Построение фазового портрета в Matlab Simulink

1. Построение фазового портрета в Matlab Simulink

Фазовый портрет представляет собой совокупность фазовых траекторий. Для системы второго порядка фазовая траектория представляет собой совокупность точек, горизонтальная координата которых соответствует выходной функции, а вертикальная – производной от этой функции в каждый момент времени t. Пример:

Рис.1.1. Фазовый портрет.

Каждой фазовой траектории соответствуют свои начальные условия (значения y и y' в момент времени t=0). В приведённом выше примере это точка (1,1). В принципе, по одной фазовой траектории можно получить представление о поведении системы.

Предположим, наша система описывается уравнением

T 2 d 2 y(t)	2 T	dy(t)	y(t) 0
dt2		dt

Это уравнение можно представить в виде

	d 2 y(t)	0		2 dy(t)		y(t)
	dt2			T dt		T 2

Согласно уравнению составляется схема:

Рис.1.2. Вид схемы моделирования для получения фазовой траектории

Для построения траектории используется блок XY Graph из раздела Sinks. На вход системы подаётся 0 с помощью блока Constant из раздела Sources. В его настройках указывается Constant Value “0”.

Начальные условия задаются в настройках интеграторов. Необходимое значение устанавливается в поле Initial condition. Начальное значение функции устанавливается для интегратора, на выходе которого функция y. Начальное значение производной – для того, у которого на выходе производная. Начальные условия (0,0) не годятся. В этом случае

1

решением уравнения будет функция y=0, y' тоже равно нулю. Вся фазовая траектория будет представлять собой точку (0,0), и по ней ни о чём нельзя будет судить. Обычно берутся начальные условия (1,1).

Пример:

	T 2	d 2 y(t)	2 T	dy(t)	y(t) 0
		dt2		dt

T=0,4; ξ=0,4

Подставляем эти значения в уравнение:

0,16		d 2 y(t)			0,32		dy(t)		y(t)	0
			dt2					dt
Преобразуем уравнение:
	d 2 y(t)			0	2	dy(t)		6,25y(t)
	dt2					dt

Составляем по нему схему:

Рис.1.3. Пример моделирования для получения фазовой траектории

Начальные условия задаём для каждого интегратора 1:

Рис.1.4. Окно настроек интегратора

В настройках XY Graph указываем максимальные и минимальные значения осей так, чтобы на поле влезала вся траектория:

2

Рис.1.5. Окно настроек блока XY Graph

Для получения фазовой траектории достаточной длины необходимо выставить время симуляции, большее, чем стандартное. В данном примере 200. Выставить это можно в меню Simulation –> Simulation parameters…. В открывшемся окне указывается нужное время в поле «Stop time».

Запускаем симуляцию, получаем траекторию:

Рис.1.6. Полученная фазовая траектория

3

Аналогично можно получать фазовые траектории для систем третьего порядка

a

d 3 y(t)

a

d 2 y(t)

a

dy(t)

a

y(t) 0

0 dt

dt

dt

.

2

1

2

3

Преобразуем уравнение:

d 3 y(t)

0

a d 2 y(t)

a

dy(t)

a

3

y(t)

dt2

1

2

a0

dt

dt

a0

a0

По нему составляется схема:

Рис.1.7. Вид схемы моделирования системы третьего порядка для получения фазовой траектории

Начальные условия задаются уже для всех трёх интеграторов.

2. Моделирование нелинейных систем

Также можно построить фазовые траектории и для систем с нелинейными элементами. Линейная часть такой системы представляется в также, как и описано выше, а перед ней включается нелинейный элемент.В Simulink большая часть нелинейных элементов располагается в разделе Discontinuities.

Там представлены такие нелинейные элементы как:

-Relay - реле с гистерезисом. В настройках указываются «Switch on point», «Switch off point» - входные значения при котором реле переходит с низкого уровня на высокий, и с высокого на низкий. Если значения одинаковые – гистерезиса не будет. «Output when on» и «Output when off» - выходные значения высокого и

низкого уровней.

-

Dead Zone – элемент с линейной характеристикой и с зоной нечувствительности. В настройках указываются границы зоны нечувствительности.

-Saturation – элемент с линейной характеристикой и насыщением. В настройках указвывются значения, при которых наступает насыщение.

4

Кроме того, при создании моделей нелинейных систем может понадобиться блок Sign из раздела Math Operations. При подаче на вход отрицательного значения на выходе блока будет -1, при подаче 0 – будет 0, а при подаче положительного – на выходе установится единица.

Чтобы получить реле с зоной нечувствительности, необходимо последовательно соединить блоки Dead Zone и Sign. Границы зоны нечувствительности указываются в настройках блока Dead Zone. Если выходной уровень должен быть отличен от единицы, на выход ставится усилитель.

Рис.2.1. Модель реле с зоной нечувствительности

Реле с зоной нечувствительности и гистерезиса можно получить с помощью суммы сигналов с двух реле.

Рис.2.2. Модель реле с зоной нечувствительности и гистерезисом.

Рис.2.3. Релейная характеристика с зоной нечувствительности и гистерезисом.

Для первого реле указывается момент включения («Switch on point») равный значению b2, а выключения («Switch off point») - равный значению b1 Значение высокого уровня «Output when on» - равно c, а низкого равно 0.

Для второго реле «Switch on point» устанавливается значение –b1, а «Switch off point» - значение –b2 Значение высокого уровня «Output when on» - равно 0, а низкого равно -с.

Например, b1=1, b2=2, с=0,5.

5

Рис.2.4. Настройка первого реле.

Рис.2.5. Настройка второго реле.

Умея строить фазовые траектории для линейных систем и моделировать нелинейные элементы, можно получить фазовый портрет для нелинейной системы.

6

Дана система.

Рис.2.6. Функциональная схема нелинейной системы.

Линейная часть системы описывается уравнением:

3 d 2 y2(t) dy(t) 4F( y(t)) , dt dt

Нелинейный элемент F(y(t)) – реле с гистерезисом и зоной нечувствительности.

В соответствии с указаниями, приведёнными в первом разделе, построим схему линейной части, зададим начальные условия для интеграторов.

Рис.2.7. Схема линейной части системы.

На вход системы установим нелинейный элемент и произведём его настройку:

Рис.2.8. Схема системы с нелинейным элементом.

Охватим систему обратной связью и установим в качестве источника константу «0»:

Рис.2.9. Схема модели нелинейной системы.

Указываем в настройках нужное время симуляции (меню Simulation –> Simulation parameters…–>Stop time)(примерно 200).

Запустив симуляцию, получаем фазовую траекторию.

7

Рис.2.10. Фазовая траектория нелинейной системы.

Также по этой схеме можно получить переходной процесс. Для этого блок XY Graph заменяется на Scope, а константа 0 на блок Step. Для интеграторов устанавливаются нулевые начальные значения. Или же можно представить линейную часть в виде передаточной функции.

Рис.2.11. Схема для получения переходного процесса. Линейная часть – в виде передаточной функции.

Важно иметь в виду следующее – при наличии элементов с зоной нечувствительности или гистерезисом система может никак не отреагировать на единичное ступенчатое воздействие. Это произойдёт, если входное значение для первого переключения (величина b2 в данном примере) больше единицы. Тогда для получения переходного процесса необходимо либо уменьшить это значение, либо установить большую величину для ступенчатого воздействия (изменить «Final value» в настройках элемента Step). В нашем примере необходимо задать значение, большее b2.

8

Рис.2.12. Переходной процесс нелинейной системы. «Final value» для Step равно трём.

А.А. Барашков

9