МАТ. АНАЛИЗ, Диф-ое исч-ие ф-ции одной переменной Конспект лекций Часть 2 Николаева

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Омский государственный технический университет»

Н.И. Николаева

Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Конспект лекций Часть 2

Омск-2008

УДК

ББК

Рецензенты: Ю.Ф.Стругов, д-р физ.-мат. наук;

С.Е.Макаров, канд. физ.-мат. наук, доцент

Николаева Н.И.

Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Конспект лекций. Часть 2 / Н.И. Нико-

лаева. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 2008. – 68 с.

Пособие представляет собой конспект лекций, читаемых автором на первом курсе технического университета, и предназначено для студентов всех форм обучения. В нем подробно, последовательно и с доказательствами изложена теоретическая часть курса математики. Часть 2 включает в себя две главы: «Введение в математический анализ» и «Дифференциальное исчисление функций одной переменной». Изложение сопровождается достаточным количеством примеров, поясняющих наиболее важные теоретические положения, иллюстрирующих теоретический материал и дающих образцы решения задач.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Омского государственного технического университета

С	Н.И.Николаева, 2008
С	Омский государственный
	технический университет, 2008

2

Оглавление

Глава 4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ…………………………	4
Числовые последовательности……………………………………………..	5
Свойства бесконечно малых последовательностей……………………….	7
Сходящиеся последовательности и их свойства…………………………..	8
Предельный переход в неравенствах………………………………………	11
Монотонные последовательности………………………………………….	12
Предел функции……………………………………………………………..	13
Односторонние пределы……………………………………………………	16
Сравнение бесконечно малых………………………………………………	18
Первый замечательный предел……………………………………………..	20
Непрерывные функции……………………………………………………...	22
Классификация точек разрыва……………………………………………...	24
Свойства непрерывных функций…………………………………………..	26
Глава 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОД-
НОЙ ФУНКЦИИ. ЕЕ ФИЗИЧЕСКИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ
СМЫСЛ………………………………………………………………………	33
Задачи о вычислении мгновенной скорости………………………………	33
Задача о проведении касательной к графику функции…………………...	34
Односторонние производные………………………………………………	37
Понятие дифференцируемости. Дифференциал функции………………..	38
Дифференцирование сложной функции…………………………………...	40
Дифференцирование обратной функции…………………………………..	40
Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного………	41
Таблица производных……………………………………………………….	42
Инвариантность формы первого дифференциала………………………...	45
Дифференцирование функции, заданной параметрически……………….	46
Основные теоремы дифференциального исчисления…………………….	48
Исследование функции и построение ее графика………………………...	53
Асимптоты графика функции………………………………………………	58
Общая схема исследования функции и построение ее графика………….	62
Библиографический список………………………………………………...	65

3

Глава 4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Предметом изучения раздела математики, который называется математическим анализом, являются переменные величины, то есть функции.

Будем считать, что X и Y – некоторые множества действительных чисел. Каждое действительное число можно, как известно, изобразить точкой на числовой прямой. Отдельные числа, входящие в состав множества X , будем называть его элементами. Если рассматриваемое множество содержит хотя бы один элемент, оно называется непустым. В противном случае – пустым.

Рассмотрим наиболее употребимые частные виды множеств действительных чисел:

1. a x b, a b – отрезок a,b ; a и b – концы отрезка; все x, удовле-

творяющие неравенству a x b – его внутренние точки;

2.a x b, a b – интервал (a,b); a и b – концы интервала;

3.любой интервал, содержащий точку a, будем называть ее окрестно-

стью;

4. a ,a , 0 – – окрестность точки a;

5.a x b, a x b – полуотрезки a,b), (a,b ;

6., – множество всех действительных чисел или всех точек чи-

словой прямой;

7.x a, x b – полупрямые a, ) и ( ,b ;

8.x a, x b – открытые полупрямые a, , ,b .

Множество Х всех значений, которые может принимать переменная величина x, называется областью ее изменения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть заданы две переменные величины x и y с областями изменения Х и Y. Переменная y называется функцией переменной x, если каждому значению x из множества Х по некоторому правилу ставится в соответствие единственное значение y Y . Такие функции называются однозначными.

Чтобы задать функцию, надо

1)задать множество Х,

2)определить правило установления соответствия между x и y.

Способы задания функции:

1) аналитический (с помощью формул)

4

ПРИМЕР. а) y x2,	x R,	y 0.	б) y log2 x,	x 0,	y R.
x,	x 0	, x R, y 0.
в) y	, x 0
x2

2) табличный

ПРИМЕРОМ табличного задания функции является расписание. 3) графический.

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если каждому значению n из натурального ряда чисел 1,2,3,…,n,…ставится в соответствие по некоторому правилу действительное число x(n) xn , то множество занумерованных действительных чисел xn на-

зывается числовой последовательностью.

