Пределы и производная КР №1

Министерство образования и науки российской федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Санкт-Петербургский государственный университет

аэрокосмического приборостроения

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Пределы и производная

Методические указания к решению контрольной работы №1

по математическому анализу

Санкт-Петербург

2012

Составители: Н.А. Вешев, Г.М. Головачев, И.А. Губкин, О.Ю. Иванова.

Рецензент: доктор физ.-мат. наук, профессор В.Г.Фарафонов

Методические указания к решению контрольной работы № 1 предназначены для студентов 1-го курса технических и экономических специальностей ГУАПа. В пособии содержатся основные теоретические сведения, необходимые при решении задач. Приведены решения характерных задач по модулю “Пределы и производная”.

Подготовлены к публикации кафедрой высшей математики и рекомендованы к изданию редакционно-издательским советом СанктПетербургского государственного университета аэрокосмического приборостроения.

	Редактор
	Верстальщик
Сдано в набор	Подписано к печати

Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл.-печ. Л.

Уч.- изд. Л. Тираж	экз. Заказ №

Редакционно-издательский центр ГУАП

190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., д. 67

© ГУАП, 2012

2

1. Вычисление пределов функции в точке и на бесконечности

При вычислении пределов используются определения и теоремы, которые следует повторить.

1.Определение предела функции в точке и на бесконечности.

2.Использование непрерывности функций при вычислении

пределов.

3.Непрерывность элементарных функций на области определения.

4.Непрерывность суммы, произведения, частного непрерывных функций. Непрерывность сложной функции.

5.Теоремы об арифметических действиях с пределами.

6.Принцип сжатой функции.

7.Неопределенность. Раскрытие неопределенностей.

8.Замечательные пределы.

9.Эквивалентные функции. Вычисление пределов с помощью перехода к эквивалентным функциям.

10.Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.

В первой части пособия приводятся примеры решения задач с применением указанной теории.

1.1.Сложная функция

Определение: Пусть заданы два множества X и Y. Функцией y=f(x) называется отображение (правило), которое каждому элементу множества X сопоставляет один элемент множества Y.

Пример: Функция y=x2 сопоставляет каждому числу его квадрат. Предполагается, что вы знакомы с понятием функции и с

элементарными функциями.

Определение: Пусть функция t=g(x) задана на некотором множестве M, N – множество всех ее значений t. Пусть функция y=f(t) задана на множестве N, P – множество всех ее значений y. Сложной функцией y=f(g(x)) называется функция, которая каждому элементу x сопоставляет элемент y, который задается последовательным действием этих функций.

Пример: Пусть t=sin(x), эту функцию выбираем в качестве g(x). Пусть y=t2 эту функцию выбираем в качестве f(t). Сложной функцией y=f(g(x)) в

таком случае является y=sin2x. Например, в точке x															функции принимают
															4
следующие значения g	si n										2				т.е. f g	1
		2
				, f	2					2			1	,			.
4	4	2			2		2						2		4	2
1.2. Понятие предела функции в точке.															Вычисление пределов.
Раскрытие неопределенностей.

Определение: Число a называется пределом функции f(x) в точке x0 , если для любого положительного числа найдется положительное число , такое, что для всех значений переменной x из множества (x0− ; x0) (x0; x0+ ) выполняется неравенство |f(x)−a|< .

Этому определению соответствует обозначение li m f (x) a.

x x0

3

Замечание: множество (x0− ; x0+ ) принято называть “ окрестностью точки x0”; множество (x0− ; x0) (x0; x0+ ) принято называть “проколотой окрестностью точки x0”.

Сформулированное определение позволяет проверить, является или нет некоторое число пределом данной функции в точке. Например, выбрав в качестве примера функцию f(x)=x3+3 и точку x0=2, с помощью определения

легко показать, что li m x 3 3 11. Тем не менее, в настоящее методическое

x 2

пособие задачи на применение определения предела не включены. На практике для вычисления пределов функций используются специальные методы. Изложению этих методов и приемов вычисления пределов при решении задач посвящен первый пункт пособия.

Вычисление пределов основано на следующих теоретических фактах. Теорема 1. Предел функции, непрерывной в некоторой точке, равен

значению функции в этой точке, т.е. li m f (x) f (x0 ). .

x x0

Таким образом, вычисление предела сводится к вычислению значения функции.

Теорема 2. Известные элементарные функции непрерывны на своей области определения. Это функции:

f (x)	x p, p
f (x)	si n x
f (x)	cosx
f (x)	t g x
f (x)	ct g x
f (x)	ar csi n x
f (x)	ar ct g x
f (x)	ax
f (x)	loga x

Теорема 3. Функции, полученные из элементарных функций с помощью действий сложения, умножения, деления, умножения на число, непрерывны на своей области определения. Сложная функция, составленная из элементарных функций, также непрерывна на своей области определения.

