сборник_индив_заданий_кинематика

25

26

М

х

М

	х
27	28	М

		х
М	х
29	30	х
	М

х

М

Рис. 6.4

40

x 2

A r2 R2

1

r3 М

R3

3

Рис. 6.5

Поскольку соединяющая колеса 2 и 3 нить является нерастяжимой, модули скоростей точек, лежащих на ободе этих колес, одинаковы, следовательно,

| 2 (t) | R2 | 3 (t) | R3 ,

	(t) (t)	R2	0.45t 1.25 (1/с).	(6.3)
3	2	R3

В формуле (6.3), связывающей угловые скорости, учтено, что колеса вращаются в одном направлении.

Угловое ускорение колеса 3 равно

ε3 = dω3 /dt = 0.45 (1/с2).

Модули скорости точки М, ее тангенциального, нормального и полного ускорений определяются по формулам

|vM | = |ω3| r3, aМ = |ε3| r3,

| aМn | = ω32 r3,

| aM | aМ 2 aМn 2 .

Результаты вычислений для заданного момента времени t = t1 приведены в табл. 6.2, направления скоростей и ускорений тела 3 и точки М показаны на рис. 6.6 (ось z “смотрит на нас”).

41

Таблица 6.2

ω3	ε3	|vM |	| aМ |	| aМn |		| aM |
–0.8	0.45	8	4.5	6.4		7.82
	vA
	x
	A			3
	aA				a
					M
			aM		M
			an			vM
			M

3

z

42

7. Задание 3. Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки

Материальная точка М движется по закону OM s(t) вдоль линии ОD тела, изображенного на рис. 7.1–7.3. Само тело также

движется.	Его	движение	определяется функцией e e (t) ,
(t)	или xe	xe (t) ,	в зависимости от рассматриваемого ва-

рианта. Зависимость указанных выше функций от времени дана в табл. 7.1. Значения параметров a , b и c задаются преподавателем указанием номера столбца в табл. 7.1 (для параметра a ) и номера столбца в табл. 7.2 (для параметров b и c ). Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М для момента времени t = 1 c.

43

Окончание табл. 7.1

Таблица 7.2

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
b	10	8	12	7	9	11	14	13	15	16
c	3	5	4	–2	2	4	–5	3	5	2
					44

1

3

5

7

9

2

4

6

8

10

Рис. 7.1

45

11	12

О1

13

14

О1

15

16

17

18

19

20

Рис. 7.2

46

21

22

О2В

О2

23

24

25

26

О1

27	О2В	28
	А	В
		О2
29		30

Рис. 7.3

47

Пример. Прямоугольная пластина вращается вокруг неподвижной оси, проходящей по одной из ее сторон согласно закону

2t2 0.5t3 (рис. 7.4). Положительное направление отсчета уг-

ла указано на рис.				7.4 дуговой стрелкой. По дуге окружности
радиуса		R = 0.5 м		движется	точка	B	по	закону
	4
s АB		R cos	t	м (положительное направление отсчета от
	3	3
A к B и D). Определить v A и a A в момент времени t1 2 c								точки
В.
				z1
				ω	v e
				n	ar
				ae
				v r	1
				ac
					20°
			ω	ae
			ε	ρ
							y1
				2
							y

x1

Рис. 7.4

Решение. Воспользуемся рекомендациями, данными в п. 4.4 для решения задач на сложное движение точки.

48

1. Свяжем подвижную систему координат Ox1y1z1 с пластиной. Тогда движение точки В по окружности радиуса R является относительным, а вращательное движение пластины – переносным.

2. При определении кинематических характеристик относительного движения можно мысленно остановить вращение пластины и рассматривать только движение точки по окружности согласно заданному закону

										4
							s		АB		R cos			t .
										3		3
	В				момент						времени					t1 = 2 c
			4					4				4			2
	s AB1			R cos		t			R cos120				R 0.5			R.
			3		3			3				3			3

Так как s1 < 0, то расстояние АВ1 отсчитывается противоположно направлению АВD, при этом

ACB1 | s1 | / R 2 / 3.

Положение точки В в данный момент времени изображаем на рис. 7.4 точкой В1.

Находим алгебраическую относительную скорость, касательное и нормальное ускорения в произвольный момент времени

vr s 94 2 Rsin( 3 t), ar s 274 3Rcos( 3 t),

arn v2r / r v2r / R,

где r – радиус кривизны окружности, равный ее радиусу.

Вмомент времени t1 = 2 c получим

vr 94 2 R sin120 1.9 м/с,

a	4 3 R cos120 1.15	м/с, an (1.9)2 / 0.5 7.2		м/с2.
r	27	r
Знаки показывают, что вектор a			направлен в положитель-
		r
ном направлении отсчета расстояния s, а вектор v r –				в противо-

положном направлении, по касательной к окружности. Вектор a nr

направлен по радиусу окружности к центру С. Изображаем эти векторы на рис. 7.4.

49