TR-DI

2.15.

а) y = ln(1 + x) – х+

x2

;б)

2

2.16.

а) y =

ln (1 x2 )

arctg x;

2

2.17.

а) y = 2x exp (–x2);

б)

2.18.

а) y =

sin 2x

+ cos x;

б)

2

2.19.

а) y = x + arctg x;

б)

2.20.

а) y =

sin 2x

+ sin x;

б)

2

2.21.

а) y = cos x – cos2 x;

б)

2.22.

а) y = sin x – sin 2x;

б)

2.23.

а) y =

exp( x)

;

б)

1 x

2.24.

а) y = cos 3x + 3cos x;

б)

2.25.

а) y =

x

+ arcсtg x;

б)

2

2.26.

а) y = x – 2arcсtg x;

б)

2.27.

а) y = cos x –

cos 2x

;

б)

2

2.28.а) y = (7 + 2 cos x)sin x; б)

2.29.	а) y = 2x – tg x;				б)
2.30.	а) y =	( x2 2)		;	б)
		exp( x2 )

x 1

2

в) y 3 (x 2)2 3 (x 2)2 .

y

;

1

x

y

(4 x)3

в) y

4

б)

;

.

9(x 2)

4 x

2

x3

y

;

в) y 3 (x 4)2 3 (x 4)2 .

x2 3

2x 1

y

;

в) y x 2 x2 .

(x 1)2

y			x3				;
		3 x2
y		x3 16								;
			x
y			x3								;
		2(x 1)2
y		x 5				;
		x2
y		( x 1)2								;
		x2				1
y		x3
					;
		x 2
y		1	4x2 ;
		x
y		2x3						;
		x2 4
y			x2					;
	x2 1
y	1 x2							;
	1 x2

yx2 x 1 ; x2 2x

	y	4x 12	;
		(x 2)2

в) y 3x 3 x .

в) y (x 3) x .

в) y 1 3(x 1)2 .

в) y 2x 33x2 .

в) y		x 2		.

x2 2

в) y x 2 x .

в) y 33(x 1)2 2x .

в) y x1 x .

в) y 3x2 3(x 2)2 .

в) y 1 3(x 4)2 .

в) y 3 x2 1 .

в) y x3 3x .

11

Оглавление

З А Д А Н И Е № 3

( З А Д А Ч И Н А О Д Н О М Е Р Н У Ю О П Т И М И З А Ц И Ю )

3.1.Из круглого листа жести вырезают сектор и свертывают его в коническую воронку. Каким должен быть угол сектора, чтобы воронка имела наибольший объем?

3.2.В полукруг радиуса R вписать прямоугольник наибольшей площади.

3.3.Сопротивление балки на сжатие пропорционально площади сечения. Из круглого бревна радиуса R вырубить балку наибольшего прямоугольного сечения.

3.4.Сечение желоба имеет форму равнобедренной трапеции, основание и боковые стороны ее равны a. Каков угол наклона стенки желоба к его высоте при наибольшей пропускной способности желоба?

3.5.Из всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный круг, найти треугольник с наибольшим периметром.

3.6.В круг радиуса R вписан равнобедренный треугольник. При каком соотношении сторон треугольник будет иметь наибольшую площадь?

3.7.Из материала изготовлен цилиндрический резервуар вместимостью V0. При каких значениях радиуса основания и высоты цилиндра будет наименьший расход материала?

3.8.Найти острые углы прямоугольного треугольника, имеющего наибольшую площадь среди всех треугольников, у которых сумма длин одного из катетов и гипотенузы постоянна.

3.9.Определить углы треугольника ABC с наибольшей площадью, если задана длина его основания ВС и известно, что угол ВАС равен а.

3.10.Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Определить радиус полукруга, при котором площадь сечения будет наибольшей, если периметр сечения равен р.

3.11.В треугольник, основание которого а, высота h, вписан прямоугольник наибольшей площади (основание прямоугольника лежит на основании треугольника). Найти стороны этого прямоугольника.

3.12.Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точку А(1, 2) и отсекающей от первого координатного угла треугольник наименьшей площади.

3.13.Сопротивление балки на изгиб пропорционально произведению ширины сечения на квадрат высоты. Из круглого бревна диаметром d вырезать прямоугольную балку с наибольшим сопротивлением на изгиб.

3.14.Из всех треугольников, у которых сумма основания и высоты равна а, найти тот, у которого площадь наибольшая.

