Boyarshinov_ChM_T2

				y	x	16
	Тогда последовательность		функций k		сходится равномерно		к
	решению y(x) на отрезке [a, b].
	Оценим модуль выражения
	x	x	b

yk x y x yk y dt yk y dt yk y dt.

a a a

Используя неравенство17 Коши - Буняковского18, получаем:

b

y y dt

b a

b

y

y

2 dt

12

1 2 b

p y

y

2 dt

1 2

1 2

b a

k

k

p0

k

a

a

a

1 2 b

p y

y

q y

y

dt

1 2

b a

2

k

2

.

(3.40)

p

k

0

a

В свою очередь,

b

yk y pyk2 qyk2 2fyk py 2 qy2 2fy dt

a

b

p yk2

a

y 2 q yk2 y2 2f yk y dt

b

p yk 2 2yk y y 2 2py yk y q yk 2 2yk y y2 2qy yk y 2f yk y dt

a

b

2

2

b

y f yk y dt

p yk y

q yk y

dt 2 py yk y qy yk

a

a

b

y

2

2

(3.41)

p yk

q yk y

dt.

a

Этот результат получен с учетом того, что

b

py yk

y qy yk y

a

f yk y

dt

b

py yk y

yk y py qy yk y f yk y dt

a

U

,

k 12,

,

16

к

Согласно [10], равномерной называется сходимость последовательности операторов k

оператору U по норме Uk U 0 рассматриваемого пространства.

		b	b		b
	Неравенство Коши - Буняковского:	a	a	2dx	a
17		dx			2dx
18	Буняковский Виктор Яковлевич	[4.12.1804	-	30.11.1889] - русский математик. В 1825 году защитил

диссертацию на степень доктора математики. Преподавал математику и механику в 1-м кадетском корпусе, Морском корпусе, Институте путей сообщения,Петербургском университете. С 1830 года - академик Петербургской Академии наук, с 1864 - ее вице-президент. Почетный член многих русских ученых обществ и университетов.

77

b

py yk y a

	b
	yk
		y py		qy f dt 0.
	a

Первое слагаемое в последнем выражении обращается в нуль, поскольку минимум функционала (3.38) ищется в классе допустимых функций, удовлетворяющих граничным условиям (3.23). Второе слагаемое равно нулю вследствие выполнения исходного уравнения (3.22).

Сравнивая выражения (3.40) и (3.41), приходим к выводу, что

y x y					1 2		y	12	.
		x b a			y
	k		p			k
			0

Поскольку yk x является минимизирующей последовательностью, то есть

yk y , из последнего неравенства следует, что

k

y x yk x 0

k

независимо от значения аргумента x .

Что и требовалось доказать.

78

Сеточный метод решения линейной граничной задачи

Будем считать, что линейная граничная задача (3.29) - (3.30) имеет единственное решение, непрерывное на отрезке [a, b] вместе с производными до четвертого порядка включительно.

Идея метода сеток заключается в следующем.

1. Область [a, b] задания дифференциального уравнения заменяется дискретной сеточной областью

n		a k h,	k 0,n,	h	b a
	xk				n	.

2.Граничная задача (3.29) - (3.30) заменяется сеточной задачей, то есть производные в дифференциальном уравнении заменяются разностными аналогами; в результате этого исходная задача заменяется системой алгебраических уравнений.

3.Решение системы алгебраических уравнений каким-либо численным методом позволяет определить сеточные (узловые) значения искомой функции.

Воспользуемся аппроксимацией первой и второй производных:

dy xk		y xk 1	y xk 1		,
dx			2h
d2 y xk		y xk 1 2y xk y xk 1
dx2			h2

и запишем разностный аналог дифференциального уравнения (3.29):

yk 1 2yk	yk 1	pk	yk 1 yk 1	qk yk	fk .	(3.42)
h2			2h

Очевидно, что такие соотношения можно записать для всех внутренних узлов сетки n , то есть для k 1,n 1. Поскольку в уравнениях (3.42) содержится (n + 1) неизвестное значение искомой функции, необходимо дополнить эту систему еще двумя алгебраическими уравнениями, получаемыми при замене граничных условий (3.30) разностными аналогами:

0 y0 1

0 yn 1

y1 y0 A, h

(3.43)

yn yn 1 B. h

Теперь система (n + 1) уравнений содержит ровно (n + 1) неизвестную величину.

Разрешимость системы алгебраических уравнений метода сеток

80

Для упрощения рассмотрим частный случай

0 0 1,

1 1 0.

Введем обзначения:

h Ak 1 2 pk ,

2Bk 2 h2qk ,

h Ck 1 2 pk ,

h yk Ak yk 1 2Bk yk Ck yk 1.

