Линейная, векторная алгебра. Аналитическая геометрия Конспект лекций Часть 1 Николаева
.pdfФедеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Омский государственный технический университет»
Н.И. Николаева
Линейная алгебра. Векторная алгебра.
Аналитическая геометрия
Конспект лекций Часть 1
Омск-2008
УДК
ББК
Рецензенты: Ю.Ф.Стругов, д-р физ.-мат. наук, профессор С.Е.Макаров, канд. физ.-мат. наук, доцент
Николаева Н.И.
Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия.
Конспект лекций. Часть 1 / Н.И. Николаева. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 2008. – с.
Пособие представляет собой конспект лекций, читаемых автором на первом курсе технического университета, и предназначено для студентов всех форм обучения. В нем подробно, последовательно и с доказательствами изложена теоретическая часть курса математики. Часть 1 включает в себя три главы: «Линейная алгебра», «Векторная алгебра» и «Аналитическая геометрия». Изложение сопровождается достаточным количеством примеров, поясняющих наиболее важные теоретические положения, иллюстрирующих теоретический материал и дающих образцы решения задач.
Автор благодарит доцента кафедры Высшей математики ОМГТУ Горягу А.В., принявшего участие в обсуждении рукописи и сделавшего полезные замечания, и методиста кафедры Царицинскую Т.Г. за большую помощь в техническом оформлении рукописи.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Омского государственного технического университета
С |
Н.И.Николаева, 2008 |
С |
Омский государственный |
|
технический университет, 2008 |
2
Оглавление
Глава 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА……………………………………………………. |
4 |
Матрицы и действия над ними…………………………………………….. |
4 |
Линейные операции над матрицами………………………………………. |
6 |
Транспонирование и умножение матриц………………………………….. |
7 |
Определители и их свойства……………………………………………….. |
9 |
Обратная матрица…………………………………………………………... |
14 |
Крамеровские системы уравнений………………………………………… |
17 |
Ранг матрицы. Элементарные преобразования…………………………… |
19 |
Исследование произвольных систем линейных уравнений……………... |
22 |
Однородные системы линейных уравнений……………………………… |
23 |
Метод Гаусса……………………………………………………………….. |
24 |
Глава 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА…………………………………………………… |
27 |
Векторы и линейные операции над ними…………………………………. |
27 |
Проекция вектора на ось. Координаты вектора…………………………... |
31 |
Деление отрезка в данном отношении…………………………………….. |
35 |
Скалярное произведение векторов………………………………………… |
36 |
Векторное произведение векторов………………………………………… |
39 |
Смешанное произведение векторов……………………………………….. |
43 |
Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ……………………………………….. |
45 |
Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости…………. |
45 |
Уравнение прямой с направляющим вектором…………………………… |
46 |
Уравнение прямой с угловым коэффициентом…………………………... |
47 |
Угол между прямыми на плоскости……………………………………….. |
48 |
Расстояние от точки до прямой на плоскости…………………………….. |
49 |
Кривые второго порядка. Окружность…………………….……………… |
50 |
Эллипс……………………………………………………………………….. |
51 |
Гипербола……………………………………………………………………. |
53 |
Парабола……………………………………………………………………... |
56 |
Преобразования координат на плоскости…………………………………. |
58 |
Линейные преобразования на плоскости………………………………….. |
60 |
Произведение линейных преобразований………………………………… |
63 |
Приведение квадратичной формы к каноническому виду………………. |
64 |
Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническо- |
|
му виду………………………………………………………………………. |
67 |
Плоскость……………………………………………………………………. |
70 |
Особые случаи расположения плоскости…………………………………. |
71 |
Уравнение плоскости в отрезках…………………………………………... |
72 |
Уравнение плоскости, проходящей через три точки……………………... |
73 |
Угол между плоскостями…………………………………………………... |
74 |
Прямая линия в пространстве……………………………………………… |
75 |
Канонические уравнения прямой в пространстве………………………... |
76 |
Угол между прямыми в пространстве…………………………………….. |
77 |
Приведение общих уравнений прямой в пространстве к каноническому |
|
виду………………………………………………………………………….. |
78 |
Угол между прямой и плоскостью………………………………………… |
79 |
Определение общих точек прямой и плоскости………………………….. |
80 |
Цилиндрические поверхности……………………………………………... |
82 |
Поверхности вращения……………………………………………………... |
84 |
Некоторые поверхности второго порядка………………………………… |
85 |
Библиографический список………………………………………………... |
87 |
3
Глава 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Этот раздел математики возник в связи с необходимостью решать системы линейных уравнений.
