- •Е.И. Ермолаева, е.И. Куимова Основы эконометрики: практикум
- •Предисловие
- •Лабораторная работа №1 Парная линейная регрессия
- •Лабораторная работа №2 Нелинейные модели парной регрессии
- •Лабораторная работа №3 Множественная регрессия
- •Лабораторная работа №4 Проверка адекватности модели регрессии по особенностям остаточных величин
- •Лабораторная работа №5 Анализ построенной модели регрессии на гетерокедастичность остатков
- •Лабораторная работа №6 Анализ динамики временных рядов
- •Лабораторная работа №7 Моделирование временных рядов с сезонными колебаниями
- •Лабораторная работа №8 Анализ взаимосвязи двух временных рядов
- •Уравнение линейной регрессии по уровням временных рядов
- •Уравнение регрессии по уровням временных рядов с включенным фактором времени
- •Уравнение регрессии по первым разностям
- •Лабораторная работа №9 Моделирование временных рядов с распределенным лагом
- •Лабораторная работа №10 Авторегрессионные модели временных рядов
- •Лабораторная работа №11 Модели систем одновременных уравнений и их составляющие
- •Проблема идентификации
- •Значения статистики Дарбина-Уотсона на 5%-ном уровне значимости
- •Содержание
- •Библиографический список
Лабораторная работа №10 Авторегрессионные модели временных рядов
Модели, которые наряду с текущими или лаговыми значениями факторных переменных, содержат лаговые значения зависимой переменной называются моделями авторегрессии, например, модель вида
.
Применение обычного МНК для оценки параметров уравнения авторегрессии приводит во многих случаях к получению смещенной оценки коэффициента при переменной .
Одним из альтернативных методов расчета параметров уравнения авторегрессии является метод инструментальных переменных. Поскольку в модели переменнаязависит не только от, но и от, можно предположить, что имеет место линейная регрессияот, т. е.
.
Параметры этой регрессии допустимо найти МНК через Анализ данных/Регрессия. Рассчитанными по построенному уравнению значениями можно заменить исходные данные переменной. Затем проводят параметризацию уравнения
.
Отметим, что практическая реализация метода инструментальных переменных осложняется появлением проблемы мультиколлинеарности факторов в модели : функциональная связь между переменнымииприводит к появлению высокой корреляционной связи между переменнымии. В некоторых случаях эту проблему можно решить включением в модель фактора времени в качестве независимой переменной.
При оценке достоверности моделей авторегрессии необходимо учитывать специфику тестирования этих моделей на автокорреляцию остатков.
Для проверки гипотезы об автокорреляции остатков в моделях авторегрессии Дарбин предложил использовать другой критерий, который называется критерием –Дарбина. Его расчет производится по следующей формуле (расчет этого критерия возможен только в случаях, когда< 1):
,
где d – фактическое значение критерия Дарбина – Уотсона для модели авторегрессии;
n – число наблюдений модели;
V – квадрат стандартной ошибки при лаговой результативной переменной (расчет возможен только при условии, что ).
Распределение величины h приблизительно можно аппроксимировать стандартизированным нормальным распределением. Поэтому для проверки гипотезы о наличии автокорреляции остатков можно либо сравнивать полученное фактическое значение критерия с табличным, воспользовавшись таблицами стандартизованного нормального распределения, либо действовать в соответствии со следующим правилом принятия решения.
1. Если >1,96, нулевая гипотеза об отсутствии положительной автокорреляции остатков отклоняется.
2. Если <-1,96, нулевая гипотеза об отсутствии отрицательной автокорреляции остатков отклоняется.
3. Если -1,96<<1,96, нет оснований отклонять нулевую гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков.
Модель адаптивных ожиданий имеет вид
,
где – фактическое значение результативного признака;
–ожидаемое значение факторного признака.
Механизм формирования ожиданий в этой модели следующий:
, .
