Задача 10

По выборке одномерной случайной величины:

- получить вариационный ряд;

- построить на масштабно-координатной бумаге формата А4 график эмпирической функции распределения F^*(x);

- построить гистограмму равноинтервальным способом;

- построить гистограмму равновероятностным способом;

- вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии;

- вычислить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии (γ = 0,95);

- выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия ² и критерия Колмогорова ( = 0,05). График гипотетической функции распределения F₀(x) построить совместно с графиком F^*(x) в той же системе координат и на том же листе.

Решение:

Построим график эмпирической функции распределения (рис. 10.1).

Рис. 10.1 Графики эмпирической и гипотетической функций распределения F₀(x).

Количество интервалов M, необходимое для построения гистограмм, определим по объему выборки:

Для равноинтервальной гистограммы величины h_j, A_j, B_j, рассчитаем и заполним все колонки интервального статистического ряда (таб. 10.1):

Таблица 10.1

j	Aj	Bj	hj	j
1	0,03	0,924	0,894	26	0,5306	0,5933
2	0,924	1,819	0,894	14	0,2857	0,3195
3	1,819	2,713	0,894	4	0,0816	0,0913
4	2,713	3,607	0,894	2	0,0408	0,0456
5	3,607	4,501	0,894	1	0,0204	0,0228
6	4,501	5,396	0,894	1	0,0204	0,0228
7	5,396	6,290	0,894	1	0,0204	0,0228

Равноинтервальная гистограмма имеет вид, согласно рис. 10.2:

Рис. 10.2 Равноинтервальная гистограмма

Для равновероятностной гистограммы величины _j ,, A_j, B_j, рассчитаем и заполним все колонки интервального статистического ряда (таб. 10.2):

Таблица 10.2

j	Aj	Bj	hi	j
1	0,03	0,245	0,215	7	0,143	0,6645
2	0,245	0,535	0,29	7	0,143	0,4926
3	0,535	0,79	0,255	7	0,143	0,5602
4	0,79	1,21	0,42	7	0,143	0,3401
5	1,21	1,61	0,4	7	0,143	0,3571
6	1,61	3,06	1,45	7	0,143	0,0985
7	3,06	6,29	3,23	7	0,143	0,0442

Равновероятностная гистограмма имеет вид, согласно рис. 10.3:

Рис. 10.3 Равновероятностная гистограмма

Вычислим точечную оценку математического ожидания:

Вычислим точечную оценку дисперсии:

Построим доверительный интервал для математического ожидания с надежностью γ = 0,95. Для этого в таблице функции Лапласа найдем значение, равное = 0,475, и определим значение аргумента, ему соответствующее: . Затем вычислим и получим доверительный интервал для математического ожидания:

Построим доверительный интервал для дисперсии с надежностью γ = 0,95. Вычислим

и получим доверительный интервал для дисперсии:

По виду графика эмпирической функции распределения и гистограмм выдвигаем двухальтернативную гипотезу о законе распределения случайной величины

– величина X распределена по экспоненциальному закону:

– величина X не распределена по нормальному закону:

Оценку неизвестного параметра  экспоненциального распределения можно определить по формуле

Проверим гипотезу об экспоненциальном законе с помощью критерия .

Вычислим значение критерия на основе равноинтервального статистического ряда:

Теоретические вероятности p_j попадания в интервалы равноинтервального статистического ряда нормальной случайной величины вычислим по формуле:

Результаты расчета можно свести в таблицу:

Таблица 10.3

j	Aj	Bj
1	0,000	0,894	0	0,455618	0,4567	0,5306	0,012344
2	0,924	1,819	0,466611	0,709633	0,2531	0,2857	0,0075
3	1,819	2,713	0,709633	0,841929	0,1323	0,0816	0,019402
4	2,713	3,607	0,841929	0,913949	0,0721	0,0408	0,013519
5	3,607	4,501	0,913949	0,953155	0,0393	0,0204	0,009013
6	4,501	5,396	0,953155	0,974499	0,0274	0,0204	4,1E-05
7	5,396	6,290	0,974499	0,986118	0,0117	0,0204	0,006649
				Сумма:	0,9926	1	0,068468

Проверяем выполнение контрольного соотношения для :

В результате получаем

Вычислим число степеней свободы k=M-1-s=7-1-1=5 и по заданному уровню значимости  =0,05 из таблицы распределения выбираем критическое значение

Так как то гипотеза об экспоненциальном законе распределения принимается (нет основания ее отклонить).

Проверим гипотезу об экспоненциальном законе распределения с помощью критерия Колмогорова. Построим график в одной системе координат с графиком эмпирической функции распределения (см. рис 10.1). В качестве опорных точек для графика используем 10 значений из таб. 10.3.

По графику определим максимальное по модулю отклонение между функциями и :

Z=0,05

Вычислим значение критерия Колмогорова:

Из таблицы Колмогорова по заданному уровню значимости  =0,05 выбираем критическое значение

Так как , то гипотезу об экспоненциальном законе распределения отвергать нет основания.