Таким образом, последовательность – функция натурального аргумента, xn называется общим или n-м членом последовательности. Зная общий член xn , можно найти любой член последовательности.

ПРИМЕР. xn n2 x3 9, x10 100,...

yn ( 1)n y1 1, y2 1, y3 1,...

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность xn называется ограниченной
сверху (снизу), если M R (m R)					n N xn M (xn				m). M называется
верхней гранью, а m нижней гранью последовательности.
ПРИМЕРЫ. а) x	1		1			1	1
	=		.		1 или		2		ограничена сверху:
		n2		n2		n2
n							n2

M		1, M		1				1		1
	1		2	2,...		0	или		1			ограничена снизу:
					n2			n2
									n2

m1 0, m2 1,...

б) yn ( 1)nn2 – сверху неограничена и снизу неограничена.

в)zn n2 1. n2 1 0 или n2 1 1 n2 1 ограничена снизу:

m1 0, m2 1,... Сверху zn неограничена.

Если последовательность имеет верхнюю или нижнюю грани, то они неединственны.

5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность xn называется ограниченной,

если она ограничена сверху и снизу, то есть M,m R n N m xn M.

	ПРИМЕР. x	ограничена, так как	0	1	1 или 1	1	1.
				n2		n2
	n

Сформулируем еще одно эквивалентное этому определение ограниченной последовательности, которым, как правило, более удобно пользоваться.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность xn называется ограниченной,

если A 0 n N xn A.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. xn называется неограниченной, если для любого положительного A найдется хотя бы один элемент xn такой, что xn A.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. xn называется бесконечно большой, если

A 0 n0 N n n0 xn A.

ПРИМЕРЫ. а) zn n2 1: 2,5,10,17,26,…1001,… – неограниченная и бесконечно большая.

б) un (1 ( 1)n)n2 : 0,8,0,32,0,72,… – неограниченная, но не бесконечно большая.

Всякая бесконечно большая последовательность неограничена. Обратное утверждение неверно.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность n называется бесконечно малой (б.м.), если 0 n0 N n n0 n .

ПРИМЕР.			1		.			Если 2, то								1	2		n N.
	n
			n													n
Если 0,01,		то		1						1		n 100 n							100.
				n				100										0
Если 0,001, то						1				1			n 1000					n 1000.
						n				1000									0
Пусть 0 произвольно,													тогда	1				n		1	. Таким образом, n бес-
														n

конечно мала.

6

СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Если	n ,	n две последовательности, то n			n		называется их
суммой, n	n	разностью, n n	произведением, а	n		, n	0 частным.
			n
ТЕОРЕМА 1. Сумма двух б.м. последовательностей бесконечно мала.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть			n б.м. По определению это значит,

что 1 0 n1 N n n1 n 1.

			Пусть n															б.м. По определению 2 0																			n2 N n n2																n	2.
			Надо доказать, что																											0 n0 N n n0											n n								.
			Зададим произвольное																											0. Тогда для														n							n n ,			для
																																				1	2												2			1
								n								n n . Пусть n																	max n ,n , тогда
	2	2												2									2						0				1 2
n n													n				n						n					n							, что и требовалось доказать.
		0																												2			2

ТЕОРЕМА 2. Разность двух б.м. последовательностей бесконечно мала. Доказать самостоятельно, используя неравенство n n n n .

ТЕОРЕМА 3. Произведение б.м. последовательности и ограниченной бесконечно мало.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть n

б.м., а xn ограничена .Тогда по оп-

ределению 1 0 n0 N n n0

n

1

и A 0 n N

xn

A.

Надо доказать, что

0 n0 N

n n0

nxn

.

Зададим произвольное 0.

Тогда для

n

n n . Поэтому

1

A

A

0

n n0 nxn n xn A A . Что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 4. Всякая бесконечно малая последовательность ограничена.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть n б.м. Тогда по определению

0 n0 N n n0 n .

Положим A max x1,x2,...,xn0 , . Тогда n N n A.

7

СЛЕДСТВИЕ. Если n и n

б.м., то n n также б.м. : n по

теореме 4 ограничена, тогда по теореме 3 n n

б.м.

ПРИМЕР.

1

– б.м. Тогда

1

1

1

также б.м. И вообще

1

n

n

n

n2

n

n

, k N – б.м.

n

nk

СХОДЯЩИЕСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. xn

называется сходящейся,

если x R xn x –

б.м. Число x в

этом случае

называется

пределом

последовательности:

x limxn . Кроме того, предел можно обозначать так:

xn x

n

ПРИМЕР.

x

=

2n 1

. Пусть x 2. x

x

2n 1

2

1

– б.м. Значит,

n

n

n

n

n

2n 1

по определению x

сходится к 2: lim

2.

n

n n

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Число x называется пределом xn , если

0 n0 N n n0 xn x . Последовательность, имеющая предел,

называется сходящейся.