То есть, в каждый период времени ожидания корректируются на некоторую долюразности между фактическим значением факторного признака и его ожидаемым значением в предыдущий период. Параметрв этой модели называетсякоэффициентом ожиданий. Чем ближе коэффициент ожиданий к единице, тем в большей степени реализуются ожидания экономических агентов. И, наоборот, приближение величины к нулю свидетельствует об устойчивости существующих тенденций. При, получается, что, т.е. условия, доминирующие сегодня, сохранятся и на будущие периоды времени, то есть ожидаемые будущие значения показателей совпадут с их реальными значениями текущих периодов.
Модель адаптивных ожиданий может быть сведена к модели авторегрессии ,
которая называется краткосрочной функцией модели адаптивных ожиданий. Ее параметры можно найти методом инструментальной переменной. По коэффициенту при переменной определяют значение коэффициента ожидания, а затем параметрыa и b.
Пример.
Имеются следующие данные
Месяц |
Объем продаж y,у.е. |
Расходы на рекламу x,у.е |
январь |
19,3 |
296,4 |
февраль |
19,7 |
290,8 |
март |
20,25 |
289,4 |
апрель |
21,29 |
321,2 |
май |
22,18 |
343,3 |
июнь |
23,43 |
371,8 |
июль |
24,73 |
413,2 |
август |
26,22 |
438,1 |
сентябрь |
26,91 |
418,6 |
октябрь |
28,01 |
440,1 |
ноябрь |
28,77 |
461,3 |
декабрь |
28,75 |
429,7 |
Необходимо:
Построить уравнение авторегрессии методом наименьших квадратов. Оценить его статистическую надежность и автокорреляцию в остатках.
Применить метод инструментальной переменной для параметризации уравнения авторегрессии. Оценить статистическую надежность и автокорреляцию в остатках.
Построить модель адаптивных ожиданий . Выполнить прогнозный расчет для ожидаемого значения.
1. Для построения авторегрессии методом наименьших квадратов используем данные
-
19,3
296,4
19,7
290,8
19,3
20,25
289,4
19,7
21,29
321,2
20,25
22,18
343,3
21,29
23,43
371,8
22,18
24,73
413,2
23,43
26,22
438,1
24,73
26,91
418,6
26,22
28,01
440,1
26,91
28,77
461,3
28,01
28,75
429,7
28,77
Протокол расчета в Анализ данных/Регрессия
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Регрессионная статистика |
|
|
|
| |
Множественный R |
0,9990555 |
|
|
|
|
R-квадрат |
0,9981118 |
|
|
|
|
Нормированный R-квадрат |
0,9976398 |
|
|
|
|
Стандартная ошибка |
0,1649793 |
|
|
|
|
Наблюдения |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсионный анализ |
|
|
|
| |
|
df |
SS |
MS |
F |
Значи мость F |
Регрессия |
2 |
115,1012729 |
57,55064 |
2114,42 |
1,27E-11 |
Остаток |
8 |
0,217745288 |
0,027218 |
|
|
Итого |
10 |
115,3190182 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
|
a |
1,6366001 |
0,367241275 |
4,456471 |
0,002121 |
|
b0 |
0,017668 |
0,002234784 |
7,905903 |
4,75E-05 |
|
c1 |
0,6814781 |
0,041018 |
16,61377 |
1,74E-07 |
|
|
|
|
|
|
|
ВЫВОД ОСТАТКА |
|
|
|
|
|
Наблюдение |
Предсказанное Y |
Остатки |
|
|
|
1 |
19,926977 |
-0,226977303 |
|
0,051519 |
|
2 |
20,174833 |
0,075166653 |
0,091291 |
0,00565 |
|
3 |
21,111488 |
0,178511731 |
0,01068 |
0,031866 |
|
4 |
22,210688 |
-0,030687968 |
0,043765 |
0,000942 |
|
5 |
23,320741 |
0,109258926 |
0,019585 |
0,011938 |
|
6 |
24,904043 |
-0,174043315 |
0,08026 |
0,030291 |
|
7 |
26,229898 |
-0,009897674 |
0,026944 |
9,8E-05 |
|
8 |
26,900774 |
0,009225758 |
0,000366 |
8,51E-05 |
|
9 |
27,750856 |
0,259144173 |
0,062459 |
0,067156 |
|
10 |
28,875043 |
-0,105043021 |
0,132632 |
0,011034 |
|
11 |
28,834658 |
-0,08465796 |
0,000416 |
0,007167 |
|
Сумма |
|
|
0,468398 |
0,217745 |
|
d |
0,46/0,21=2,15 |
|
|
|
|
V |
(выделенная в протоколе стандартная ошибка) 0,04 |
|
|
|
|
h |
-0,25 |
|
|
|
|
Добавляем в протокол расчет для проверки на автокорреляцию в остатках по критерию Дарбина. Поскольку -1,96<<1,96, считаем, что автокорреляции в остатках отсутствует. Показатели детерминации, статистической значимости в целом и по параметрам весьма удовлетворительные.