3.15.Из трех досок одинаковой ширины нужно сколотить желоб. При каком угле наклона боковых стенок площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей?

12

Оглавление

3.16.В точках А и В находятся источники света силы F1 и F2. Расстояние между точками равно а. На отрезке АВ найти наименее освещенную точку М. Замечание. Освещенность точки источником силы F обратно пропорциональна квадрату расстояния r ее от источника света: Е = kF / r2; k = const.

3.17.Из всех конусов, вписанных в шар радиуса R, найти тот, у которого объем наибольший.

3.18.Чтобы уменьшить трение жидкости о стенки канала, площадь, смачиваемая водой, должна быть возможно меньшей. Показать, что лучшей формой открытого прямоугольного канала с заданной площадью поперечного сечения является такая, при которой ширина канала в два раза больше его высоты.

3.19.Из всех круговых секторов, имеющих данный периметр Р, найти сектор

снаибольшей площадью.

3.20.Из всех прямых параллелепипедов с данной полной поверхностью S, в основании которых лежит квадрат, найти тот, который имеет наибольший объем.

3.21.Боковые стороны и меньшее основание трапеции равны по 10 см. Определить ее большее основание так, чтобы площадь трапеции была наибольшей.

3.22.Для ограждения клумбы, имеющей форму кругового сектора, выдано 20 м проволоки. Какой следует взять радиус круга, чтобы площадь была наибольшей?

3.23.Наблюдатель находится напротив картины, закрепленной на вертикальной стене. Нижний край картины расположен выше уровня глаз наблюдателя на а, верхний край – на b. На каком расстоянии от стены должен стоять наблюдатель, чтобы угол, под которым он видит картину, оказался наибольшим?

3.24.Из круга радиуса R вырезан сектор. Из оставшейся части склеен конус. Какой угол должен иметь вырезанный сектор, чтобы объем конуса был наибольшим? Найти радиус основания и высоту конуса.

3.25.Круг радиуса R разделен на 2 сегмента прямой l, отстоящей от центра круга на расстоянии h. Среди всех прямоугольников, вписанных в меньший сегмент, найти прямоугольник с наибольшей площадью.

3.26.Найти цилиндр с наибольшей боковой поверхностью, вписанный в конус высотой H и радиусом основания R.

3.27.В полукруг вписана трапеция, основание которой есть диаметр полукруга. Определить угол трапеции при основании так, чтобы площадь трапеции была наибольшей.

3.28.Из всех цилиндров, вписанных в шар радиуса R, найти тот, у которого объем наибольший.

3.29.Найти длину боковой стороны трапеции, имеющей наименьший периметр среди всех равнобедренных трапеций с заданной площадью S и углом α между боковой стороной и нижним основанием.

3.30.Каким должен быть котел, состоящий из цилиндра, завершенного полусферами, со стенками заданной толщины, чтобы при данной вместимости V на него пошло наименьшее количество материала?

13

Оглавление

З А Д А Н И Е № 4

( З А Д А Ч И Н А Д В У М Е Р Н У Ю О П Т И М И З А Ц И Ю )

4.1.Палатка имеет форму цилиндрической поверхности с насаженной на нее конической верхушкой. При каких соотношениях между линейными размерами палатки для ее изготовления потребуется наименьшее количество материала при заданном объеме?

4.2.Из круга радиуса R вырезать крестообразную фигуру так, чтобы можно было склеить коробку (без крышки) наибольшего объема.

4.3.Окно имеет форму прямоугольника, завершенного сверху полукругом. Определить размеры окна так, чтобы при данном периметре l оно пропускало больше света.

4.4.Сумма длин ребер прямоугольного параллелепипеда равна а. Каковы размеры параллелепипеда наибольшего объема?

4.5.Построить закрытый прямоугольный ящик так, чтобы его объем был наибольшим, а вся его поверхность равнялась Q.

4.6.Найти треугольник, имеющий наименьший периметр при данной пло-

щади S.

4.7.При каких соотношениях размеров цилиндр, вписанный в данный шар, имеет наибольшую полную поверхность?

4.8.Через точку М(а, b, с) провести плоскость, образующую с плоскостями координат тетраэдр наименьшего объема. Замечание. При решении задачи использовать уравнение плоскости в отрезках.

4.9.При каких размерах открытая прямоугольная ванна имеет наименьшую поверхность? Вместимость ванны задана и равна V.

