view

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Л.Н. Феофанова, А. Е. Годенко

Л.А. Исаева, В. И. Кудряшов

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ:

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

СТУДЕНТОВ

Учебное пособие

Допущено УМО вузов РФ по образованию в области транспортных машин и транспорт- но-технологических комплексов в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по специальностям направлений подготовки «Эксплуатация наземного транспорта и транспортного оборудования», «Организация перевозок и управление на транспорте» и направлению подготовки бакалавров «Эксплуатация транспортных средств»

Волгоград

2010

УДК 519.21(075)

Рецензенты:

кафедра «Высшая математика» Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета,

зав. кафедрой д-р техн. наук профессор И. П. Руденок;

д-р техн. наук профессор кафедры «Математический анализ» Волгоградского государственного

педагогического университета Б. А. Жуков

Печатается по решению редакционно-издательского совета Волгоградского государственного технического университета

Феофанова Л. Н.

Теория вероятностей. Задания для самостоятельной работы студентов: учеб. пособие / Л. Н. Феофанова, А. Е. Годенко, Л. А. Исаева, В. И. Кудряшов. – Волгоград : ИУНЛ ВолгГТУ, 2010. – 152 с.

ISBN 978–5–9948–0498–8

В учебном пособии содержатся задачи для устных упражнений, варианты контрольных работ, типового расчета и тесты для подготовки к экзаменам. Предложены образцы решения стандартных задач и ответы.

Рекомендовано для студентов вузов, обучающихся по специальностям направлений подготовки дипломированных специалистов 653300 (190600.65) «Эксплуатация наземного транспорта и транспортного оборудования», 653400 (190700.65) «Организация перевозок и управления на транспорте» и направлению подготовки бакалавров 552100 (190500.62) «Эксплуатация транспортных средств».

Ил. 18. Библиогр.: 15 назв.

ISBN 978–5–9948–0498–8	Волгоградский государственный
	технический университет, 2010
	Феофанова Л. Н., 2010

2

ВВЕДЕНИЕ

Предлагаемая учебная книга является второй частью изданного учебного пособия «Теория вероятностей. Стандартные задачи с основными положениями теории», где приводятся теоретические сведения и разобраны решения типовых задач, рассчитанных на средний уровень подготовки студентов. Настоящее пособие содержит следующие виды заданий для самостоятельной работы студентов: устные упражнения, типовые задачи, варианты контрольной работы по случайным событиям и случайным величинам, варианты типового расчета и тесты для подготовки к экзаменам. Приведены ответы ко всем устным упражнениям, ключи ответов к экзаменационному тесту и представлено решение одного из вариантов типового расчета.

В конце книги содержатся таблицы значений функций, необходимых для решения некоторых задач и справочные материалы по теории вероятностей.

Данное пособие обобщает опыт работы преподавания теории вероятностей, накопленный на кафедре «Прикладная математика» ГОУ ВПО «Волгоградский государственный технический университет». Рекомендуется для студентов вузов, обучающихся по специальностям направлений подготовки дипломированных специалистов 653300 (190600.65) «Эксплуатация наземного транспорта и транспортного оборудования», 653400 (190700.65) «Организация перевозок и управления на транспорте» и направлению подготовки бакалавров 552100 (190500.62) «Эксплуатация транспортных средств».

Предполагается, что учебное пособие будет использовано для самостоятельной (или под руководством преподавателя при проведении практических занятий в аудитории) работы студентов с целью усвоения полученного на лекциях теоретического материала и применения его к решению задач. Пособие будет полезно для студентов всех форм обучения: очного, заочного и дистанционного.

3

Глава 1 СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

1. УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ

1.	Упростить выражение (А + В)(А +	В	)	Отв.: А.
2.	Найти объединение множеств А = {а,b,с,d,e, f } и B = {b,g, f }.
			отв.:	A + B = {а,b,с,d,e,g, f }

3. В трудовом коллективе из 35 человек каждый является или начальником или подчиненным. Начальников 13, а подчиненных 34. Сколько сотрудников являются и начальниками, и подчиненными одновременно?