Теорема 4. Теоремы об арифметических действиях с пределами.

Пусть существуют пределы li m f (x)	a и l i m g(x) b. Тогда существуют
x x0	x x0

следующие пределы и выполняются следующие равенства:

lim		p f (x)				pa, p		,
x	x0
lim		f (x)		g(x)			a	b,
x	x0
lim		f (x)		g(x)			a b,
x	x0
l i m		f (x)			a	, b 0.
		g(x)			b
x	x0

Покажем на примере, как используются первые два правила.

4

	Пример: Вычислить предел l i m				x2	5x	4	.
						x2
				x 1			1
	Решение: Сначала подставим 1 в знаменатель дроби и убедимся, что
	выражение	x2 5x	4	не определено в точке x0=1. Подставим 1 в числитель
		x 2	1

дроби и увидим, что числитель и знаменатель равны 0 в точке, в которой

вычисляется предел. Разложим числитель

и

знаменатель на

множители

x2 5x

4

x

1

x

4

.

При

всех x из проколотой окрестности точки 1

x2

1

x

1

x

1

функция

f (x)

x2

5x

4

совпадает

с

функцией

g(x)

x

4

.

Поэтому

x2

1

x

1

l i m

x2

5x

4

l i m

x

4

.

Функция

g(x)

x

4

.

непрерывна в точке x0=1, поэтому

x2

x 1

1

x 1 x 1

x 1

ее предел можно вычислить простой подстановкой li m

x

4

g(1)

1

4

3

.

x 1 x

1

1

1

2

Ответ: l i m

x2

5x

4

3

.

2

x

1

x2

1

Применение теорем об арифметических действиях с пределами

подробно показано далее при решении типовых задач.

Определение: Функция (x) называется бесконечно малой при x→ x0 (в

lim (x)

0.

проколотой окрестности точки x0), если

x

x0

Теорема 5. Пусть (x)

и (x) - функции, бесконечно малые при x→ x0; p

– произвольное действительное число. Тогда (x) (x), (x) (x),

p (x) также

являются функциями, бесконечно малыми при x→ x0.

Дадим еще несколько определений.

Определение:

Число

a

называется

пределом

функции

f(x) на

бесконечности, если для любого положительного числа найдется положительное число M, такое, что для всех значений переменной x из

множества |x|>M выполняется неравенство |f(x)−a|< .
		Этому определению соответствует обозначение						l i m f (x) a.
								x
		C помощью этого определения можно проверить, например, что
l i m	x	4	1.
	x	1
x
		Для пределов функций на бесконечности являются верными все
теоремы об арифметических действиях с пределами.
		Определение: Функция f(x) имеет в точке x0 бесконечный предел, если
для любого положительного числа M найдется положительное число , такое,
что для всех значений переменной x из множества (x0− ; x0) (x0;									x0+ )
выполняется неравенство |f(x)|>M.
		Этому определению соответствует обозначение						l i m f (x) .
								x x0
		Пример: li m			1		.
			x 1 x			1
									5

Определение: Функция f(x) имеет на бесконечности бесконечный предел, если для любого положительного числа M найдется положительное число P, такое, что для всех значений переменной x из множества |x|>P выполняется неравенство |f(x)|>M.

Этому определению соответствует обозначение l i m f (x) .

x

Пример: l i m x2 .

x

Необходимо выучить свойства элементарных функций, в том числе знать их пределы в точках разрыва области определения и на бесконечности.

С использованием бесконечных пределов можно расширить набор теорем, использующихся при вычислении пределов.

Теорема 6.

Если

Если

l i m f (x)	, то	l i m			1		0.
x x0		x	x0 f (x)
li m f (x) 0, то		l i m			1		.
x x0		x	x0 f (x)

Если li m g(x) 0, и функция f(x) ограничена в окрестности точки x0, то
	x x0
l i m	f (x)	.
x x0	g(x)

Эти утверждения остаются верными, если вместо пределов в конечной точке x0 рассматривать пределы при x→∞.

Пример: Рассмотрим предел l i m	1	. Функция	y x2 является
x 0 x2

элементарной степенной функцией, поэтому она непрерывна на своей области определения, и ее предел в точке x=0 равен ее значению в этой точке,

li m x2	02 0. Следовательно, l i m	1	. Заметим, что этот же предел может
x 0	x 0 x2

быть найден с помощью непосредственного применения определения бесконечного предела в точке.

При вычислении пределов используют понятие “неопределенности”. Чтобы пояснить это понятие, рассмотрим три предела.

l i m

x2

5x

4

3

.

(показано ранее.)

x2

2

x 1

1

li m

x2

5x

4

li m

(x

1) (x 4)

li m

x 4

.