4.10.Тело состоит из прямого кругового цилиндра, завершенного прямым круговым конусом. При данной боковой поверхности тела, равной Q, определить его размеры, чтобы объем тела был наибольшим.

4.11.Найти размеры прямоугольника данного периметра 2р, который при вращении вокруг одной из своих сторон образует тело наибольшего объема.

	4.12. На эллипсоиде вращения		x2	y2 z2 1 найти точки, наименее и
		96
	наиболее удаленные от плоскости	3x + 4y + 12z = 288.

4.13. Данное положительное число а разложить на п положительных сомножителей так, чтобы сумма обратных величин была наименьшей.

	4.14. Среди вписанных в данный эллипсоид	x2		y2		z2	1 прямых парал-
		a2		b2		c2

лелепипедов с ребрами, параллельными его осям, найти тот, который имеет наибольший объем.

14

Оглавление

4.15.В эллипс х2 + 3у2 = 12 вписать равнобедренный треугольник с основанием, параллельным большой оси, так, чтобы площадь треугольника была наибольшей.

4.16.Найти треугольник данного периметра 2р, который при вращении вокруг одной из своих сторон образует тело наибольшего объема.

4.17.Из всех треугольников с данным основанием а и углом при вершине α найти треугольники с наименьшим и наибольшим периметрами.

4.18.Вписать в окружность радиуса R треугольник наибольшей площади.

4.19.Определить размеры конуса наименьшей боковой поверхности при условии, что его объем равен V.

	4.20. В эллипс	x2		y2	1 вписан прямоугольник наибольшей площади.
		a2		b2

Найти площадь прямоугольника.

4.21.Найти наибольший объем цилиндра, периметр осевого сечения которого

равен а.

4.22.Из всех прямоугольных треугольников с данной гипотенузой найти треугольник наибольшего периметра.

4.23.Найти наибольший объем прямого параллелепипеда при условии, что

длина его диагонали равна 2 3 .

4.24.Число а разложить на п множителей так, чтобы их сумма была наименьшей.

4.25.Среди всех треугольников данного периметра 2р найти тот, который имеет наибольшую площадь.

4.26.В шар с радиусом R вписать прямой параллелепипед наибольшего объема.

4.27.Определить наружные размеры открытого прямоугольного ящика с заданной толщиной стенок δ и внутренней емкостью V так, чтобы на его изготовление было затрачено наименьшее количество материала.

4.28.Через какую точку параболы у = 3 – х2 следует провести касательную, чтобы площадь треугольника, образованного этой касательной и положительными полуосями Ох и Оу, была наименьшей?

4.29.На плоскости 3х – 2z = 0 найти точку, сумма квадратов расстояний которой от точек А(1, 1, 1) и B(2, 3, 4) наименьшая.

4.30.Найти кратчайшее расстояние от точки А(1, 0) до эллипса 4х2 + 9у2 = 36.

З А Д А Н И Е № 5

( З А Д А Ч И Н А Г Л О Б А Л Ь Н Ы Й Э К С Т Р Е М У М )

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, у) в указанной замкнутой области D. Функция z = f (x, у) и область D даны в таблице 1.

