В. Д. Бертяев, Л. А. Булатов, В. В. Глаголев, В. И. Латышев, А. Г. Митяев. ЭВМ в курсе теоретической

Определение закона движения механической системы.

Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы. Будем определять положение системы с помощью координаты S — перемещение тела 1. Начало отсчета координат совместим с положением статического равновесия груза.

Введем следующие обозначения:

P1, P2 , P3 — силы тяжести, N1, N2 — нормальные реакции опорных плоскостей,

FСЦ — сила сцепления, FУП — упругая реакция пружины, X2 , Y2 — реакции подшипника блока 2, MC = −μω— момент сопротивления, F (t ) — возму-

щающая сила.

Для построения дифференциального уравнения движения системы составим уравнение Лагранжа 2-го рода. Для механической системы с одной степенью свободы дифференциальное уравнение движения в обобщенных координатах имеет вид:

	d ∂ T		−	∂ T	= Q	(1)
	d t ∂ S			∂ S

где T — кинетическая энергия системы; Q — обобщенная сила; S — обоб-

щенная координата.

Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий тел, образующих механическую систему.

Так как система имеет одну степень свободы и в качестве координаты, определяющей ее положение, ранее принято перемещение груза 1, то кинематические характеристики всех тел механизма легко выражаются через кинема-

тические параметры груза 1 соотношениями:

V =V ,

ω

2

=

V

, ω

=

r2

V ,

V

=

r2

V.

1

R2

3

2R2r3

c3

2R2

Окончательно получаем:

111

				T =		1 m		V 2 ,			(2)
						2	np
где	m	= m	+ m	i2	+	3	m	r 2	= m	+ m	+ m
				2				2
						8		R2
	np	1	2 R2				3		1	2ПР	3ПР
				2				2

называется приведенной массой.

Для определения обобщенной силы Q вычислим сумму элементарных работ всех активных сил на возможном перемещении δ S .

n

n

∑δ Aka = ∑Fk δrk = Q δS

k =1

k =1

или

n

∑δ Aka = −Fynp δSc3 − M δϕ2 + P1 δS1 sin(α) + F δS1 − P3 δSC3 sin(β)

k =1

Используя кинематические соотношения, окончательно можно записать

n

∑δ Aka

= Q δS

k =1

где

Q = −(Fynp + P3 sin(β))

r2

−

Mc

+ P1 sin(α) + F

2R

R

2

2

обобщенная сила.

Упругую силу считаем пропорциональной удлинению пружины. Полное

удлинение пружины f равно сумме статического

fСT

и динамического SС

уд-

3

линений f

= fСT + SС .

3

Величина упругой силы в этом случае равна

Fynp = c (fCT

+ SC3 )= c

r

fCT

+

2

S

2R

2

Момент вязкого сопротивленияMс = μ

ω2 = μ ϕ2 . Тогда обобщенная си-

ла в развернутой форме будет определяться выражением:

Q = −[c fCT + P3 sin(β)]

r2

r2

2

μ

+ P1 sin(α) + F (t )

−c

S −

S

2R

2R

2

R

2

2

2

112

В состоянии покоя S = S = 0 и отсутствии возмущающей силы условием

равновесия системы будет служить уравнение

QCT

= −[c fcT

+ P3 sin(β)]

r2

+ P1 sin(α) = 0 .

2R

2

Выбирая начало отсчета в положении статического равновесия, получаем

выражение для обобщенной силы.

r2

2

μ

S + F (t )= −cпр S − μпрS + F (t )

Q = −c

S

−

(3)

2

R

2

R

2

2

где

r2

2

cnp = c

— приведенная жесткость пружины,

2 R2

μnp =

μ

— приведенный коэффициент сопротивления.

2

R

2

Подставляя выражения кинетической энергии (2) и обобщенной силы (3) в уравнение Лагранжа (1), после вычисления соответствующих производных, получаем дифференциальное уравнение движения (математическую модель механической системы)

										S + 2n S + k 2 S = h sin( pt),	(4)
										0
где:	h =		F0			= 4.61		м	2	– относительная амплитуда возмущающей силы,
			mпр
	0							с
	k =			cпр			= 7.59	c−1		– частота собственных колебаний,
				mпр
	n =		μпр			= 0.51		с−1		– показатель степени затухания колебаний.
		2mпр

Так как n < k, общее решение неоднородного дифференциального уравнения (4) записывается в виде

							S = A e−nt sin(k t +α			0	)+ B sin(pt − β	0	)	(5)
							0		1		0
где	k1	=	k	2	− n	2	= 7.57	с	−1
														113

	B0 = h0			1					= 0.084 м;
		(k2 − p2 )2 + 4n2 p2
				2np
	β0 = arctg					= 0.029.
				2 2
		k		− p
	Константы A0 и α0 определяются из начальных условий.
	A0 =	(S0 − B2 )2 +					1	(S0 + n S0 − n B2 − B1			p)2 = 0.034 м,
							2
							k
						1
	α0 = arctg				k1 (S0 − B2 )					=1.866	рад.
				S0 + n S0 − n B2 − p B1

t

Рис. 2.3.10 Перемещение S (t ) и скорость V (t ) груза 1.

Закон движения груза 1, а также его скорость изображены на рис. 2.3.10

Определение реакций внешних и внутренних связей.