Отв.: 6. 4. В группе, состоящей из 32 человек, 13 студентов интересуются юриспруденцией, 15 – экономикой, 5 – и тем, и другим. Сколько студентов

не интересуются этими дисциплинами?	Отв.: 9.
5. Куплено 500 лотерейных билетов. На 40 из них упал выигрыш по
1 руб., на 10 – по 5 руб., на 5 – по 10 руб. Найдите средний выигрыш.
	Отв.: 0,28.
6. Выпущено 100 лотерейных билетов, причем установлены призы:
8 билетов по 1 руб., 2 – по 5 руб. и 1	– по 10 руб. Найдите вероятности

р0 (билет не выиграл), р1 (билет выиграл 1 руб.), р5 (билет выиграл 5 руб.) и р10 (билет выиграл 10 руб.).

Отв.: р0 = 0,89; р1 = 0,08; р5 = 0,02; р10 = 0,01. 7. На отрезке длиной 20 см закрашен меньший отрезок длиной 10 см.

Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на большой отрезок, попадает также и на меньший закрашенный отрезок. Отв.: 0,5.

8. В круг вписан квадрат. Какова вероятность того, что точка, «бро-

шенная» наудачу внутрь круга, окажется и в квадрате?	Отв.:	2	.
		π

9. Вращающийся диск разделен на четное число равных секторов, окрашенных попеременно в белый и красный цвет. По диску произведен вы-

4

стрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из белых секторов. Отв.: 0,5.

10. Игральная кость бросается один раз. Какова вероятность того, что

на верхней грани выпадет не менее пяти очков?	Отв.:	1	.
		3

11. По оценкам экспертов вероятности банкротства для двух предприятий, производящих разнотипную продукцию, равны 0,1 и 0,15. Какова вероятность банкротства обоих предприятий? Отв.: 0,015.

12. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию с интервалом 5 мин. Какова вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 минут? Отв.: 0,4.

13. Интервалы между поездами метро 5 минут. Какова вероятность того, что, спустившись в метро в случайный момент времени, придется

ждать поезда не менее 1 минуты и не более 3	минут?	Отв.: 0,4.
14. Работница обслуживает две машины.	Вероятность того, что в тече-

ние часа не потребуется внимание работницы для первой машины равно 0,9, а для второй – 0,8. Какова вероятность того, что ни одна машина не потребует внимание работницы? Отв.: 0,72.

15. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что произ-

ведение выпавших очков окажется равным 12?	Отв.:		1		.
	9
16. Шифр замка состоит из 4 цифр. Какова вероятность открыть замок
с первого раза, набрав правильную комбинацию цифр?	Отв.:	1		.
	24

17. Вероятность успешной сдачи экзамена по четырем предметам у данного студента соответственно равны 0,5; 0,6; 0,8; 0,9. Какова вероятность успешной сдачи всех экзаменов? Отв.: 0,216.

18. Два стрелка произвели по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,7, а вторым – 0,6. Какова вероят-

5

ность того, что хотя бы один из стрелков попал в мишень? Отв.: 0,88. 19. Прибор состоит из двух работающих независимо элементов. Вероятность выхода из строя 1-го элемента при включении прибора – 0,03; а второго – 0,06. Какова вероятность того, что при включении прибора откажет только один прибор? Отв.: 0,9118. 20. В урне 2 белых и 7 черных шаров. Наугад вынимают два шара. Ка-

	кова вероятность того, что шары окажутся черными?	Отв.:		7	.
			12

21. В магазин поступает товар от трех поставщиков. Вероятности того, что товар будет доставлен в срок, равны соответственно 0,85; 0,6; 0,5. Найти вероятность того, что хотя бы одна партия не будет доставлена в срок.

Отв.: 0,255.

