Вариант 5
Задача 1. Дискретная случайная величина X(CB X) задана рядом распределения:
-
xi
20
40
50
70
80
pi
0,2
0,1
0,4
0,2
0,1
Найти: 1) функцию распределения F(x); 2) числовые характеристики: математическое ожидание М(X), дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение (X), моду M0(Х); 3) вероятность P(40 ≤ X < 80). Построить многоугольник распределения и график F(x).
Задача 2. Мишень состоит из круга и двух концентрических колец. Попадание в круг дает 6 очков, в кольцо 2 дает 4 очка, а попадание в кольцо 3 дает два очка. Вероятности попадания в круг и кольца 2 и 3 соответственно равны 0,2; 0,3 и 0,5. Для дискретной СВ Х– суммы выбитых очков в результате трех попаданий, составить ряд распределения и найтиF(x),M(X),(X).
Задача 3. Автоматическая линия состоит из nнезависимо работающих однотипных станков. Вероятность того, что станок потребует наладки в течение смены для каждого станка равна 0,3. Требуется: 1) построить ряд распределенияCB X – числа станков, которым потребуется наладка в течение смены, еслиn= 4; 2) оценить вероятность того, что за смену потребуют наладки 20 станков, еслиn= 100.
Задача 4. Совместное распределение дискретных CB X и Y задано таблицей:
-
Y
X
0
4
9
1
0,20
0,15
0,10
4
0,30
0,20
0,05
Составить закон распределения CB Z=Y+X. НайтиM(Z) иD(Z).
Задача 5. Непрерывная CB Xзадана функцией распределения
Найти: 1) плотность распределения f(x); 2)M(x) иD(X); 3)P(3 <X< 9); 4) вероятность того, что в четырех независимых испытанияхCB Xровно два раза примет значения, принадлежащие интервалу (3; 9).
Задача 6. Задана функция
Определить значение параметра A,
при котором эта функция задает плотность
распределения вероятности некоторой
непрерывнойCB X.
НайтиF(x),
M(X).
Построить графикF(x).
Задача 7. Заданы M(X) = 10 и(X) = 4 нормально распределенной непрерывнойСВ X. Найти:
1) вероятность
;
2) вероятность
;
3) симметричный относительно aинтервал, в который попадают значенияCB Хс вероятностью= 0,5161.
Задача 8. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Случайная величина X– разница между временем, показываемым на табло и истинным временем имеет равномерное распределение. Найти вероятность того, что в некоторый момент времени часы укажут время, которое отличается от истинного: а) не менее, чем на 10 с и не более, чем на 25 с; б) не менее, чем на 25 с.
Вариант 6
Задача 1. Дискретная случайная величина X(CB X) задана рядом распределения:
-
xi
–5
–3
–1
1
3
pi
0,2
0,2
0,1
0,4
0,1
Найти: 1) функцию распределения F(x); 2) числовые характеристики: математическое ожидание М(X), дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение (X), моду M0(Х); 3) вероятность P(– 3 ≤ X < 1). Построить многоугольник распределения и график F(x).
Задача 2. В группе 12 студентов, из которых 5 живут в общежитии. По списку наудачу отбираются 4 студента. Для СВ Х– количества проживающих в общежитии студентов среди тех, кто будет отобран, составить ряд распределения и найтиF(x),M(X) иD(X).
Задача 3. При изготовлении однотипных деталей на устаревшем оборудовании каждая деталь может оказаться бракованной с вероятностью 0,1. Построить ряд распределения CB X – числа бракованных деталей среди четырех, которые будут изготовлены. Оценить вероятность того, что среди 900 изготовленных деталей бракованных будет три, если после смены оборудования вероятность брака для каждой детали станет равной 0,002.
Задача 4. Дискретная CB Xзадана рядом распределения:
-
xi
0
pi
0,15
?
0,25
0,30
0,10
0,05
Найти ряд распределения CB Y= 2sin2X,M(Y) иD(Y).
Задача 5. Непрерывная CB Xзадана функцией распределения
Найти: 1) плотность распределения f(x); 2) M(x), (X); 3)P(1 <X< 3); 4) вероятность того, что в четырех независимых испытанияхCB Xровно два раза примет значения, принадлежащие интервалу (1; 3).
Задача 6. Задана функция
Определить значение параметра A,
при котором эта функция задает плотность
распределения вероятности некоторой
непрерывнойCB X.
НайтиF(x),
M(X)
иD(X).
Построить графикF(x).
Задача 7. Заданы M(X) = 11 и(X) = 3 нормально распределенной непрерывнойСВ X. Найти:
1) вероятность
;
2) вероятность
;
3) симметричный относительно aинтервал, в который попадают значенияCB Хс вероятностью= 0,9973.
Задача 8. Срок безотказной работы телевизора данной марки представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с параметрами а= 12 лет и= 2 года. Найти вероятность того, что в телевизор проработает без ремонта: а) от 9 до 12 лет; б) не менее 10 лет.