1 0 D;

	J
u2	; u2

D cp .

43

Интегрирование дает:

		x				J		,
u2						x C1
		x J x					2
u1							C1x C2 .
						2
Использование начальных условий позволяет определить постоянные
интегрирования
	Ñ1				D cp ,
C			D,
	2

и найти решение задачи

		J	x				D cp ,
u2	x
	x	J x		2		D cp x D.
u1
		2
Подставляем полученное решение в пока неиспользованное граничное
условие u1 1 1 :
u 1 J						D		cp	D	1 .
1		2

Теперь можно определить неизвестную произвольную величину D:

J 2	1 2 cp
D		.
2

Окончательно решение исходной задачи принимает вид

q x J x2 J 2 1 cp x J 2 1 cp .
2	2	2

Метод дифференциальной прогонки

Пусть рассматривается система n дифференциальных уравнений вида

u											(3.6)
			A x u						f x
с граничными условиями
	u		x	s		s		,	s 1,m	.	(3.7)
	s

44

Пусть в точке x1 задано p1 условий, в точке x2 – p2 условий, и так далее; очевидно, что общее число граничных условий равно числу дифференциальных

m

уравнений системы (3.6), то есть pk n.

k 1

Например, в случае системы двух дифференциальных уравнений, задача (3.6) - (3.7) представляется в виде:

u1 a11 x u1 a12 x u2 f1 x ,u2 a21 x u1 a22 x u2 f2 x ,

11u1 x1 12u2 x1 1,

21u1 x2 22u2 x2 2 .

Матрицы в выражениях (3.6) и (3.7) принимают вид:

u								a x a						x					f				x
u		1	,		A x				11			12				,					1			;
	u							a										f x		f
		2							21	x	a	22	x								2	x
1 11				12 ,			1 1,
2 21				22 ,			2 2 .

Основная идея метода дифференциальной прогонки заключается в сведении граничной задачи (3.6) - (3.7) к задаче Коши, то есть в сведении граничных условий (3.7), заданных для m разных значений аргумента, к n условиям, заданным для одного значения аргумента, то есть m = 1.

Рассмотрим вспомогательное функциональное соотношение

	v x		T u	x ,		(3.8)

где

v11 x

v x T v12 x

v1n x

v21 x	vn1		x		1 x
v22 x
		vn2 x				2 x
				,	x	.
v2n x		vnn			n x
			x

Если предположить, что функциональные матрица [v(x)] и вектор { (x)} известны, выражение (3.8) для заданного x = b представляет собой систему алгебраических уравнений

v b

T

u b

b

(3.9)

относительно

значений

u1 b ,

u2 b ,

,

un b ,

которые

теперь можно

использовать как начальные условия для системы

обыкновенных

дифференциальных уравнений (3.6).

45

Продифференцируем выражение (3.8) в предположении, что [v(x)] и { (x)} - дифференцируемые функции:

v x T u v x T u x .

Учитывая исходную систему уравнений (3.6) из последного соотношения получаем

v x T u v x T f x A x u x ,

v x T v x T A x u x v x T f x .

Последнее выражение будет справедливо для любых функций {u}, например, при выполнения условий

v x T v x T A x 0,

x v x T f x 0.

Отсюда получаем систему 2n обыкновенных дифференциальных

уравнений относительно [v(x)]

и { (x)}:

v x

A x

T

v x

0,

(3.10)

T

.

(3.11)

x

v

x

f

x

0

В соответствии с выражением (3.7) в первой точке заданы p1 граничных условий. Выберем в (3.10) и (3.11) подходящие дифференциальные уравнения (таких уравнений будет p1 p1 p1), для которых с помощью этих граничных условий можно определить начальные условия, и проинтегрируем на отрезке [x1, x2]. Это позволит определить значения выбранных функций [v(x)] и { (x)} в следующей точке x2. Но в этой точке заданы еще p2 граничных условий исходной задачи, что в свою очередь позволяет выбрать еще p2 p2 p2 дифференциальных уравнений из систем (3.10) - (3.11) и проинтегрировать их вместе с первым набором уравнений на втором участке. Последовательно выполняя эту процедуру для всех отрезков xk ,xk 1 , k 1,m 1, в конечном итоге получим значения всех функций [v(b)] и { (b)} для последней точки отрезка. Наконец, решая систему алгебраических уравнений (3.9), определяем значения искомых функций {u(b)}, то есть фактически переходим к задаче Коши.