Получаем уравнение вида: .
2. Строим инструментальную (вспомогательную) переменную как линейную регрессиюпо выделенным исходным данным.
y |
x |
19,3 |
296,4 |
19,7 |
290,8 |
20,25 |
289,4 |
21,29 |
321,2 |
22,18 |
343,3 |
23,43 |
371,8 |
24,73 |
413,2 |
26,22 |
438,1 |
26,91 |
418,6 |
28,01 |
440,1 |
28,77 |
461,3 |
28,75 |
429,7 |
Получим уравнение .
Строим таблицу данных для построения регрессии .
y |
x | |
19,3 |
296,4 |
|
19,7 |
290,8 |
19,86948801 |
20,25 |
289,4 |
19,57046554 |
21,29 |
321,2 |
19,49570993 |
22,18 |
343,3 |
21,19373038 |
23,43 |
371,8 |
22,37380119 |
24,73 |
413,2 |
23,89561198 |
26,22 |
438,1 |
26,10624238 |
26,91 |
418,6 |
27,43582443 |
28,01 |
440,1 |
26,39458547 |
28,77 |
461,3 |
27,54261817 |
28,75 |
429,7 |
28,6746318 |
Протокол расчета:
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Регрессионная статистика |
|
|
|
| |
Множественный R |
0,988023 |
|
|
|
|
R-квадрат |
0,97619 |
|
|
|
|
Нормированный R-квадрат |
0,970238 |
|
|
|
|
Стандартная ошибка |
0,585846 |
|
|
|
|
Наблюдения |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсионный анализ |
|
|
|
| |
|
df |
SS |
MS |
F |
Значи мость F |
Регрессия |
2 |
112,5732973 |
56,28665 |
163,9982 |
3,21E-07 |
Остаток |
8 |
2,745720919 |
0,343215 |
|
|
Итого |
10 |
115,3190182 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
a |
2,403288 |
1,277068931 |
1,881878 |
0,096626 |
-0,54164 |
b0 |
0,022185 |
0,008394889 |
2,642716 |
0,029588 |
0,002827 |
c1 |
0,572218 |
0,15014977 |
3,81098 |
0,005155 |
0,225972 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВЫВОД ОСТАТКА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наблюдение |
Предсказанное Y |
Остатки |
|
|
|
1 |
20,22445 |
-0,524447586 |
|
0,275045 |
|
2 |
20,02228 |
0,227717797 |
0,565753 |
0,051855 |
|
3 |
20,685 |
0,605001663 |
0,142343 |
0,366027 |
|
4 |
22,14693 |
0,033069064 |
0,327107 |
0,001094 |
|
5 |
23,45447 |
-0,024469506 |
0,003311 |
0,000599 |
|
6 |
25,24375 |
-0,513748148 |
0,239394 |
0,263937 |
|
7 |
27,06112 |
-0,841124095 |
0,107175 |
0,70749 |
|
8 |
27,38932 |
-0,479321119 |
0,130901 |
0,229749 |
|
9 |
27,27049 |
0,739510267 |
1,48555 |
0,546875 |
|
10 |
28,39774 |
0,372257187 |
0,134875 |
0,138575 |
|
11 |
28,34445 |
0,405554477 |
0,001109 |
0,164474 |
|
|
|
|
3,137517 |
2,745721 |
|
|
|
|
|
|
|
d |
1,142693 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
0,022545 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
1,639427 |
|
|
|
|
Поскольку -1,96<<1,96, считаем, что автокорреляция в остатках отсутствует. Показатели детерминации, статистической значимости в целом и по параметрам весьма удовлетворительные.
