- •Тема 1. Функции нескольких переменных.
- •1.Определение функции нескольких переменных. Определение области d. Понятие графика функции двух переменных.
- •2.Определение функции двух переменных, непрерывной в точке. Свойства функции, непрерывной в ограниченной замкнутой области .
- •3) Принимает хотя бы в одной точке этой области любой промежуточное значение между .
- •3.Определение предела функции двух переменных. Определение частной производной. Пример.
- •4.Определение функции нескольких переменных, дифференцируемой в точке. Определение полного дифференциала функции. Геометрический смысл частной производной.
- •5.Определение точки экстремума функций двух переменных. Необходимое и достаточное условия существования экстремума. Пример.
- •6.Понятие условного экстремума функции двух и трех переменных. Пример – текстовая задача.
- •7.Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в ограниченной замкнутой области . Пример.
- •8.Определение скалярного поля. Линии и поверхности уровня. Примеры.
- •9.Производная по направлению: определение, формула, пример.
- •10.Определение градиента функции нескольких переменных. Теорема о связи градиента и производной по направлению данной функции в данной точке .
- •Тема 2.
- •1.Определение обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения . Постановка задачи Коши.
- •2.Определение общего и частного решений дифференциального уравнения первого порядка. Уравнение с разделяющимися переменными. Пример.
- •10.Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка. Пример.
- •11. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка. Пример.
- •12.Решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. 3 случая. Пример.
- •13.Отыскание частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, правая часть которого имеет первый специальный вид.
- •14.Отыскание частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, правая часть которого имеет второй специальный вид.
- •Тема 3. Элементы теории функцмй комплексного переменного
- •1. Умножение и деление комплексных чисел в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Примеры.
- •2. Формула Муавра и формула извлечения корня n-й степени из комплексного числа. Примеры.
- •3. Геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел. Примеры построения областей.
- •4. Понятие комплексной области, понятие функции комплексного переменного, понятие предела функции при . Примеры.
- •7. Критерий дифференцируемости функции комплексного переменного в точке (условия Коши – Римана).
- •8. Понятие гармонической функции. Теорема о связи между гармонической функцией u(X,y) и аналитической функцией f(z).
- •10. Понятие интеграла от функции комплексного переменного вдоль кривой .
- •11. Теорема Коши для односвязной области. Пример.
- •12. Теорема Коши для многосвязной области. Пример.
- •13. Формула Коши и обобщенная формула Коши. Пример отыскания интеграла по замкнутому контуру.
Тема 1. Функции нескольких переменных.
1.Определение функции нескольких переменных. Определение области d. Понятие графика функции двух переменных.
Определение функции нескольких переменных:
Если каждой упорядоченной паре вещественных чисел из некоторой области поставлено в соответствие единственное число , то говорят что на области задана функция двух переменных
Определение области D:
Множество точек из называется областью, если оно удовлетворяет следующим двум условиям:
1)Открытость – Каждая точка множества принадлежит множеству с некоторой своей окрестностью
2)Связанность – Любые две точки множества можно соединить непрерывной кривой, полностью лежащей во множестве .
Понятие графика функции двух переменных:
Совокупность точек пространства называется графиком функции и в общем случае представляет собой поверхность.
2.Определение функции двух переменных, непрерывной в точке. Свойства функции, непрерывной в ограниченной замкнутой области .
Определение функции двух переменных, непрерывной в точке:
Функция называется непрерывной в , если выполняются три условия:
1)Она определена в и некоторой её окрестности.
2)Если существует предел
3)Если
Функция непрерывна в области , если она непрерывна в каждой точке этой области.
Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области :
- является ограниченной в ограниченной замкнутой области
2) достигает в ограниченной замкнутой области своих наибольшего и наименьшего значений.
3) Принимает хотя бы в одной точке этой области любой промежуточное значение между .
3.Определение предела функции двух переменных. Определение частной производной. Пример.
Определение предела функции двух переменных:
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Число называется пределом функции при и , если для любого существует , такое, что для всех и и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .
Определение частной производной функции двух переменных:
Частной производной функции по одному из её аргументов называется предел отношения частного приращения функции по этому аргументу к приращению этого аргумента, при условии что приращение .
Пример:
4.Определение функции нескольких переменных, дифференцируемой в точке. Определение полного дифференциала функции. Геометрический смысл частной производной.
Определение функции нескольких переменных, дифференцируемой в точке:
Функция называется дифференцируемой в точке , если её полное приращение в этой точке можно представить в виде , где и при и . Сумма называется главной частью приращения функции.
Определение полного дифференциала функции нескольких переменных:
Главная часть приращения функции , линейная относительно и , называется полным дифференциалом этой функции: .
Для независимых переменных и . Поэтому .
Геометрический смысл частной производной:
Частная производная от функции в точке равна тангенсу гула, составленного осью и касательной к линии , проведенной в .