Пример 3.2. Найдем решение задачи об изгибе балки, нагруженной распределенной поперечной нагрузкой, на упругом винклеровом основании (рис. 3.1) с коэффициентом упругости К.

q(x)

46

K

L

Рис. 3.1. Расчетная схема балки на упругом винклеровом основании.

Для построения дифференциального уравнения, описывающего поведение такой конструкции выделим элемент конструкции малой толщины dx (рис. 3.2) и составим уравнеия равновесия

- проекций усилий на горизонтальную ось

Q (Q dQ) q dx 0;

- моментов относительно левого нижнего угла сечения

M ( M dM ) (Q dQ) dx q dx 2	0.
2

q(x)

Q	Q+dQ
M	M+dM

dx

Рис. 3.2. Расчетная схема для пол учения уравнений равновесия.

Из первого уравнения следует зависимость между усилием Q и нагрузкой

q:

dQ q ; dx

второе уравнение, в предположении о малости величин dQ dx, dx 2 , устанавливает соотношение между моментом М и усилием Q:

dM Q. dx

Два этих выражения приводят к формуле

q(x) dQ d2 M . dx dx2

47

Теперь, полагая модуль упругости и момент инерции постоянными и

дифференцируя дважды уравнение изгиба EI d2u	M x , получаем
dx2
дифференциальное уравнение четвертого порядка
EI d4w q .
dx4

Кроме нагрузки q(x) на балку действует реакция упругой поверхности, в простейшем случае пропорциональная величине прогиба и направленная против внешней нагрузки:

EI d4w q Kw. dx4

Обозначим p x q x ,	k K .
EI	EI

Окончательно уравнение изгиба балки на упругом винклеровом основании принимает вид:

d4w	kw p.	(3.12)
dx4

Определим граничные условия, исходя из геометрического смысла функции w и ее производных:

w	- перемещение точек балки;
w	-	тангенс угла поворота оси балки; для малых значений
приблизительно			равен значению самого угла поворота;
EIw -		изгибающий момент, действующий в рассматриваемом сечении
балки;

EIw - внешняя перерезывающая нагрузка.

Для схемы, изображенной на рис. 3.1, граничные условия записываются в виде (принято L = 1):

w 0 0,

w 1 0,

(3.13)

w 0 0,w 1 0.

Введем обозначения:

w u1 ,

w u2 ,

w u3 ,

w u4 .

Теперь дифференциальное уравнение (3.12) четвертого порядка можно представить в виде системы четырех уравнений первого порядка с соответствующими граничными условиями:

48

u1 u2 ,

u2 u3 ,u3 u4 ,

u4 ku1 p,

u1 0 0,u1 1 0,

(3.14)

u3 0 0,u3 1 0.

В соответствии с записью (3.6) матрица [A(x)] коэффициентов и правая часть {f(x)} системы дифференциальных уравнений в этом случае имеют вид:

					0			1				0		0			0
						0		0			1						0
A(x)														0
						0		0				0		,		{ f (x)}	0	.
														1
								0	0
					k									0		p(x)
Граничные условия (3.14) также представим в форме выражения (3.7):
1			1			0		0		0			,			0
						0		1							1 ,
			0							0						0
2			1			0		0		0			,		2	0
						0		1								.
			0							0						0
Теперь систему уравнений и граничных условий можно представить в
форме (3.6) - (3.7):
													f
u					A x u									x ,
								1						2		2
1
		u 0									, u 1					.
Поскольку для												x = 0			заданы два граничных условия, матрицы [v(x)] и

{ (x)} соотношения (3.8) на первом (и единственном отрезке [0, 1]) представляются в виде:

v11 x

v12

x

21 x

v22

1 x

v x

v

x

,

x

.

v

x

v

x

2

x

31

32

v

41 x

v42

x

Для нахождения функциональных матриц [v(x)] и { (x)} следует решить систему дифференциальных уравнений (3.10) - (3.11). Произведем необходимые вычисления:

			0		0	0	k v11		v12			kv41		kv42
						0							v11
A	T	v	1 0				0 v21		v22					v12		,
				0	1	0		v31	v32				v21	v22
							0
				0	0	1
							0 v41		v42			v31		v32