Получаем уравнение вида: .
3. Построим модель адаптивных ожиданий, то есть зависимость фактическим значение результативного признака и ожидаемым значением факторного признака: .
Вспомогательная краткосрочная функция модели адаптивных ожиданий имеет вид . Это уравнение авторегрессии, которое построено в пунктах 1 или 2. Воспользуемся результатом. Тогда
-
2,403288
0,022185
0,572218
0,427782
b
0,051861
a
5,618017
Получаем модель адаптивных ожиданий: .
Выполним прогнозный расчет для ожидаемого значения . Тогда. Вывод: если на будущий месяц планировать расходы на рекламу в размере 460,1 у.е., объем продаж текущего месяца должен составить приблизительно 31,93 у.е.
Задания для самостоятельной работы.
Вариант 1 |
Вариант 2 |
Вариант 3 |
Вариант 4 |
Вариант 5 | ||||||||
x |
y |
x |
y |
x |
y |
x |
y |
x |
y | |||
9,10 |
5,49 |
10,20 |
6,51 |
11,34 |
7,53 |
12,39 |
8,57 |
13,46 |
9,60 | |||
9,14 |
5,54 |
10,24 |
6,56 |
11,38 |
7,58 |
12,43 |
8,62 |
13,50 |
9,65 | |||
9,10 |
5,31 |
10,20 |
6,33 |
11,34 |
7,35 |
12,39 |
8,39 |
13,46 |
9,42 | |||
9,28 |
5,51 |
10,38 |
6,53 |
11,52 |
7,55 |
12,57 |
8,59 |
13,64 |
9,62 | |||
9,23 |
5,42 |
10,33 |
6,44 |
11,47 |
7,46 |
12,52 |
8,50 |
13,59 |
9,53 | |||
9,35 |
5,32 |
10,45 |
6,34 |
11,59 |
7,36 |
12,64 |
8,40 |
13,71 |
9,43 | |||
9,53 |
5,54 |
10,63 |
6,56 |
11,77 |
7,58 |
12,82 |
8,62 |
13,89 |
9,65 | |||
9,76 |
5,69 |
10,86 |
6,71 |
12,00 |
7,73 |
13,05 |
8,77 |
14,12 |
9,80 | |||
10,28 |
5,87 |
11,38 |
6,89 |
12,52 |
7,91 |
13,57 |
8,95 |
14,64 |
9,98 | |||
10,67 |
6,16 |
11,77 |
7,18 |
12,91 |
8,20 |
13,96 |
9,24 |
15,03 |
10,27 | |||
11,02 |
6,34 |
12,12 |
7,36 |
13,26 |
8,38 |
14,31 |
9,42 |
15,38 |
10,45 | |||
11,31 |
5,91 |
12,41 |
6,93 |
13,55 |
7,95 |
14,60 |
8,99 |
15,67 |
10,02 | |||
11,43 |
6,13 |
12,53 |
7,15 |
13,67 |
8,17 |
14,72 |
9,21 |
15,79 |
10,24 | |||
11,45 |
6,19 |
12,55 |
7,21 |
13,69 |
8,23 |
14,74 |
9,27 |
15,81 |
10,30 | |||
11,70 |
6,23 |
12,80 |
7,25 |
13,94 |
8,27 |
14,99 |
9,31 |
16,06 |
10,34 | |||
11,87 |
6,50 |
12,97 |
7,52 |
14,11 |
8,54 |
15,16 |
9,58 |
16,23 |
10,61 | |||
12,02 |
6,72 |
13,12 |
7,74 |
14,26 |
8,76 |
15,31 |
9,80 |
16,38 |
10,83 | |||
12,53 |
6,92 |
13,63 |
7,94 |
14,77 |
8,96 |
15,82 |
10,00 |
16,89 |
11,03 | |||
12,06 |
6,47 |
