Ответы к теории по матану / 1. Первообразная функция. Теорема о первообразной

Функция F (х) называется первообразной функцией для  данной функции f (х) (или, короче, первообразной данной функции f (х)) на данном промежутке, если на этом промежутке    . Пример. Функция   является  первообразной функции  на всей числовой оси, так как  при любом х.  Отметим, что вместе с  функцией  первообразной для  является любая функция вида , где С —  произвольное постоянное число (это следует из того, что производная постоянной равна нулю). Это свойство имеет место и в общем случае.  

Теорема 1. Если  и  — две  первообразные для функции f (х) в некотором промежутке, то разность между ними в этом промежутке равна постоянному числу.  Из этой теоремы следует, что если известна какая-нибудь первообразная F (х) данной  функции f (х), то все множество первообразных для f (х) исчерпывается функциями F (х) + С.  Выражение F (х) + С, где F (х) —  первообразная функции f (х) и С — произвольная  постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f (х) и обозначается символом ,  причем f (х) называется подынтегральной функцией ;   — подынтегральным выражением,  х — переменной  интегрирования;  ∫ — знак неопределенного интеграла.  Таким образом, по определению   если .  Возникает вопрос: для всякой ли функции f (х) существует первообразная, а значит, и  неопределенный интеграл?  Теорема 2. Если функция f (х) непрерывна на [a ; b], то на этом отрезке для функции f (х) существует первообразная.  Ниже мы будем говорить о первообразных лишь для непрерывных функций. Поэтому  рассматриваемые нами далее в этом параграфе  интегралы существуют.