Интервал (x ,x ) называется -окрестностью точки x.

Из определения 2 следует, что n n0	x xn x , то есть
xn (x ,x ).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. xn называется	сходящейся, если x R такое, что

в любой его -окрестности 0 содержатся все члены последовательности,

начиная с некоторого.

Очевидно, определения 1, 2, 3 сходящейся последовательности эквивалентны.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Всякую бесконечно большую последовательность yn

будем трактовать как сходящуюся к бесконечности, именно: если yn 0, то

limy	n	, а если	n n	y	n	0, то limy	n	.
n			0			n

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Из определения 3 следует, что отбрасывание любого конечного числа членов xn не изменяет факта ее сходимости и величину ее предела.

8

ЗАМЕЧЕНИЕ 3. Из определения 3 следует, что если xn сходится, то

имеет единственный предел. Действительно, пусть x limxn, x limxn и x x.

n n

Рассмотрим непересекающиеся окрестности точек x и x. Все члены xn

не могут находиться одновременно в них обеих, следовательно, x=x.

Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

ПРИМЕР.

xn

sin

n

:

1,0,-1,0,1,0,… Очевидно (определение 3), что

2

n

x

расходится, то есть limsin

не существует.

n

n

2

ПРИМЕР.

1

– б.м.

Очевидно (определение 1), что lim

lim

1

0:

n

n

n

n

n n

n n 0 – б.м.

Таким образом, если n произвольная б.м., то lim n 0.

n

ТЕОРЕМА 5. Если xn сходится, то xn ограничена.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

По определению 1

x R

xn x n,

n –

б.м. Тогда xn x n.

По теореме 4 n ограничена, то

есть

n

A

x n

x

A n N xn ограничена,

что и требовалось дока-

зать.

ЗАМЕЧАНИЕ. По теореме 5 всякая сходящаяся последовательность ограничена. Обратное утверждение неверно: не всякая ограниченная последова-

тельность сходится.

ПРИМЕР. x

n

sin

n

расходится, но

x

sin

n

1 n N , то есть

2

n

2

xn ограничена.

y. Тогда x

y сходится и

ТЕОРЕМА 6. Пусть limx

x, lim y

n

lim(x

y

) x y.

n n

n

n

n

n n

n

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

По определению 1 xn x n, yn y n, где

n , n

– б.м. Тогда (xn yn) (x y) (x n y n ) (x y) n n –

б.м. по теореме 1. По определению 1 lim(x

y

) x y.

n

n

n

9

ТЕОРЕМА 7. Пусть limxn x, lim yn y. Тогда xn yn сходится и

n n

lim(xn yn) x y.

n

Доказать самостоятельно, используя определение 1 и теорему 2.

	ТЕОРЕМА 8. Пусть limx			x, lim y	n	y. Тогда x		y	сходится и
			n n	n			n	n
lim(x		y	) x y.
n	n	n
	ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По определению 1						xn x n,		yn y n, где

n , n – б.м. Тогда xn yn xy (x n)(y n) (xy) x n y n n n – б.м.

по теоремам 3,4,1. Что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 9. Пусть limxn	x, lim yn y, y 0.					x
						Тогда	n	определена,
n	n					yn
		xn		x
начиная с некоторого номера, сходится и lim					.
	n yn			y

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как y 0, то выберем -окрестность точки y, не содержащую 0. По определению 3 в выбранной -окрестности содержатся все yn , начиная с некоторого n0. Значит, yn 0 n n0. Отбросим все yn

при n n0 (на факт сходимости и величину предела yn это не повлияет ).

По определению 1 xn x n, yn

y n, где n , n

– б.м.

xn

x

x n

x

y n x n

– б.м. по теоремам 2,3,5. Отсюда lim

xn

x

.

yn y y n

y

y(y n)

n yn

y

ПРИМЕРЫ. а) Найти

lim

2n 3

.

Так как lim(2n 3) lim(3n 7) ,

n 3n 7

n

n

то теорему 9

применить нельзя. Предел, говорят в этом случае, представляет

собой неопределенность

или раскрыть не-

вида

. Чтобы вычислить его,

определенность, преобразуем

выражение,

разделив числитель и

знамена-

2n 3

2

3

2

тель на n: lim

=lim

n

. Ответ получен с помощью теорем 6,7,8,9 и

3

n 3n 7

n

3

7

n

1

уже доказанного факта: lim

0.

n n

5

10

2n2 5n 10

2

2

б) lim

lim

n

n

n 95

1

n

n

95

n

n2

10