Лекция 3

Характеристики периодических сигналов

1. Регулярные сигналы (детерминированные).

Цель теории сигналов – ввести математические модели для описания сигналов, что позволит в дальнейшем проводить анализ систем связи и находить оптимальные решения. Классификацию сигналов можно осуществить по тому математическому аппарату, который применяется и представить следующей схемой (рис.1)

Сигналы

Регулярные случайные

периодические тестовые одиночные

Рис.1 Классификация сигналов

Регулярные сигналы представляются жёсткими определёнными м функциями времени. Тестовые сигналы – наиболее популярные их разновидности. На рис. 2, 3, 4 показаны часто встречающиеся их формы.

U(t)

t

Рис.2 Ступенчатая функция

U(t)  = 2**f₀

U(t) = A sin(₀t)

t

Рис.3 Гармонический сигнал

U(t) U(t) = (t) – бесконечно узкий по длительности

Импульс.

t

Рис. 4 Дельта функция Дирака

1.1 Периодические сигналы.

Характерная особенность этих сигналов – повторение через определённое время, которое называется периодом Т; пример показан на рис. 5.

U(t)

0 t₁ t₂ T t

Рис.5 Периодический сигнал

Для его записи существует математическая форма в виде разрывной функции:

(1)

Эта форма слишком громоздка и неудобна для вычислений и анализа, поэтому функцию U(t) ,было предложено выражают в форме ряда:

. (2)

Однако такая замена будет приводить к упрощению, если ряд отвечает определенным требованиям..

1. Ряд должен быть быстро сходящимся.

2. Функции времени _i(t) – должны быть простыми выражениями; будем называть их базисными функциями.

3. Коэффициенты a_i должны определяться простыми линейными операциями над исходной временной функцией U(t).

Этим требованиям отвечают ортогональные ряды. Рассмотрим такие ряды подробнее. Это определение накладывает свой отпечаток прежде всего на свойство базисных функций. Ряд ортогонален, если

. (3)

Введем новые базисные функции нормированные следующим образом:

Свойство нормированных ортогональных базисных функций следующее:

(4)

Заданный сигнал теперь запишется так:

, (5)

а сам ряд получил название ортонормированного ряда.

Далее разберем как находить коэффициенты b_k. Для этого в (5) умножим левую и правую часть на _k b проинтегрируем произведения за период:

. (6)

Воспользовавшись свойством ортогональности в правой части, получим

. (7)

Интеграл в (7) легко может быть вычислен любым способом.

Представление сигнала в виде ортогонального ряда позволяет получить полные сведения о сигнале в более сжатой форме, т.е. ту же информацию, но при меньшем количестве параметров. В теории сигналов в основном применяются ортогональные ряды Фурье, Уолша и Котельникова. Рассмотрим их подробнее.