3. Основы оптимизации систем передачи информации, выбор и принципы формирования сигналов.

3.1 Оптимизация систем связи.

Для радиоканалов с ограниченным частотным и энергетичес- ким ресурсами важнейшей задачей является эффективно использо- вать эти ресурсы. Это значит обеспечить максимальную скорость передачи информации от источника сообщений при заданных параметрах ресурса и достоверности передачи сообщения.

В современной теории систем передачи информации принято оптимизировать сначала систему связи в целом. Затем оптимизируют остальные элементы системы, в частности приемник, при условии, что вид сигналов уже выбран.

При оптимизации системы ищется наилучший вид сигнала для заданного радиоканала и соответствующий оптимальный способ приема.

«Основоположником оптимизации систем связи в целом является К.Шеннон, который доказал теорему:

«Если канал связи с финитной АЧХ и аддитивным белым гауссовским шумом (АБГШ) обладает пропускной способностью «С», а производительность источника равна Н′(А), то при Н^′(А) ≤ С возможно такое кодирование, которое обеспечивает передачу сообщений по этому каналу со сколь угодно малыми ошибками и со скоростью, сколь угодно близкой к значению «С» »:

[бит/с], (3.1)

где ∆f_k – ширина полосы прямоугольной АЧХ канала связи;

Р_с- средняя мощность сигнала;

Р_ш=N₀·∆f_k; (3.2)

N₀·- односторонняя спектральная плотность АБГШ.

Для дискретного канала и случайного кодирования источника эта теорема может быть записана в другой форме

(3.3)

где - средняя по множеству кодов вероятность ошибки декодирования;

Т- длительность кодового блока укрупненного источника сообщений.

Т.к., [С−Н^′(А) ≥ 0] по условию теоремы, то с увеличением Т (укрупнением источника) причем при Н^′(А)→С значение Т→∞ и увеличивается задержка декодирования кода укрупненного источника.

Из (3.3) можно сделать выводы:

- чем длиннее кодируемый отрезок сообщения (Т) и чем менее эффективно

используется пропускная способность канала ( чем больше разность [С-Н^′(А)]), тем выше достоверность связи (1-);

- существует возможность обмена между эффективностью использования, значениями С, и Т (задержкой декодирования).

а) Проведем анализ пропускной способности (3.1).

«С» можно увеличить за счет увеличения ∆f_k и Р_с. При этом необходимо учесть, что мощность Р_ш (3.2) также зависит от ∆f_k.

На основании известного соотношения (при α=2, β =е) можно записать

, (3.4)

где

Найдем предельное значение в зависимости от полосы ∆f_k и построим график пропускной способности.

При ∆f_{k →∞} . Тогда разложим функцию ln(1+x) в ряд Маклорена (т.е. в точке х=0) , который при х→0 равен ln(1+x)≈x. В результате получим

.

Построим график функции (3.4) в зависимости от ∆f_k с нормировкой по обеим осям N₀ /P_c.

Рис.3.1. График нормированной пропускной способности канала.

При Р_с/Р_ш=1 в (3.1) →С = ∆f_k. С учетом нормировки по осям графика этому равенству соответствует точка (С· N₀ /P_c = P_ш /P_c =1) с координатами (1,1).

Пропускная способность заметно возрастает с увеличением ∆f_k до тех пор, пока Р_с /Р_ш ≥1 и стремится к пределу 1,44 Р_с/N₀, т.е. максимальное значение параметра С имеет место при h →0.

б) Найдем граничные значения Шеннона для удельных затрат полосы и энергии при cкорости передачи информации R_max = С.

Удельные затраты полосы в канале связи по определению равны

,

где R- скорость передачи информации (бит/с) в канале. Попытки уменьшить эти удельные затраты связанны с дополнительными энергетическими затратами, характеризуемыми значением удельных энергетических затрат

,

где Е_б - энергия, затрачиваемая на передачу 1 бита информации;

Т₀- время передачи 1 бита по каналу связи (длительность канального символа Т_кс);

Найдем зависимость удельных затрат энергии от удельных затрат полосы. Для этого выразим входящие в (3.1) величины, полагая С =R_max :

; ; .

Подставляя эти значения в (3.1) и разделив его на С получим

.

На основании определения логарифма log₂N=a значение N=2^a можно записать откуда, взяв от обеих частей корень , получим

.

В результате выражение

(3.5)

определяет связь между удельными затратами энергии и полосы в канале с АБГШ и финитной АЧХ. Вместе с тем, т.к.

то из (3.5) получим зависимость для отношения сигнал/шум (ОСШ):

. (3.6)

Это выражение определяет необходимое значение ОСШ в оптимальном канале связи с АБГШ в зависимости от удельных затрат полосы частот канала связи. Графики этих зависимостей (3.5) и (3.6), которые являются границей Шеннона, представлены на рис.3.2.

Рис.3.2. Графики границы Шеннона.

Проведем анализ этих зависимостей.

При больших значениях

,

т.е. для передачи одного бита (С =1) необходимы малыеи ОСШ.

.

При малых значениях требуются большие значения и ОСШ.

Если , то требуются большие затраты полосы .

Таким образом в канале связи с финитной АЧХ и АБГШ можно реализовать бесконечное множество различных оптимальных систем. Спектрально эффективные системы (спектр в основной полосе частот модулирующего сигнала) требуют соответствующего повышенного ОСШ. Энергетически эффективные системы требуют малое значение ОСШ, но должны быть широкополосными.

Реальные системы имеют значения , которые лежат на графике рис.3.2 выше границ Шеннона. Сравнивая реальные системы с потенциально возможными, можно оценить резерв для улучшения параметров системы связи.