13,16 |
7,49 |
14,30 |
8,51 |
15,35 |
9,55 |
16,42 |
10,58 | |||
12,09 |
6,40 |
13,19 |
7,42 |
14,33 |
8,44 |
15,38 |
9,48 |
16,45 |
10,51 | |||
12,22 |
6,56 |
13,32 |
7,58 |
14,46 |
8,60 |
15,51 |
9,64 |
16,58 |
10,67 | |||
12,50 |
6,76 |
13,60 |
7,78 |
14,74 |
8,80 |
15,79 |
9,84 |
16,86 |
10,87 | |||
Вариант 6 |
Вариант 7 |
Вариант 8 |
Вариант 9 |
Вариант 10 | ||||||||
x |
y |
x |
y |
x |
y |
x |
y |
x |
y | |||
14,50 |
10,69 |
15,52 |
11,76 |
16,56 |
12,81 |
17,61 |
13,82 |
18,67 |
14,87 | |||
14,54 |
10,74 |
15,56 |
11,81 |
16,60 |
12,86 |
17,65 |
13,87 |
18,71 |
14,92 | |||
14,50 |
10,51 |
15,52 |
11,58 |
16,56 |
12,63 |
17,61 |
13,64 |
18,67 |
14,69 | |||
14,68 |
10,71 |
15,70 |
11,78 |
16,74 |
12,83 |
17,79 |
13,84 |
18,85 |
14,89 | |||
14,63 |
10,62 |
15,65 |
11,69 |
16,69 |
12,74 |
17,74 |
13,75 |
18,80 |
14,80 | |||
14,75 |
10,52 |
15,77 |
11,59 |
16,81 |
12,64 |
17,86 |
13,65 |
18,92 |
14,70 | |||
14,93 |
10,74 |
15,95 |
11,81 |
16,99 |
12,86 |
18,04 |
13,87 |
19,10 |
14,92 | |||
15,16 |
10,89 |
16,18 |
11,96 |
17,22 |
13,01 |
18,27 |
14,02 |
19,33 |
15,07 | |||
15,68 |
11,07 |
16,70 |
12,14 |
17,74 |
13,19 |
18,79 |
14,20 |
19,85 |
15,25 | |||
16,07 |
11,36 |
17,09 |
12,43 |
18,13 |
13,48 |
19,18 |
14,49 |
20,24 |
15,54 | |||
16,42 |
11,54 |
17,44 |
12,61 |
18,48 |
13,66 |
19,53 |
14,67 |
20,59 |
15,72 | |||
16,71 |
11,11 |
17,73 |
12,18 |
18,77 |
13,23 |
19,82 |
14,24 |
20,88 |
15,29 | |||
16,83 |
11,33 |
17,85 |
12,40 |
18,89 |
13,45 |
19,94 |
14,46 |
21,00 |
15,51 | |||
16,85 |
11,39 |
17,87 |
12,46 |
18,91 |
13,51 |
19,96 |
14,52 |
21,02 |
15,57 | |||
17,10 |
11,43 |
18,12 |
12,50 |
19,16 |
13,55 |
20,21 |
14,56 |
21,27 |
15,61 | |||
17,27 |
11,70 |
18,29 |
12,77 |
19,33 |
13,82 |
20,38 |
14,83 |
21,44 |
15,88 | |||
17,42 |
11,92 |
18,44 |
12,99 |
19,48 |
14,04 |
20,53 |
15,05 |
21,59 |
16,10 | |||
17,93 |
12,12 |
18,95 |
13,19 |
19,99 |
14,24 |
21,04 |
15,25 |
22,10 |
16,30 | |||
17,46 |
11,67 |
18,48 |
12,74 |
19,52 |
13,79 |
20,57 |
14,80 |
21,63 |
15,85 | |||
17,49 |
11,60 |
18,51 |
12,67 |
19,55 |
13,72 |
20,60 |
14,73 |
21,66 |
15,78 | |||
17,62 |
11,76 |
18,64 |
12,83 |
19,68 |
13,88 |
20,73 |
14,89 |
21,79 |
15,94 | |||
17,90 |
11,96 |
18,92 |
13,03 |
19,96 |
14,08 |
21,01 |
15,09 |
22,07 |
16,14 |