Теперь задача (3.42) - (3.43) записывается в виде

h yk fkh2 ,						k 1,n 1;
						(3.44)
y	0	A,	y	n	B.

Покажем, что соответствующая однородная система алгебраических уравнений

h zk 0,					k 1,n 1;
					(3.45)
z	0	0,	z	n	0.

имеет только тривиальное решение.

Лемма 3.1. Пусть на отрезке [a, b] заданы некоторые числа среди которых есть неравные между собой, и выполнены условия

1).	h
	max p x 1
	2 a x b		,
2).	q x 0
		x a,b

Y0 ,Y1,Y2 , ,Yn ,

(3.46)

а также имеет место

h Yk 0

k 1,n 1.

Тогда

среди

чисел

Y0 ,Y1,Y2 , ,Yn

наибольшее

положительное

значение

принимает либо Y0 ,

либо Yn .

Пусть, напротив, наибольшее

положительное

значение

Ys M 0

достигается внутри отрезка [a, b]

при некотором значении 1 s n 1, причем

либо Ys 1 M ,

либо

Ys 1 M . Тогда в силу условия 1) получим

h

Y

AY

2B Y C Y

A C

M 2B

M A C

s

2B

M

,

s

s s 1

s s

s s 1

s

s

s

s

s

поскольку As 0, Bs 0. Благодаря условию 2) имеем:

81

	h	h	ps 2 qsh	2		M qsh	2	M 0.
h Ys 1		ps 1
	2	2

Пришли к противоречию с исходным предположением, что и доказывает лемму.

Лемма 3.2. Пусть на отрезке [a, b] заданы некоторые числа Y0 ,Y1,Y2 , ,Yn , среди которых есть неравные между собой, выполнены условия (3.46), а также имеет место

h Yk 0

k 1,n 1.

Тогда среди чисел Y0 ,Y1,Y2 , ,Yn наименьшее отрицательное значение принимает либо Y0 , либо Yn .

Доказательство этого утверждения проводится аналогично предыдущему.

Теорема 3.7. Пусть выполнены условия (3.46). тогда однородная система алгебраических уравнений (3.45) имеет только тривиальное решение.

Доказательство. В соответствии с формулами (3.45) выполнены условия лемм 3.1 и 3.2 одновременно. В этом случае наибольшим и наименьшим значениями являются либо z0 , либо zn . Но согласно формуле (3.45) z0 zn 0. Но это означает, что и все остальные zk 0, k 1,n 1. Таким образом, система уравнений (3.45) имеет только тривиальное решение, и поэтому ее определитель отличен от нуля. Следовательно, исходная система линейных алгебраических уравнений (3.44) имеет единственное решение.

Оценка порядка аппроксимации

Разложим решение задачи (3.29) - (3.30) в ряды Тейлора вблизи точки xk :

y xk 1	y xk y xk h y xk h2	y xk h3	yiv xk h4	,
	2	6	24
	2	3	4
y xk 1	y xk y xk h y xk h2	y xk h6	yiv xk 24h

Подставим эти выражения в разностный аналог (3.42) уравнения (3.29):

k y xk 1 2 y xk y xk 1

p xk

y xk 1 y xk 1 q xk y xk f xk

h2

2 h

y x

yiv x

h

2

p x

y x

y x

h

2

y x

f x

k

k

k

k

k

q x

k

k

k

12

6

y xk p xk y xk q xk y xk f xk h2 yiv xk 2pk y xk .

12

Первое слагаемое в этом выражении совпадает с исходным уравнением (3.29) и поэтому обращается в нуль. Погрешность аппроксимации

82

		2
k		12h	yiv xk 2pk y xk O h2	(3.47)

уравнения (3.29) разностным аналогом (3.42) имеет второй порядок.

Метод прогонки для решения сеточной задачи

Запишем сеточную задачу (3.42) - (3.43) с учетом введенных ранее обозначений:

A y

k 1

2B

k

y

k

C

k

y

k 1

f

k

h2

, k 1,n 1,

k

1

Ah

0h y1 1

0h ,

(3.48)

y0 1

1

y

Bh .

y

n

n 1

1

0h

1 0h

Введем соотношение

yk

uk 1yk 1

vk 1 ,

(3.49)

использующее дополнительные переменные

uk ,vk , k 1,n. С помощью (3.49)

запишем выражение для yk 1:

yk 1 uk yk vk uk uk 1yk 1 vk 1 vk .