Рассмотрим систему линейных уравнений:
2х 3у 3 |
|
|
. |
3х 4 |
у 2 |
Чтобы решить ее, можно, например, выразить одну из переменных из первого уравнения, подставить во второе, после чего найти неизвестные x и y.
Однако можно найти решение быстрее: легко убедиться, что
x 3 4 2 3 18 ,у 2 2 3 3 13. 2 4 3 3 2 4 3 3
Способ получения этого результата станет ясным, если рассмотреть таблицы, составленные из коэффициентов системы:
2 |
3 |
|
3 |
3 |
|
3 4 2) 3 18, |
||
|
3 |
4 |
2 4 3 3 1, |
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
2 2 3 3 13 |
18 |
|
|
13 |
|||
|
|
|
|
x |
|
|
, y |
|
. |
|
3 |
2 |
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
Такие таблицы называются матрицами второго порядка (так как в них две строки и два столбца), а соответствующие числа - определителями. Матрицы и определители играют важную роль при решении более сложных систем линейных уравнений, поэтому начнем изучение линейной алгебры с матриц.
МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовой матрицей размера m n называется совокупность m n чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов.
a11 |
a12 |
a13 |
... |
a1n |
|
|
||
a |
a |
a |
... |
a |
|
или |
A = aik , i=1,2,…,m, k 1,2,…,n. |
|
A= |
21 |
22 |
23 |
|
2n |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am2 |
am3 |
... |
|
|
|
|
am1 |
amn |
|
|
aik – элемент матрицы, стоящий на пересечении i-й строки и k -го столбца.
4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если m n, то матрица называется квадратной n-го порядка, в противном случае – прямоугольной.
Элементы aii , i = 1, 2, …, n квадратной матрицы А образуют ее главную диагональ.
Матрица размера 1 n называется матрицей-строкой, а матрица размера m 1 – матрицей-столбцом.
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
ПРИМЕР. |
|
2 |
|
, |
, |
|
2 |
0 |
|
, |
M |
0 |
||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
D 0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 |
|
|
|
|
0 |
7 |
|
|
|
1 |
|||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
3х2 |
|
|
|
2х3 |
|
|
|
|
3х3 |
|
|
|
|
4х1 |
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковый размер и равны их элементы, стоящие на одинаковых местах.
ПРИМЕР. A |
1 |
2 |
A |
|
2 |
1 |
; B |
|
1 |
B 1 |
1 . |
||||
1 |
|
3 |
4 |
|
2 |
|
|
3 |
4 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная матрица называется диагональной, если равны нулю все ее элементы, расположенные вне главной диагонали, то есть aij 0, i j, i, j 1,2,...,n.
На главной диагонали могут быть любые числа. Если все они равны 1, то диагональная матрица называется единичной и обозначается буквой E .
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
ПРИМЕР. E |
|
0 |
1 |
0 |
|
– единичная матрица третьего порядка. |
||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
– диагональная матрица 3-го порядка. |
||||||
D 0 |
|
||||||||||
|
0 |
0 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы снизу (сверху) от главной диагонали равны нулю.
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
ПРИМЕР. |
T |
|
2 |
4 |
0 |
|
– треугольная матрица третьего порядка, |
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7 |
8 |
|
– треугольная матрица второго порядка. |
||||||||
T2 |
0 |
9 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ
К числу линейных относятся операции сложения и умножения на число.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A= aik |
и |
B = bik |
, |
i=1,2,…,m, k =1,2,…,n – |
||||||||||||
матрицы размера m n. Матрица C = cik |
|
также размера m n называется сум- |
||||||||||||||
мой матриц A и B, если cik aik bik , |
i=1,2,…,m, |
k =1,2,…,n. |
|
|
|
|||||||||||
ПРИМЕР. |
1 |
3 7 |
|
3 |
5 |
0 |
|
A |
2 |
|
8 |
7 |
||||
A= |
|
, |
B = |
|
|
|
B = |
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
||
|
|
0 |
2 3 |
|
2 |
1 |
|
|
2 |
2 |
||||||
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. |
Произведением матрицы |
A= aik |
размера |
|
m n на |
|||||||||||
число |
называется |
матрица B = bik |
того |
же |
размера, |
элементы |
которой |
|||||||||
bik aik , |
i=1,2,…,m, |
k=1,2,…,n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
12 |
3 |
|
|
|
0 |
24 |
6 |
|
|
|
|
|
ПРИМЕР. |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
F = 0 |
1 |
|
2F = 0 |
2 . |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Нулевой матрицей O называется матрица, все элементы которой равны нулю.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица 1 A называется противоположной для A
и обозначается A.
