Методы и средства передачи информации (Лекция №10)

E xm

∂

F zm

nπ

mπ

nπ

− jαz

=

= −

D cos

x

sin

y

e

;

(10.48)

∂y

b

a

b

E ym

∂ F zm

mπ

mπ

nπ

− jαz

= −

=

a

Dsin

a

x

cos

b

y e

;

(10.49)

∂x

E zm

= 0 .

(10.50)

Напряженность магнитного поля определяется из второго уравнения Мак-

свелла: jωε 0

H m = rot E m = rot rot F m = grad div F m − 2 F m , а так

как по

аналогии с векторным магнитным потенциалом 2 F m = − k 2 F m , то

H m

=

1

(grad div F m + k 2 F m ).

(10.51)

− jωµ 0

Учитывая, что div F m =

∂ F zm

= − jα F zm , получаем

∂z

H xm

=

1

grad x

div F m

=

α

∂ F zm

=

α

E ym ;

(10.52)

− jωµ 0

ωµ 0

∂x

ωµ

0

H ym

=

1

grad y

div F m

=

α

∂ F zm

=

α

F xm ;

(10.53)

− jωµ 0

ωµ 0

∂y

ωµ

0

H zm

=

1

(grad div F m + k 2

F m )= k 2

− α 2

F zm ,

(10.54)

− jωµ 0

− jωµ 0

Аналогично (10.34)

2

4 π2

2

m 2

n 2

α

=

2

−π

2

+

2

,

(10.55)

λ

a

b

следовательно, критическая длина волны

λкр =

2

(10.56)

m 2

n

2

+

a

b

и длина волны в волноводе

Λ =

2 π =

λ

> λ .

(10.57)

α

λ

2

1 −

λ кр

21

кр 10

Особенность магнитных (поперечных электрических) волн − они существуют и при m = 0 или n = 0, приобретая при этом весьма простую структуру поля рис. 10.7, которая называется низшим видом (или низшей модой).

Рисунок 10.7 − Структура поля низшего вида волны. Вид в трех сечениях

Простейший вид волны в волноводе прямоугольного поперечного сечения представляет ТЕ волна (или Н волна) с индексами 10 (заметим, что первый индекс относится к оси х, а второй к оси у), т.е. это волна Н10, у которой отсутствует вариация составляющей поля вдоль оси у.

E ym	=	π	π		− jαz	;
		a	Dsin	x e
			a

		α			πα	π		− jαz
H xm	=			E ym =		Dsin	x e		;
		ωµ			aωµ 0
			0			a

H zm

=

k 2

− α

2

=

k 2 − α 2

π

− jαz

(10.58)

− jωµ

F zm

− jωµ 0

D cos

x e

0

a

E xm

= 0 ;

H ym = 0 .

Кроме того, α

2

=k

2

π

2

и λкр 10 =2 a.

−

a

Из этих формул следует, сто электрическое поле волны Н10 имеет лишь одну составляющую электрического поля − E y . В поперечном сечении волновода

она пропорциональна	π		и не зависит от у. На рис 10.7 показана структу-
	sin	x
	a

ра поля в продольных сечениях для некоторого момента времени t . с течением времени эта картина перемещается вдоль оси z волновода с фазовой скоростью v. Для волны Н10 критическая предельная длина волныλ =2 a не зависит от

размера b волновода. Следовательно, такие волны могут существовать и при

22

a >b . Это позволяет на практике реализовать волноводы сравнительно малых поперечных размеров по одной из осей. Ближайшая к низшей Н10 волна Н20 имеет

λкр 10 =	2	=a , поэтому, чтобы в волноводе могла распространяться только
	2	2
	a

одна «низшая» волна Н10, размер волновода должен удовлетворять одновременно двум условиям: λ < λ кр 10 = 2 a и λ ≥ λ кр 20 = a , т.е. надо, чтобы λ/ 2 < a ≤ λ.

Установив ширину волновода а, можно определить его высоту b из усло-

вия того, чтобы не могла распространяться волна Н11: λ≥λкр11 =			2	,
	1	2	1	2
			+
	a		b

откуда b ≥		1			. На рис. 10.8 показаны картины полей волн Н02	и Н11.
4			−	1
	λ2			a 2

а)

б)

Рисунок 10.8 − Картины полей волн Н02 (а)и Н11 (б)

23

Рассмотрим вопрос о соотношении фазовой скорости и скорости света в волноводе. Согласно формуле (10.57) скорость волны в волноводе выше скорости света. Если энергия в волноводе передается с фазовой скоростью, то возникает противоречие с известным положениям теории относительности. Однако, как оказывается, энергия в волноводе передается с иной, групповой скоростью, которая меньше скорости света. Покажем это, применив специфический прием.

Предположим, что в волноводе вместо рассматриваемой волны

E = E m sin( ωt − αz )

созданы три волны: несущая волна E 0 = E2m sin( ωt − αz ) и две другие волны:

E 1 с частотой, несколько бόльшей частоты несущей волны, и E 2 с частотой не-

сколько меньшей частоты несущей волны:

E 1 = E2m sin [(ω+ ∆ω)t −(α + ∆α )z ];

E 2 = E2m sin [(ω− ∆ω)t −(α − ∆α )z ]

(так как величина α зависит от ω, то и она получила соответствующее приращение).

Сумма этих трех волн составляет амплитудно-модулированную волну:

E 0 + E 1 + E 2 = E2m [1 + cos (∆ωt − ∆αz )]sin (ωt − αz ).

Функция sin (ωt −αz ) по-прежнему определяет фазовую скорость волны:

v = dz / dt = ω/ α.

Выражение в квадратных скобках показывает закон изменения амплитуды волны. В некоторый момент времени t множитель при sin (ωt −αz ) изображает

огибающую этих амплитуд. Очевидно, что с течением времени эта огибающая перемещается в направлении возрастающих значений z. Скорость её перемещения, или групповая скорость, может быть найдена из условия

	∆ωt − ∆αz = const ,
откуда	v гр = dz / dt = ∆ω/ ∆α.

24

Если теперь перейти к пределу ∆ω→0 , то период (пространственный) огибающей «растянется» на всю длину волновода и три волны дадут в сумме исходную волну E = E m sin( ωt − αz ) .

Групповая скорость этой волны v гр = dω/ dα.

2

2

2

2

ω

2

2

2 ω dω

Так как α

= k

− (ξ

+ η

) =

− (ξ

+ η

), то

2 α = c 2 dα

, откуда

c 2

v гр

= dω

=

αc 2

= c 2

< c , так как фазовая скорость v в волноводе больше скро-

dα

ω

v

сти света с.

Т.е. скорость передачи энергии в волноводе меньше скорости света, что и требовалось доказать.

25