22. Два стрелка производят по одному выстрелу. Вероятность попадания в цель для первого и второго стрелков равны 0,8 и 0,75 соответственно. Найти вероятность того, что цель будет поражена. Отв.: 0,95.

23. Вероятность попасть в десятку у данного стрелка равна 0,3. Какова вероятность того, что при шести выстрелах стрелок попадет в десятку три

раза? Отв.: 0,1166. 24. В партии, состоящей из 100 изделий, имеется 20 дефектных. Из

партии выбирается для контроля 80 изделий. Найти вероятность того, что

		C8	C	72
из них 8 будет дефектными.	Отв.:	20	80		.
		C80
			100

25. Монеты бросают 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет

менее 2 раз.		1	6	1		1	6
	Отв.:	2		+ C6		2	.

26. Каково наиболее вероятное число пораженных самолетов в группе из 13 бомбардировщиков, если самолеты поражаются независимо друг от друга и вероятность поражения одного самолета равна 4/7? Отв.: 7; 8.

27. Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попада-

6

ния в цель при одном выстреле равна 0,7. Какова вероятность поражения цели хотя бы одним выстрелом? Отв.: 0,973.

28. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень при трех выстрелах равна 0,875. Какова вероятность попадания при одном выстреле?

Отв.: 0,5. 29. В первой урне 4 черных и 6 белых шаров. Во второй урне 3 белых и 7 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Какова веро-

ятность того, что этот шар окажется белым?

Отв.: 0,45. 30. На двух станках обрабатываются однотипные детали. Станок № 1 дает 3 % брака, станок № 2 дает 2 % брака. Производительность первого станка вдвое больше производительности второго. Какова вероятность, что

оказавшаяся бракованной деталь изготовлена на станке № 1?

Отв.: 0,75. 31. Каждая из 3 лампочек имеет дефект с вероятностью 0,2. При ввинчивании в патрон дефектная лампочка сразу перегорает и выбрасывается. Какова вероятность того, что при последовательном ввинчивании лампо-

чек были израсходованы все три имеющиеся лампочки?

Отв.: 0,04.

32.Компания «Экспресс–Волга» получила партию шин отечественного

иимпортного производства, причем первых вдвое больше, чем вторых. Шины сложены без всякого порядка. Какова вероятность того, что из 10

взятых наугад шин 6 окажется импортных?	6		1	6		2	4
	Отв.: C10		3			3	.

33. По данным «Сити–Экспресс» вероятность проколоть колесо у маршрутного такси в течении рабочей смены равна 0,6. Какова вероятность того, что ни одна из 5-ти маршруток не проколет колесо в течение рабочей смены?

Отв.: (1–0,6)5.

7

2.ЗАДАЧИ

2.1.Классическое определение вероятности случайного события

Задача 1. На подносе 5 пирожков с картошкой и 4 с капустой. Наудачу взяли 3 пирожка. Какова вероятность того, что среди них хотя бы два с капустой?

Задача 2. В магазине имеется 5 моделей летних туфель. Каждая из 4 женщин покупает одну из имеющихся моделей. Найти вероятность того, что среди купленных туфель не будет двух пар одной и той же модели. Предполагается, что каждая женщина с равной вероятностью может купить любую из имеющихся моделей.

Задача 3. В магазине нужно оформить ценник на товар стоимостью 4 руб. 54 коп. Из коробочки, содержащей по одному штемпелю с каждой из цифр от 0 до 9, наудачу извлечены три штемпеля. Какова вероятность того, что среди них имеются нужные штемпели с цифрами «4» и «5»?

Задача 4. Шесть кастрюль разной емкости от 1 л до 6 л наудачу расставлены на полке. Найти вероятность того, что при этом кастрюли емкостью 3 л и 2 л окажутся рядом.

Задача 5. На раздаче в столовой имеются 5 салатов из капусты, 3 из свеклы и 2 из моркови. Каждый посетитель столовой берет с равной вероятностью один вид салата. Определить вероятность того, что четвертый в очереди посетитель будет иметь возможность выбора салата только двух видов (т. е. либо все салаты из свеклы, либо все салаты из моркови будут взяты до нeгo) .