Для определения реакций внешних и внутренних связей расчленяем механизм на отдельные части. К каждому телу применяем теорему об изменении

114

	количества движения	d mVC			= ∑Fke	и теорему об изменении кинетического
		d t

момента ddLtCZ = ∑MCZe .

Записываем эти теоремы в проекциях на оси координат:

тело 1:	d m1V1 = −T				+ P sin(α) + F,
		d t	12		1
		0 = N1 − P1 cos(α).
тело 2:	d J2Cω2			= −T	r +T		R	− M	,
		d t	23 2			21	2	c
		0 =Y2 − P2 −T23 sin(β) −T21 sin(α),
		0 = X2 −T23 cos(β) −T21 cos(α).
тело 3:		d m3Vc3		=T	− F	+ F		− P sin(β),
		d t	32		ynp		сц	3

0 = N3 − P3 cos( β),

dJ3C ω3 =T32r3 − Fсцr3. d t

Сучетом кинематических соотношений данная система уравнений позволяет определить реакции внешних и внутренних связей и дифференциальное уравнение движения системы:

T12 = m1 g sin(α)+ F0 sin (pt )− m1 S

T23 =

R2

,

r

m1 g sin(α)+ m3ПР S + cпр S

2

F

=

R2

m g sin(α)+

1 m

S + c

S

,

СЦ

r2

1

3

3ПР

пр

Y2 = P2 +T23 sin (β )+T21 sin (α), X2 =T23 cos(β )−T21 cos(α),

N1 = P1 cos(α), N3 = P3 cos(β ), mпрS + μпрS + cпрS = F (t ).

115

t

Рис. 2.3.11 Силы сцепления FCЦ (t ) и FC′Ц .

Математическая модель, описывающая поведение исследуемой механической системы построена в предположении, что каток 3 движется без проскальзывания. Данное утверждение предполагает, что модуль силы сцепления FСЦ подчинен следующему ограничению

FСЦ ≤ FСЦ′ = fСЦ N3 ,

где FСЦ′ — предельное значение силы сцепления всегда положительно и равно

FСЦ′ = fСЦ N3 = fСЦ m3 g cos(β )= 7.646 H .

Следующее утверждение, на котором основана данная математическая модель, предполагает положительность сил натяжения канатов T12 , T23 , т.е.

T12 ≥ 0 , T23 ≥ 0

Другие предположения ограничивающие область функционирования механической системы отсутствуют, поэтому остановимся на исследовании вышеуказанных сил и влиянии на них внутренних параметров системы. Графики

116

зависимостей силы сцепления FСЦ и сил натяжения канатов T12 , T23 представ-

лены на рис. 2.3.11, рис. 2.3.12 соответственно.

t

Рис. 2.3.12 Силы натяжения в канатах T12 и T23

Исследование механической системы

При проектировании механических систем чаще всего используют критические режимы внешних воздействий на них. Поэтому внешние факторы: µ — коэффициент сопротивления, F0 , p — амплитуда и частота возмущающей силы,

изменяются незначительно. Конструктивные параметры механических систем (их геометрические размеры) определяются условиями их функционирования и, следовательно, могут изменяться в очень узком диапазоне. Актуальной становится такая задача оптимизации механической системы, при которой могут изменяться массовые параметры системы (например, mпр или m1 , m2 , m3 ), а так же жесткость упругого элемента — с.

Результаты расчетов показывают (см. рис. 2.3.10, рис. 2.3.11, рис. 2.3.12), что силы натяжения канатов T12 , T23 в некоторые моменты времени становятся отрицательными, а сила сцепления FСЦ превышает ее предельное значение FСЦ′ .

117

Следовательно, математическая модель не соответствует реальному поведению механической системы: нити провисают, тела движутся рывками, а каток — с проскальзыванием. Для определения значений внутренних параметров m1 , m2 , m3 , c механической системы, обеспечивающих ее функционирование в соответ-

ствие с предложенной математической моделью, выберем в качестве анализируемых функций величины сил натяжения T12 ≥ 0 , T23 ≥ 0 и разность

F = FСЦ′ − FСЦ . Исследуем изменение этих функций, в зависимости от масс тел входящих в механическую систему, а также жесткости упругого элемента, т.е.

T12 =T12 (m1, m2 , m3, c, t ),

T23 =T23 (m1, m2 , m3, c, t ),

F = F (m1, m2 , m3, c, t ).

Для анализа построим графики этих функций при разных значениях масс тел входящих в систему и жесткости упругого элемента в виде поверхностей, отображенных линиями уровней (рис. 2.3.13 — рис. 2.3.24).

t

m1

Рис. 2.3.13 Зависимость T12 (m1, t ) при c = 2 кН/м, m2 = 2 кг, m3 = 3 кг.

118

t

m2

Рис. 2.3.14 Зависимость T12 (m2 , t ) при c = 2 кН/м, m1 =1кг, m3 = 3 кг.

t

m3

Рис. 2.3.15 Зависимость T12 (m3, t ) при c = 2 кН/м, m1 =1кг, m2 = 2 кг.

119

t

c

Рис. 2.3.16 Зависимость T12 (c, t ) при m1 =1кг, m2 = 2 кг, m3 = 3 кг.

t

m1

Рис. 2.3.17 Зависимость T23 (m1, t ) при c = 2 кН/м, m2 = 2 кг, m3 = 3 кг.

120