2.4 Построение аддитивной модели временного ряда уровня рентабельности собственного капитала

Известны изменения уровня выручки (тыс. руб.) на предприятии СПК «Слава» по кварталам:

Таблица 9 – Изменение выручки на предприятии по кварталам за 2007-2012гг.

№ квартала	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Выручка, тыс.руб.	3266	3028	3542	6451	3726	4200	5021	2334	1329	3189	3539	2906
№ квартала	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
Выручка, тыс.руб.	1958	3209	3354	6488	2780	3226	3727	3301	2478	2336	4225	4323

График данного временного ряда (рис. 2) свидетельствует о наличии сезонных колебаний и общей возрастающей тенденции уровней ряда. Выручка за рассматриваемый период имеет высокие и достаточно низкие значения.

Рис. 2. Уровень выручки предприятия СПК «Слава»

Рассчитаем компоненты мультипликативной модели, проведя вначале выравнивание исходного ряда методом скользящей средней. Интервал сглаживания в связи с квартальными колебаниями возьмем равным 4.

Таблица – 10 Данные для расчета сезонных компонент

№ квартала	yt	yt^c	yt^cc	S*	S**
1	3266				0,694
2	3028				0,949
		4071,8
3	3542		4129,3	0,86	1,113
		4186,8
4	6451		4333,3	1,49	1,192
		4479,8
5	3726		4664,6	0,80
		4849,5
6	4200		4334,9	0,97
		3820,3
7	5021		3520,6	1,43
		3221,0
8	2334		3094,6	0,75
		2968,3
9	1329		2783,0	0,48
		2597,8
10	3189		2669,3	1,19
		2740,8
11	3539		2819,4	1,26
		2898,0
12	2906		2900,5	1,00
		2903,0
13	1958		2879,9	0,68
		2856,8
14	3209		3304,5	0,97
		3752,3
15	3354		3855	0,87
		3957,8
16	6488		3959,9	1,64
		3962,0
17	2780		4008,6	0,69
		4055,3
18	3226		3656,9	0,88
		3258,5
19	3727		3220,8	1,16
		3183,0
20	3301		3071,8	1,07
		2960,5
21	2478		3022,8	0,82
		3085,0
22	2336		3212,8	0,73
		3340,5
23	4225
24	4323

В результате получим:

y₁^c= (3266+3028+3542+6451)/4=4071,75;

y₂^c= (3028+3542+6451+3726)/4=4186,75 и т.д. (таблица 10).

Так как выравнивание проводится по четному числу периодов, то необходимо провести еще центрирование скользящей: у₁^сс=(у₁^с+у₂^с)/2=(4071,75+4186,75)/2=4129,25 и т.д. Оценка сезонной компоненты проводится путем деления фактических уровней ряда на центрированные значения скользящей средней: S^*=y_t / y_t^cс = 3266/4129,25=0,86 и т.д. (расчеты представлены в таблице 10). После этого находим средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты S^**:

S₁^**= (0,8+0,48+0,68+0,69+0,82)/5 = 0,694 – 1 квартал;

S₂^**= (0,97+1,19+0,97+0,88+0,73)/5 = 0,949 – 2 квартал;

S₃^**= (0,86+1,43+1,26+0,87+1,16)/5 = 1,113 – 3 квартал;

S₄^**= (1,49+0,75+1+1,64+1,07)/5 = 1,192 – 4 квартал.

Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликативной модели выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по кварталам должна быть равна числу периодов в цикле (в нашем случае год, значит должно быть равно 4). Проверим это условие: S₁^**+ S₂^**+ S₃^**+ S₄^**= 0,694+0,949+1,113+1,192= 3,948.

Так как условие не выполняется, введем поправочный коэффициент:

К = (4-3,948)/4 = 0,0131 и прибавим к каждому значению сезонной компоненты, чтобы получить в сумме 4. Тогда окончательные значения сезонной компоненты равны:

S₁^**= 0,707 – 1 квартал;

S₂^**= 0,962 – 2 квартал;

S₃^**= 1,126 – 3 квартал;

S₄^**= 1,205 – 4 квартал.

Теперь устраним сезонную компоненту из исходных уровней ряда, определив величину T*E=Y/S (таблица 11).