15

Оглавление

						Таблица 1
№	z			D {(x, у):
варианта
5.1.	xy (1 – x – у)	х 0,		у 0,		х + у 2
5.2.	3х2 + 3у2 – 2х – 2у + 2	х 0,		у 0,		х + у 1
5.3.	ехр (х2 + у2 + у)		х + у 1
5.4.	х3 + у3 – 3ху	х 0,		у 0,		х + у 3
5.5.	х2у (2 – х – у)	х 0,		у 0,		х + у 6
5.6.	z = х2у			х2 + у2 1
5.7.	х2 + 2ху – у2 – 4х	х 3, у 0, у 2х
5.8.	х3 – у3 – 3ху	х 2, –1 у 2
5.9.	х2 + 2ху – у2 – 2х + 2у	0 х 2, у 0, у – х 2
5.10.	х2у (4 – х – у)	х 0, у 0,				х + у 6
5.11.	2х3 + 4х2 + у2 – 2ху		у х2,			у 4
5.12.	sin х + sin у + sin (x + у)	0 х / 2 ,			0 у / 2
5.13.	х3 + у3 – 9ху + 27	0 х 4,			0 у 4
5.14.	3ху			х2 + у2 2
5.15.	х2 + у2	х 2,	х + 3у 5, 3х + у 15
5.16.	sin х + sin у + cos(x + у)	0 х	3 / 2 ,		0 у 3 / 2
5.17.	х2 – ху + 2у2 + 3х +2у+1	х 0; y 0,				х + y 5
5.18.	ху (х + у + 1)	1 х 2, 0 y 1 / x
5.19.	(2x2 + 3y2) ехр (–х2 – y2)			х2 + y2 4
5.20.	arctg (x2 – ху + y)	х 2,			y 3
5.21.	x2 + 3у2 – х – 18у – 4		0 х y 4
5.22.	x2 / 2 – ху		x2 / 3 y 3
5.23.	х2 + y2 – 12x + 16y		x2 + y2 25
5.24.	х2 – ху – у2		х + y 1
5.25.	x2 – 2xy –y2 + 4x + 1	y 0,	х –3,		х + y + 1 0
5.26.	2х3 – 6ху + 3у2		х2 / 2 y 2
5.27.	х2 + 2ху – 10		х2 – 4 y 0
5.28.	2х2 + 2ху – у2 / 2 – 4х	х 0, y 2, y 2x
5.29.	x + y			х2 + y2 1
5.30.	x2 + ху – 2	y 0, y 4x2 – 4

16

Оглавление

З А Д А Н И Е № 6

( Г Р А Д И Е Н Т И П Р О И З В О Д Н А Я П О Н А П Р А В Л Е Н И Ю )

Рельеф местности в пределах некоторого географического района может быть описан приближенно функцией z = f (x, у). Направление grad z в точке A(x0, y0) определяет направление линии наиболее крутого ската в данной точке, а величина grad z – крутизну этого ската.

1.Найти grad z в точке А.

2.Оценить характер (возвышенность или низменность) и скорость изменения рельефа данной местности в точке А в направлении, определяемом вектором

a 4i 3 j .

3. Записать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности z = f (x, y) в данной точке А.

Функция z = f (x, у) и координаты точки А даны в таблице 2.

		Таблица 2
№ варианта	z		A
6.1.	5х2 – 8ху + 5у2 – 36х + 36у + 36		(1, 1)
6.2.	х2 + 4ху + у2 + 6х + 6у – 18		(1, 2)
6.3.	3х2 + 10ху + 3у2 – 12x – 12y + 7		(1, 3)
6.4.	7x2 – 2xy + 7у2 – 48x – 48y + 144		(1, 3)
6.5.	11x2 – 20xy – 4y2 – 20x – 8y – 148		(–2, 3)
6.6.	4x2 + 24xy + 11у2 + 64x +42y + 156		(–1, 0)
6.7.	3x2 + 2xy + 3у2 + 14x – 6y + 15		(0, 2)
6.8.	5x2 + 4xy + 2y2 + 20x + 20y +14		(–1, 1)
6.9.	8y2 + 6xy – 12x – 26y + 11		(1, –1)
6.10.	2xy + 4x + 2y + 3		(1, 1)
6.11.	4xy + 3у2 + 16x + 12y – 36		(1, 2)
6.12.	25x2 – 4xy + 25y2 + 54x – 54y – 567		(2, –3)
6.13.	5x2 + 12xy + 22x + 12y – 19		(0, 1)
6.14.	4x2 – 24xy + 11y2 + 20x + 10y – 124		(0, 3)
6.15.	7x2 + 24xy + 38x + 24y + 175		(0, –7)
6.16.	x2 + 6xy + y2 + 6x + 2y – 3		(0, 3)
6.17.	3x2 – 2xy + 3y2 + 4x + 4y – 4		(2, –2)
6.18.	5x2 + 4xy + 2y2 + 10x + 10y + 6,5		(1, –0,5)

17

Оглавление

№ варианта			z	A
6.19.	6x2 – 4xy + 3у2 +14x + 7y – 5,25			(1, –0,5)
6.20.	23x2		+ 72xy + 2y2 – 31,25	(1, 1)
6.21.	29x2		+ 144xy + 71y2 – 40x + 30y – 50	(0, 1)
6.22.	9x2 – 4xy + 6y2 + 6x – 8y + 2			(1, 1)
6.23.	3x2 – 4xy + 16x + 12y – 76			(4, 0)
6.24.	5x2	+ 4xy + 8y2 – 32x – 56y + 80		(1, 1)
6.25.	17x2		+ 12xy + 8y2 + 40x + 80y + 108	(–2, –1)
6.26.	2x2	+ 4xy + 5y2 – 6x – 8y – 7 / 6		(0, –1)
6.27.	2x2	+ 6xy – 6y2 + 3х + у – 121 / 6		(3, 0)
6.28.	x2 – 6xy + y2 – 4x – 4y + 12			(0, 1)
6.29.	3x2	+ 12xy + 3у2 + 6x – 6y + 3		(–1, 1)
6.30.	13x2		+ 5y2 + 6xy – x + 3y – 69	(2, 1)