(см. теоремы о бесконечных

(x 1)2

x 1 (x 1)2

x 1

x 1 x 1

пределах.)

lim

x3

6x2

9x 4

lim

(x 1)2 (x 4)

lim(x

1)

0.

x2

(x 1) (x 4)

x 1

5x 4

x 1

x 1

Мы видим, что во всех трех примерах функция, стоящая под знаком предела, представляет собой дробь. При подстановке точки, в которой вычисляется предел, в формулу каждой из трех функций, мы получаем ноль и в числителе, и в знаменателе дроби. Однако результат вычисления предела в каждом из трех случаев разный. В первом случае предел равен ненулевому числу, во втором случае предел равен бесконечности, в третьем – нулю. (Заметим, что определение предела не требует, чтобы функция существовала

6

в точке x0, поэтому нас, как и раньше, не смущают нули в знаменателе всех трех примеров.)

В общем случае рассмотрим произвольную функцию, представляющую из себя дробь. Если числитель и знаменатель этой дроби равен 0 в точке, в которой вычисляется предел, то говорят, что имеется неопределенность вида

00 . Эта фраза и означает, что результат вычисления предела может оказаться

любым их трех типов – ноль, ненулевое число, бесконечность. Без вычисления предела этот результат заранее определить невозможно.

Существует пять видов неопределенностей:	0	,		, 0 ,	, 1 .
	0

Мастерство вычисления пределов состоит в умении раскрывать неопределенности.

1.3Замечательные пределы

Известна формула, которую часто называют «первым замечательным пределом».

Теорема 7. l i m

si n x

1.

x 0 x

Из этой формулы получаются следствия

l i m

1

cosx

1

.

x2

2

x 0

l i m

t g x

1.

x 0

x

l i m

ar csi n x

1.

x 0

x

lim

arc tg x

1.

x 0

x

Эти формулы могут быть использованы при вычислении пределов для

раскрытия неопределенностей.

Пример:

Вычислить предел l i m

si n 5x

с применением формул «первого

t g7x

x 0

замечательного предела». Для этого умножим числитель и знаменатель на соответствующие множители.

l i m

si n5x

7x

5x

li m

si n5x

7x

5

1 1

5

5

.

5x t g7x 7x

5x t g7x 7

7

7

x 0

x 0

Пример: Вычислить предел l i m	si n 2x		.
x	1	x 2
		2

Сведем этот предел с помощью замены переменной к «замечательному переделу». Вначале выполним простейшие алгебраические преобразования и воспользуемся формулой синуса двойного аргумента

l i m

si n2x

l i m

2si n x

cosx

l i m

2 2

si n x

cosx

.

x2

x

x

x

x

x

1

x

1

1

x

2

Введем новую переменную t=π-x, которая при стремлении x к π является бесконечно малой. Тогда x=π-t, и

7

li m		2 2	si n x cosx	li m	2 2	si n(	t ) cos( t )	.
			x x
x				t 0		t (2 t )

Воспользуемся тригонометрическими формулами приведения.

li m	2 2	si n(	t ) cos( t)	li m	2 2 si n t cost	li m	2 2 cost		si n t	.
		t (2 t )			t (2 t )		(2 t )		t
t 0				t 0		t 0

Первая дробь в последнем выражении представляет собой непрерывную функцию, ее предел находится подстановкой t=0. Вторая дробь

– это «первый замечательный передел».

Существуют формулы, которые вытекают из определения числа e, основания натуральных логарифмов. Их тоже называют «замечательные переделы», иногда «второй замечательный передел и его следствия».

Теорема 8. lim		1			1 x				e,
					x
x
							1
lim		1		x x					e,
x	0
lim			ex	1					1,
				x
x	0
lim			ln(1 x)						1,
x	0			x
l i m		(1			x)				1		.
					x
x	0

Пример: Вычислить предел l i m e5x 1.

x 0 t g 8x

Воспользуемся написанными выше формулами.

li m	e5x 1		li m	e5x	1 8x 5					1 1	5		5	.
x 0 t g8x			x 0	5x			t g8x 8				8	8

1.4Эквивалентные функции

Перейдем к использованию эквивалентных функций при вычислении пределов.

Определение: Функции f(x) и g(x) называются эквивалентными в точке

x0, если	l i m	f (x)	1.
		g(x)
x x0
Эквивалентность функций обозначается так: f(x)~g(x). Точка, в которой
функции	эквивалентны, как правило, не пишется, но подразумевается.
(Можно	при		необходимости использовать обозначение f (x)	g(x). ) В
			x	x0

подавляющем большинстве задач изучается и используется эквивалентность функций в точках x0=0 или x0=∞.

При вычислении пределов в некоторых случаях оказывается возможным заменить функции, входящие в выражение под знаком предела, на эквивалентные им линейные и степенные функции. После такой замены вычисление предела значительно упрощается. Переход к эквивалентным функциям производится с помощью таблицы эквивалентных функций, которая получается из набора «замечательных пределов». В этой таблице рассматривается эквивалентность в нуле, т.е. x0=0.