Таблица 11 – Расчетные данные

№ квартала	Y	Y/S	T	T*S	Ea	Ea^2	y-yср	Е^2	(Y/S)*t
1	3266	4619,45	3896,2	2754,62	511,38	261510,35	-231,33	53515,11	4619,45
2	3028	3147,91	3862,2	3715,03	-687,03	472009,40	-469,33	220273,8	6295,83
3	3542	3144,55	3828,2	4312,01	-770,01	592909,21	44,67	1995,111	9433,65
4	6451	5354,91	3794,2	4570,78	1880,22	3535244,20	2953,67	8724147	21419,63
5	3726	5270,08	3760,2	2658,47	1067,53	1139628,41	228,67	52288,44	26350,40
6	4200	4366,33	3726,2	3584,21	615,79	379196,48	702,67	493740,4	26197,97
7	5021	4457,59	3692,2	4158,82	862,18	743359,30	1523,67	2321560	31203,12
8	2334	1937,43	3658,2	4406,94	-2072,94	4297073,78	-1163,33	1353344	15499,43
9	1329	1879,75	3624,2	2562,31	-1233,31	1521061,54	-2168,33	4701669	16917,72
10	3189	3315,29	3590,2	3453,39	-264,39	69903,11	-308,33	95069,44	33152,91
11	3539	3141,89	3556,2	4005,63	-466,63	217741,95	41,67	1736,111	34560,74
12	2906	2412,24	3522,2	4243,10	-1337,10	1787840,12	-591,33	349675,1	28946,88
13	1958	2769,41	3488,2	2466,16	-508,16	258226,86	-1539,33	2369547	36002,31
14	3209	3336,08	3454,2	3322,57	-113,57	12898,88	-288,33	83136,11	46705,16
15	3354	2977,64	3420,2	3852,44	-498,44	248441,86	-143,33	20544,44	44664,67
16	6488	5385,62	3386,2	4079,26	2408,74	5802007,50	2990,67	8944087	86169,92
17	2780	3932,05	3352,2	2370,01	409,99	168094,01	-717,33	514567,1	66844,86
18	3226	3353,76	3318,2	3191,75	34,25	1172,75	-271,33	73621,78	60367,61
19	3727	3308,79	3284,2	3699,25	27,75	770,03	229,67	52746,78	62867,01
20	3301	2740,13	3250,2	3915,43	-614,43	377520,89	-196,33	38546,78	54802,50
21	2478	3504,90	3216,2	2273,85	204,15	41675,45	-1019,33	1039040	73602,89
22	2336	2428,51	3182,2	3060,94	-724,94	525531,93	-1161,33	1348695	53427,22
23	4225	3750,91	3148,2	3546,06	678,94	460957,18	727,67	529498,8	86270,91
24	4323	3588,48	3114,2	3751,59	571,41	326509,12	825,67	681725,4	86123,43
Итого	83936	84123,68	X	X	-18,62	23241284,33	X	34064771	1012446,21

На основе ряда Т*Е рассчитаем параметры линейного тренда:

T=а+bt (t=1,2…16)

Параметры уравнения найдем с помощью следующей системы:

С помощью матриц (решение показано в Приложении Б) получим уравнение следующего вида:

T=3930,2 – 34t

Подставляя в это уравнение регрессии значения t=1,2 и т.д., получим оценку трендовой компоненты временного ряда Т (таблица 11). График уравнения тренда представлен на рис.3.

Рис. 3. Уровни выручки на предприятии СПК «Слава» (фактические и выровненные по мультипликативной модели значения уровней ряда)

Найдем теоретические уровни ряда по мультипликативной модели, умножив Т на значение сезонной компоненты S для соответствующих кварталов (табл. 11).

Расчет ошибок в мультипликативной модели проводим в абсолютной форме (расчеты представлены в таблице 11):

Е_а= Y – (T*S).

По аналогии с корреляционно-регрессионным анализом абсолютные ошибки применяются для сравнения с другими моделями и определения качества построенной мультипликативной модели. Рассчитаем подобие коэффициента детерминации для данной модели (данные для формулы отражены в таблице 9):

Д=1 – Е_а²/Е²,

Д=1 – 23241284,33/34064771 = 0,318

Таким образом, доля объясненной дисперсии уровней ряда равна 31,8%, что говорит о неплохом качестве построенной мультипликативной модели исходного временного ряда. Остальные 68,2% объясняются другими компонентами, не включенными в данную мультипликативную модель.

Прогнозное значение P_t в мультипликативной модели есть произведение соответствующей трендовой Т и сезонной S компонент. Для первого и второго кварталов следующего года это будет:

P₂₅=T₂₅*S₂₅ , P₂₆=T₂₆*S_{26 ,}

S₂₅=S₁=0,707, S₂₆=S₂=0,962.

Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда T=3930,2 – 34t. Получим:

Т₂₅=3930,2 – 34*0,707 =3906,2, Т₂₆=3930,2 – 34*0,962 =3897,5.

Отсюда, Р₂₅=3906,2*0,707=2761,7, а Р₂₆=3897,5*0,962=3749,4 тыс. руб.

Таким образом, прогноз выручки на первый квартал следующего года составил 2761,7, а на второй квартал – 3749,4 тыс. руб.

При практическом изучении временных рядов на основании экономических данных СПК «Слава» за шесть лет было рассмотрены уровни выручки. Данный анализ временных рядов позволяет сделать обоснованный прогноз изменения исследуемых показателей при определенных условиях.