Очевидно, что A A O для любой матрицы А.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Разностью матриц A и B одного размера называется сумма A B и обозначается A B.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Результат конечного числа линейных операций над матрицами называется их линейной комбинацией.
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ПРИМЕР. Пусть A= |
3 |
, |
|
B= 5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
7 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
2 |
|
2 |
|
8 |
|
6 |
|
|
|||||||||
Матрица C 2A 4B=2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
|
6 |
|
|
|
20 |
|
|
|
14 |
|
– линейная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
7 |
|
|
|
8 |
|
|
|
14 |
|
|
|
32 |
|
|
|
46 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
комбинация матриц A и B с коэффициентами 2 и 4.
6
СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАЦИЙ
Если A, B, и C – матрицы одного размера, а и – числа, то, очевидно, справедливо следующее:
1.A B B A – свойство коммутативности сложения.
2.A B C A B C – свойство ассоциативности.
3.A B A B – свойство дистрибутивности.
4.A A A.
5.A A A .
ТРАНСПОНИРОВАНИЕ И УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ
Эти операции над матрицами не относятся к числу линейных.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Транспонированной матрицей A T для матрицы A размера m n называется матрица размера n m, полученная из A заменой всех ее строк столбцами с теми же порядковыми номерами.
То есть, если A= aik , то A T aki , i=1,2,…,m, k =1,2,…,n.
ПРИМЕР.
|
1 |
2 |
|
1 |
3 |
5 |
|
|
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
|||
|
3 |
|
|
|
; |
S |
|
4 |
|
|
4 |
|
|||||
A= |
4 |
A T |
|
|
|
|
= 2 |
5 |
= S T 2 |
5 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
6 |
|
|
|
|
|
5 |
5 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
6 |
3 |
6 |
||||
|
3х2 |
|
|
|
|
2х3 |
|
|
|
|
|
3х3 |
|
|
3х3 |
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если A = A T , то матрица А называется симметриче-
ской.
Все диагональные матрицы симметрические, так как равны их элементы, симметричные относительно главной диагонали.
Очевидно, справедливы следующие свойства операции транспонирования:
1. AT T A |
2. A T AT |
3. A B T AT BT |
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A= aik – матрица размера m n, B= bkj – мат-
рица размера n p. Произведение этих матриц A B – матрица C= cij разме-
ра m p, элементы которой вычисляются по формуле:
|
|
|
|
n |
cij ai1b1j |
ai2b2 j |
ai3b3 j |
ainbnj |
ailblj , i=1,2,…,m, k =1,2,…, p , |
|
|
|
|
l 1 |
7
то есть элемент i-й строки и j-го столбца матрицы C равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы B .
ПРИМЕР.
0 1 |
3 |
2 |
|
|
|
|
0 1 3 |
|
2 |
|
|
2 0 1 4 3 6 |
14 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
A= |
|
, B = 4 |
|
A B |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 4 |
|
|
|
|
2 2 1 4 4 6 |
|
|
|
||
2 1 |
4 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
2х3 |
|
3х1 |
|
|
|
|
2х3 |
|
|
3х1 |
|
2х1 |
|
|
|
||||
|
|
2 |
0 |
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Произведение |
|
4 |
|
|
– не существует. |
|
|
|
|
||||||||||
B A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3х1 |
|
2х3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
CВОЙСТВА ОПЕРАЦИИ УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ |
|
|
|
|||||||||||||||
1. A B B A , даже если оба произведения определены. |
|
|
|
||||||||||||||||
ПРИМЕР. A |
0 |
|
1 |
|
B |
1 |
0 |
|
|
A B |
0 |
0 |
|
|
|
||||
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
O , хотя A O,B O. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 |
0 |
1 |
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
B A |
|
|
|
|
|
|
|
|
A B. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 0 |
0 |
0 |
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрицы A и B называются перестановочными, если A B B A, в противном случае A и B называются неперестановочными.
Из определения следует, что перестановочными могут быть лишь квадратные матрицы одного размера.
ПРИМЕР. |
|
3 |
|
5 |
, |
4 |
5 |
|
3 |
5 4 |
5 |
7 |
0 |
|||
C |
1 |
|
|
L |
C L |
|
|
|
|
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
3 |
|
1 |
4 1 |
3 |
0 |
7 |
|
4 |
5 3 |
5 |
|
7 |
0 |
матрицы C и L |
перестановочные. |
|
||||||||
L C |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
3 |
4 |
|
0 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
5 1 |
0 |
3 |
5 |
|
1 |
0 3 |
5 |
3 |
5 |
|
|
|
|||
C E |
|
|
|
|
|
4 |
, |
E C |
|
|
, то есть C E E C C , |
|||||
1 |
4 0 1 |
|
1 |
|
|
0 |
1 1 |
4 |
1 |
4 |
|
|
|
|||
значит, C и E – перестановочные матрицы. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Вообще единичная матрица перестановочна с любой квадратной матри- |
||||||||||||||||
цей того же порядка, и для любой матрицы |
A E E A A. Это свойство мат- |
8
рицы E объясняет, почему именно она называется единичной: при умножении чисел таким свойством обладает число 1.