8

Теорема 9. (Таблица эквивалентных функций): sin x ~ x,

tg x ~ x, ex – 1 ~ x,

ln(1+x) ~ x,

1 cos x	1	x	2	,
	2

(1+x)α – 1 ~ αx, arcsin x ~ x, arctg x ~ x.

Замечание: таблица эквивалентности функций – это не что иное, как таблица первых членов ряда Маклорена этих функций.

Пример: Вычислить с помощью перехода к эквивалентным функциям

разобранный выше предел l i m e5x 1.

x 0 t g 8x

Воспользуемся тем, что если x→0, то функции 5x и 8x тоже стремятся к 0 (т.е. являются бесконечно малыми). Это позволяет рассматривать 5x и 8x как новые переменные соответственно и применить переход к

эквивалентным функциям в точке 0. e5x-1 ~ 5x

tg 8x ~ 8x

	e5x 1		5x		5	.
	t g 8x		8x		8

1.5Примеры решения задач
Задача 1. Вычислите предел l i m	3x2	+ 6x	45	.
x 3 2x2		+ 3x	27

Решение. При x=3 числитель и знаменатель дроби обращаются в 0. Следовательно, многочлены в числителе и в знаменателе делятся на x−3. Преобразуем формулу:

3x2 + 6x	45	=	3x + 15 x 3	.
2x2 + 3x
	27		2x + 9 x 3

В проколотой окрестности точки 3 выполнено

3x2 + 6x 45		=	3x + 15		,	поэтому
2x2 + 3x 27			2x + 9
l i m	3x2 + 6x 45			= l i m		3x + 15	.
x 3 2x2 + 3x 27				x 3		2x + 9

При x=3 знаменатель дроби в правой части не обращается в 0. Применяя арифметические свойства предела, получаем, что

	l i m	3x + 15	=	3 3 + 15	= 1,6.
		2x + 9		2 3 + 9
	x 3

Ответ: 1,6.

Задача 2. Вычислите предел

	l i m	x	5 x + 7		.
			x + 4 3
	x 5

9

Решение. При x=5 числитель и знаменатель дроби обращаются в 0, мы имеем неопределенность. Преобразуем формулу, умножив числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное к знаменателю:

	x 5 x + 7				x	5 x + 7 x + 4 + 3
				=							.
	x + 4 3
						x + 4 3 x + 4 + 3

Знаменатель полученной дроби равен

2

32 = x + 4

x + 4

9 = x

5.

Сокращая на x-5, получаем, что в проколотой окрестности точки 5

выполнено

x 5 x + 7

= x + 7 x + 4 + 3 .

x + 4

3

Таким образом,

li m

x

5

x + 7

= li m

x + 7

x + 4 + 3 = 5 + 7

5 + 4 + 3 = 12 6 = 72.

x 5

x + 4

3

x 5

Ответ: 72.

Задача 3.

Вычислите предел l i m

28x 4

2x 3 + 16x2 + 8

.

x

16x 4 + x2 + 11

Решение. Числитель и знаменатель дроби — многочлены, их степени

равны 4. Разделим числитель и знаменатель на x4. При x

0 получаем

1

1

1

28x 4

2x 3 + 16x 2 + 8

28 2

+ 16

+ 8

.

=

x

x2

x 4

16x

4

+ x

2

+ 11

1

1

16 +

+ 11

x2

x 4

Известно,

что для

любого

натурального

n

выполнено

l i m

1

= 0,

x

x n

следовательно,

li m

28

2

1

+ 16

1

+ 8

1

= 28

2 0 + 16 0 + 8 0 = 28,

x

x

x2

x 4

и li m

16 +

1

+ 11

1

= 16 + 0 + 11 0 = 16.

x

x2

x 4

Таким образом, li m

28x 4 2x 3 + 16x2 + 8

=

28

=

1,75.

x

16x 4 + x2 + 11

16

Ответ: -1,75.

5x + 7 6x

Задача 4.

Известно, что

l i m

= ep. Укажите p.

x

5x + 2

Решение. 1-й способ. Воспользуемся свойством непрерывности

логарифма:

p = l n l i m

5x + 7 6x

= l i m l n

5x + 7

6x

= l i m 6x l n

5x + 7

.

x

5x + 2

x

5x + 2

x

5x + 2

Преобразуем дробь, выделив целую часть:

5x + 7

= 1+

5

. При x→∞

5x + 2

5x + 7

функция

5

является

бесконечно

малой.

Пользуясь

таблицей

5x + 2

эквивалентных функций получаем, что l n 1+

5

5

и

5x + 2

5x + 2

6x ln 1+

5

6x

5

=

30x

. Таким образом,

5x + 2

5x + 2 5x + 2

10