Задача 6. На полке наудачу расставлены 3 банки с горошком и 3 с oгypцами. Какова вероятность, что банки с горшком и с огурцами будут чередоваться?

Задача 7. Для приготовления блюда надо взять по одному пакету сме- си-полуфабриката № 1, № 2, № 3. Какова вероятность, что технология не

8

будет нарушена, если имеется 4 пакета смеси № 1, по 2 пакета смеси № 2 и № 3, а выбираются наудачу три пакета?

Задача 8. В магазине работают 2 мужчин и 7 женщин. Трое из них должны пойти в отпуск летом. Кто именно – определяется жребием. Найти вероятность того, что летом в отпуск пойдет хотя бы один мужчина.

Задача 9. Кусок сыра, имеющий форму параллелепипеда 30х30х50 см3, покрыт со всех сторон защитной съедобной пленкой. Для продажи этот кусок разделили на кубики размером 5 см х 5 см х 5 см, причем плоскости разреза были параллельны граням параллелепипеда. Найти вероятность того, что у наудачу взятого кубика:

а) ни одна из граней не покрыта защитной пленкой; б) ровно одна грань покрыта защитной пленкой.

Задача 10. Баночки маргарина 'и майонеза имеют одинаковый вес и внешний вид. Для приготовления некоторого блюда требуется 2 банки майонеза и 1 – маргарина. Из ящика, в котором 9 банок маргарина и 6 майонеза, наудачу извлекли 3 банки. Какова вероятность того, что из них можно приготовить данное блюдо?

Примеры решения задач

Пример 1. В цехе 8 человек, в том числе 3 мужчины и 5 женщин. Наудачу отобрано 5 человек. Найти вероятности того, что среди них 2 мужчин и 3 женщины.

Решение. Применим формулу классического определения вероятностей

P(A) = m , где n – общее число исходов; m – число исходов, благоприятст- n

вующих событию А. Общее число исходов n = C85 = 5!3!8! = 56. Вычислим число благоприятствующих исходов m. Из имеющихся трех мужчин двух можно выбрать C32 способами. Соответственно, из имеющихся пяти жен-

9

щин трех можно выбрать C53 способами. Поскольку условиям задачи удовлетворяет любая комбинация мужчин и женщин (лишь бы только мужчин было 2, а женщин 3), общее число благоприятствующих исходов будет

равно: m = C2	C3	=	3!			5!		=	1 2 3 4 5		= 30. Отсюда, вероятность со-
			2!1!			3! 2!				1 2 1 2
3	5

бытия А равна P(A) = m = 30 = 15 . n 56 28

Пример 2. Имеется 4 столбика и 5 ведер с красками разных цветов. Каждый столбик окрашивается краской из наудачу взятого ведра (при этом может получиться так, что разные столбики будут окрашены одной и той же краской). Найти вероятность того, что все столбики будут окрашены разными красками.

Решение. В качестве исхода данного опыта выступает произвольный набор 4-х элементов, составленный из пяти имеющихся красок. Например, К1 К3 К5 К3 или К5 К4 К1 К3. Первая последовательность интерпретируется так: первый столбик покрашен первой краской К1, второй и четвертый столбики – краской К3, третий – краской К5. Подчеркнем, что один и тот же элемент (в данном случае это К3) может повторяться. Такие соединения называются «размещениями с повторениями из пяти по четыре». В нашем случае общее число исходов равно n = A54 (п) = 54 = 625. Роль благоприятствующих исходов будут играть такие размещения, у которых на разных местах стоят разные элементы, например, К5 К4 К1 К3, т. е. размещения без повторений.

Следовательно, число благоприятствующих исходов равно:

	m = A4	=	5!		=	5!	=120, вероятность интересующего нас события
			(5 − 4)!			1!
	5

равна:

P(A) = m = 120 = 24 . n 625 125

10