М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я К В Ы П О Л Н Е Н И Ю Т И П О В О Г О Р А С Ч Е Т А

З а д а н и е № 1 . Найти пределы указанных функций с помощью правила Лопиталя:

	ln x ln(1 x)					sin x
a) lim				;	б)	lim
x 0 0		х				x 0	x

1/(1 cosx)	;	в) lim (tg x)	arcsin x	.
		x 0

Пояснения. При вычислении пределов допустимы использование уже известных пределов и элементарные преобразования. В некоторых случаях необходимо применять правило Лопиталя повторно. Иногда бывает целесообразно предварительно использовать асимптотические равенства вида

1)	sin x х,	6)	ln(1 x) х,
2)	tg x х,	7)	ex 1 х,
3)	arcsin x х,	8)	ax 1 х ln a,
4)	arctg x х,	9)	(1 x)a 1 aх,
5)	1 cos x x2 / 2 ,

18

Оглавление

где всюду х 0 .

ln x ln

(1

x)

Р е ш е н и е .

а)

lim

.

x 0 0

х

Заметим, что ln (1 + х) х при х 0 , поэтому

ln x ln

(1

x)

x ln

x

lim

lim

lim х ln x .

x 0 0

х

x 0 0

х

x 0 0

При x 0 + 0

имеем неопределенность вида

0 . Преобразуем ее к не-

0

определенности вида

(пока формально) и применим правило Лопиталя:

0

lim

f (x)

lim

f (x)

.

x x0

g(x)

x x0

g (x)

Тогда

ln x

lim

2 / x

lim

х ln x

lim

lim 2

х 0 .

1/ x 3/ 2

x 0 0

x 0 0 x 1/ 2

x 0 0

x 0 0

Так как предел отношения производных при х 0 + 0 существует, то применение правила Лопиталя является правомерным.

Отв. 0.

	sin x 1/(1 cos x)
б)	lim						.
	x 0 x
		sin x 1/(1 cosx)
Пусть у							. Требуется найти lim y [1 ] . Если считать х > 0
				x			x 0

(этим предположением, ввиду четности функции у, можно ограничиться), то

ln sin x ln y х x 0 1 cos x

		0		lnsin x ln x .
					1 cos x
		0

	Применяя		правило Лопиталя для вычисления limln y и учитывая, что
			x 0
	1 cos x	x2	, получим
		2
			19

Оглавление

lnsin x ln x

cos x

1

x cos x sin x

0

2 lim

sin x

x

limln y = 2 lim

lim

.

x

2

2x

x

2

sin x

0

x 0

x 0

x 0

x 0

Неопределенность		0		не устранена. Воспользуемся тем, что sin x х, и еще
		0

раз применим правило Лопиталя:

limln y = lim

x cos x sin x

x 0

x 0

x2 sin x

=

lim

cos x x sin x cos x

lim

sin x

1

.

x 0

3x2

x 0

3x

3

Отсюда limln y = e–1 / 3.

x 0

Отв. e–1 / 3.

lim (tg x)arcsin x .

в)

x 0

00

. Преобразуем выражение, ис-

При

x 0 имеем неопределенность

пользуя свойства логарифмов:

A lim (tg x)arcsin x 00 lim eln(tg x)arcsin x lim earcsin x ln(tg x)

x 0

x 0

x 0

lim

ln(tg x)

1

x 0

lim arcsin x ln(tg x)

ex 0

e

arcsin x .

,

1

,

Так как ln(tg x)

имеем неопределенность

,

x 0

arcsin x x 0

которую раскрываем по правилу Лопиталя:

1

1

lim

ln(tg x)

lim

tg x

cos2 x

1

1

arcsin2 x 1 x2

1

x 0

x 0

arcsin2 x

lim

A e

e

1 x

2

sin x cos x

arcsin x

ex 0

20

Оглавление