49

					0
		v11	v21	v31		0		v41 p
v	T				v41
		f	v22	v32		0			.
		v12			v42			v42 p
					p

Представим системы уравнений (3.10), (3.11) в компонентной записи:

v kv			41			0,	v kv		42		0,
	11						12
v v		11			0,		v v	12		0,
	21						22					(3.15)
v v		21			0,		v v	22		0,
	31						32
v v		31			0,		v v	32		0;
	41						42
pv						0,						(3.16)
	1			41		0.
pv				42
	2

Граничные условия для этих уравнений получим, сопоставляя соотношение

1 u 0 1

с формулой (3.8), записанной для конкретного значения аргумента x=0,

v 0 T u 0 0 .

Приравнивая соответствующие компоненты матриц

v 0 T 1 , 0 1 ,

получаем начальные условия для полученных систем дифференциальных уравнений (3.15) - (3.16):

	v11 0 1,				v12 0 0,
					v	22 0 0,
		21 0 0,
	v
		31 0 0,			v	32 0 1,
	v
					v	42 0 0,
		41 0 0,
	v
		0		0,
		1
		2
			0	0.

Обратимся к первым четырем уравнениям полученной системы (3.15)

v	v	31 ,
41
v	v		v	21	,
41		31
v v		v			,
41	21		11

v41(iv ) v11 kv41.

50

В результате выкладок получили дифференциальное уравнение четвертого порядка

v41(iv ) kv41 0

с начальными условиями:

v	41	0 0,	v	0 0,	v	0 0,	v 0 1	.
			41		41		41

Решение ищется в виде

v41 x Ae x .

Характеристическое уравнение

4 k 0

имеет четыре корня:

1 4	k	i 1 ,	2 4	k	i 1 ,	3 4	k	i 1 ,	4 4	k	1 i .
	4			4			4			4

В этом случае решение уравнения записывается как сумма четырех слагаемых

v41 x A1e 1x A2e 2x A3e 3x A4e 4x .

С помощью формулы Эйлера e i z cos z i sin z

решение представляется в показательно - тригонометрическом виде

v41 x e x B1 cos x iB2 sin x e x B3 cos x iB4 sin x ,

(3.17)

где 4k4.

Используя формулу (3.17), получаем:

v31 x v41 x e x B1 cos x iB2 sin x e x B1 sin x iB2 cos x

e x B3 cos x iB4 sin x e x B3 sin x iB4 cos x ,

v21 x v31 x 2 2e x B1 sin x iB2 cos x 2 2e x B3 sin x iB4 cos x ,

v11 x v21 x 2 3e x B1 cos x iB2 sin x 2 3e x B1 sin x iB2 cos x

2 3e x B3 cos x iB4 sin x 2 3e x B3 sin x iB4 cos x .

Теперь, учитывая начальные условия, получаем систему алгебраических уравнений относительно постоянных интегрирования B1, B2 , B3 , B4 :

51

B iB B iB 1							,
	1	2	3		4	2 2
B		B	0,
	2	4
B iB B iB					0,
1		2	3	4
B1	B3 0.

Решением этой системы являются значения

B1	1	3 ,	B2	i	3 , B3	1	3 ,	B4	i	3 ,
	8			8		8			8

позволяющие найти решения

1

v41 x 4 3 sh x cos x ch x sin x ,

1

v31 x 2 2 sh x sin x ,

1

v21 x 2 ch x sin x sh x cos x ,

v11 x ch x cos x .

Теперь, зная решение v41 x , с помощью (3.16) (полагая для упрощения, что p(x)=const) определяем функцию

x		t dt p	4 ch x cos x 1 .
1 x 1 0 p t v41
0		4
Аналогично	вычисляются		функции v12 x ,	v22 x ,	v32 x ,	v42 x ,	2 x . В

частности, система алгебраических уравнений относительно постоянных интегрирования второй системы дифференциальных уравнений (3.15) имеет вид:

D1 iD2 D3 iD4 0,

D		D		0,
	2		4
D iD D iD 1						,
	1	2		3 4
D D			0.
	1	3

Отсюда следуют значения коэффициентов

D1	1 ,	D2	i ,	D3	1 ,	D4	i	,
	4		4		4		4

с помощью которых определяются искомые функции:

1

v42 x 2 sh x cos x ch x sin x ,

v32 x ch x cos x ,

52