Если соответствующие произведения определены, то:
2. A B C A B C .
3. A B C A B A C , |
A B C A C B C. |
4.B C B C B C.
5.A B T BT AT .
ПРИМЕР.
2 |
1 |
, |
B |
|
4 |
|
A B |
|
2 |
1 |
4 |
|
6 |
|
A B |
T |
6 |
12 . |
|||||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3 |
0 |
|
|
|
|
|
3 |
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2х2 |
|
|
|
2х1 2х1 |
|
|
|
1х2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
BT AT 4 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
6 |
12 . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1х2 2х2 1х2
ЗАМЕЧАНИЕ. Элементами матрицы могут быть не только числа, но и функции. Такая матрица называется функциональной.
cosx |
0 |
|
1 |
x |
x2 |
|
|||
, |
|
|
1 |
x |
|
||||
ПРИМЕР. T |
0 |
|
F x2 |
. |
|||||
|
sin x |
|
|
x |
x |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВОЙСТВА
Каждой квадратной матрице можно по определенным правилам поставить в соответствие некоторое число, которое называется ее определителем.
a11 |
a12 |
|
Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка: A2 a |
a |
. |
21 |
22 |
|
Её определителем называется число, которое записывается и вычисляется так:
A |
|
a11 |
|
a12 |
a a |
|
a a |
|
|
|
(1.1) |
|||||||||
2 |
|
a |
|
a |
11 |
|
22 |
|
12 |
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
21 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Такой определитель называется определителем второго порядка и может |
||||||||||||||||||||
обозначаться по-другому: det A |
|
a11 |
a12 |
|
|
или |
|
A |
|
|
|
|
a11 |
a12 |
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
21 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
22 |
|
|
9
Определителем третьего порядка называется число, соответствующее
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
квадратной матрице |
A |
a |
a |
a |
|
, которое вычисляется по правилу: |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
21 |
|
22 |
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
32 |
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) (1.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A |
a |
a |
a |
|
|
a a |
22 |
a |
a |
21 |
a |
a a a |
23 |
a |
(a a a |
a |
a |
a |
a |
a a |
33 |
||||||
3 |
21 |
22 |
23 |
|
|
11 |
|
33 |
|
32 |
13 |
12 |
31 |
31 |
22 |
13 |
32 |
23 |
11 |
21 |
12 |
|
|||||
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это правило вычисления определителя третьего порядка называется правилом треугольников и схематически его можно представить так:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
3 |
1 |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
ПРИМЕР. A |
A |
6 4 10; |
A |
|
4 |
5 |
0 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
4 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
3 |
1 |
2 |
|
|
||
A3 |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4 |
5 |
0 |
|
1 5 2 4 ( 1) 3 ( 2) 0 3 (3 5 3 ( 1) 0 1 4 ( 2) 2) 31 |
||||||||||||||
|
|
3 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если справа от определителя приписать первый, а затем второй столбец, то правило треугольников можно модифицировать:
|
1 |
|
2 |
3 |
1 |
2 |
|
A3 |
4 |
|
5 |
0 |
4 |
5 10 0 12 (45 0 16) 2 29 31 |
|
|
3 |
|
1 |
2 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Сначала умножаются числа на главной диагонали и двух ей параллельных диагоналях, затем – числа на другой (побочной) диагонали и ей параллельных. Из суммы первых трех произведений вычитается сумма остальных.
Группируя слагаемые в (1.2) и используя (1.1), заметим, что
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A3 |
a21 |
a22 |
a23 |
a11(a22a33 |
a23a32) a12(a21a33 a31a23) a13(a21a32 a22a31) |
|||||||||||||
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.3) |
|||||
a |
|
a22 |
a23 |
|
a |
|
a21 |
a23 |
|
|
a |
|
a21 |
a22 |
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
11 |
|
a |
a |
|
|
12 |
|
a |
a |
|
|
13 |
|
a |
a |
|
|
|
|
|
32 |
33 |
|
|
|
|
31 |
33 |
|
|
|
|
31 |
32 |
|
|
10