Подставим два последних соотношения в уравнения (3.48):

Ak yk 1 2Bk uk 1yk 1 vk 1 Ck uk uk 1yk 1 vk 1 vk

yk 1 Ak 2Bkuk 1 Ckukuk 1 2Bkvk 1 Ckukvk 1 Ckvk fkh2 ,

k 1,n 1,

которое будет выполняться при любом наборе значений

yk , k 1,n 1, если

имеют место равенства

A 2B

u

C

u

u

0,

k

k

k 1

k

k

k 1

Ckukvk 1 Ckvk fkh

2

0, k 1,n 1,

2Bkvk 1

Это позволяет получить рекуррентные соотношения:

Ak

,

uk 1

2Bk

Ckuk

(3.50)

fkh

2

Ckvk ,

k 1,n 1.

v

k 1

2Bk

Ckuk

Прямой ход метода прогонки выполняется в следующей последовательности действий. Запишем выражение (3.49) для k = 0

y0 u1y1 v1

и сравним с формулой

83

y				1	y		Ah
	0		1 0h			1	1 0h
сеточной задачи (3.48).
Отсюда можно вычислить исходные значения
u			1	1	,
1				0h					(3.51)
			Ah .
v
1			1	0h
Далее используются формулы (3.50) для вычисления всех остальных
величин uk ,vk ,					k 2,n.
Обратный ход метода прогонки. Формулу (3.49) при k = (n - 1), то есть
yn 1 un yn vn ,					подставляем в последнее выражение системы (3.48):
yn				1	un yn vn Bh			0h	,
			1		0h		1
				1un			1vn Bh ,
yn 1
			1 0h				1 0h
yn				1vn Bh			.
			1
					0h 1un
Теперь, используя соотношение (3.49), можно определить все искомые
величины yk ,					k 0,n 1.

Метод прогонки можно использовать в тех случаях, когда в приведенных формулах знаменатели дробей не обращаются в нули. В частности, можно избежать равенства нулю выражения ( 1 0h) в формулах (3.51) подбором соответствующего значения шага интегрирования h.

Покажем далее, что при условиях

A 0,

C

k

0, 2B

k

A C

k

,

k 1,n 1,

k

k

(3.52)

1

1

1,

h

1

1

0

h

1

0

знаменатели

дробей

2Bk

Ckuk

0

и

1

0h 1un

0.

Оценим значения

переменных uk ,

k 1,n. Очевидно, что согласно условиям (3.52)

u1

1

1.

0h

1

Предположим,

что

uk

1

для произвольного значения

k. Тогда с учетом

(3.52)

2Bk Ckuk

2Bk

Ckuk

2Bk

Ck uk

2Bk

Ck Ak

0,

84

то есть знаменатель 2Bk Ckuk отличен от нуля.

Более того, учитывая, что		2Bk	Ckuk Ak ,	получаем
Ak	1.
uk 1
2B C u	k
k k
Тем самым по индукции показано, что все				uk 1,	k 1,n .
Согласно условиям (3.52)		1	1 0h .
Тогда и знаменатель

1 0h 1un 1 0h 1un 1 0h 1un 1 0h 1 0

отличен от нуля.

Контрольные вопросы и задания

Поясните необходимость каждого из требований, предъявляемых к системам функций k и k в методах моментов, Галеркина, Ритца и наименьших квадратов.

При каких условиях полная система функций будет одновременно

замкнутой?

Решите задачу из примера 3.4 с граничными условиями с помощью системы пробных функций

1 x x 1 x,

2 x x 1 2 x,

3 x x 1 3 x,

k x x 1 k x.

Решите задачу из примера 3.5 с заданными граничными условиями, используя систему пробных функций

			2
	1	x x	x,

3

2 x x 2 x2 ,

4

3 x x x3 ,

3

	k 1
k x x	k	xk .

85

Выражение (3.39) в методе Ритца определяет лишь условие стационарности функционала. При каких условиях функционал yn

будет иметь единственный минимум?

Вметоде Ритца приближенное решение строится на основе функций из класса C1a,b , которые в общем случае не являются в общем случае дважды дифференцируемыми, что требуется для удовлетворения дифференциального уравнения (3.22). Поясните, в каком смысле в этом методе понимается сходимость приближенного решения к точному.

Погрешность аппроксимации (3.48) определяется не только степенью шага интегрирования h, но и ограниченностью значений производных y xk , yiv xk . Установите, при каких условиях решение уравнения (3.29) будет иметь на отрезке [a, b] ограниченные значения производных до четвертого порядка включительно.

Предложите свою разностную схему аппроксимации уравнения (3.29) и оцените ее погрешность.

Оцените порядок аппроксимации граничных условий (3.30) разностным аналогом (3.43). Предложите способ повышения порядка аппроксимации граничных условий.

Сопоставьте по эффективности метод Гаусса и метод прогонки для решения системы линейных алгебраических уравнений сеточной задачи.

Теорема 3.2 доказана для задачи (3.22) с граничными условиями (3.23). Установите условия разрешимости системы алгебраических уравнений (3.25) для задачи (3.22) с граничными условиями более общего вида (3.19).

86