Задача 7.28

Cлучайная величина Х распределена равномерно на интервале [a,b]. Построить график случайной величины Y=(X) и определить плотность вероятности g(y).

Таблица 7.1

Вариант		a	b
7.35		-1	4

Решение:

1. Построим график случайной величины для в интервале значений [-1;4] и определим диапазон значений : [0; 2]

2. В зависимости от числа обратных функций выделим следующие интервалы для :

обратных функций не существует

[0;1] k₂=2

(1;2] k₃=1

k₄=0 обратных функций не существует

3. Вычислим модули производных обратных функций:

Так как случайная величина Х распределена равномерно на интервале [-1;4] , то её плотность вероятности равна:

Определим плотность вероятности величины :

Рисунок – график функции

Задача 8.38

Двухмерный случайный вектор (Х, У) равномерно распределен внутри выделенной жирными прямыми линиями на рис. 8.1 области B. Двухмерная плотность вероятности f(x,y) одинакова для любой точки этой области B:

Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y.

Рис. 8.1

Таблица 8.1

Вариант	x1	x2	x3	x4	x5	x6	y1	y2
8.38	0	0	6	6	4	4	1	2

Решение:

Построим область B. Соединим последовательно точки с координатами из таб. 8.1 согласно рис. 8.1:

– точку (x1;0) = (0;0) c точкой (x2; y2) = (0; 2),

– точку (x2; y2) = (0; 2) c точкой (x3; y2) = (6; 2),

– точку (x3; y2) = (6; 2) c точкой (x4; y1) = (6; 1),

– точку (x4; y1) = (6; 1) c точкой (x5; y1) = (4; 1),

– точку (x5; y1) = (4; 1) c точкой (x6; 0) = (4; 0) .

В результате получим следующую фигуру:

Рисунок 8.2

Совместная плотность вероятности примет вид

Неизвестную константу c определим, используя условие нормировки плотности вероятности:

Таким образом

Проверим геометрически полученный результат. Объем тела, ограниченный поверхностью распределения и плоскостью xOy должен быть равен единице, т.е. объем прямой треугольной призмы равен.

Вычислим математические ожидания:

Вычислим дисперсии:

Вычислим корреляционный момент:

После нормировки получаем коэффициент корреляции

Задача 9.9

Вычислить математическое ожидание и дисперсию величин U и V, а так же определить их коэффициент корреляции :

.

Конкретные значения коэффициентов и числовые характеристики случайных величин приведены в табл. 9.1.

Таблица 9.1

Вариант	a0	a1	a2	b0	b1	b2	m1	m2	m3	D1	D2	D3	K12	K23	K13
9.4	-1	7	1	-9	-7	-3	0	5	1	4	16	4	4	4	0

Решение:

Вычислим математические ожидания U и V:

Вычислим дисперсии и :

Рассчитаем корреляционный момент:

Для этого определим математическое ожидание произведения величин U и V:

Таким образом:

=-508-4*(-47)=-508+188=-320

Вычислим величину :