- •Министерство образования российской федерации
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Предисловие
- •1. Случайные события
- •§1. Элементы комбинаторики
- •§2. Классическое и статистическое определение вероятности
- •§3. Операции над событиями
- •§4. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •§5. Формулы полной вероятности и бейеса
- •§6. Формула бернулли
- •§7. Элементы теории структурной надёжности
- •2. Случайные величины
- •§8. Дискретные случайные величины
- •§9. Непрерывные случайные величины
- •§10. Биномиальное распределение
- •§11. Распределение пуассона. Простейший поток событий
- •§12. Равномерное распределение
- •§13. Показательное распределение
- •§14. Нормальное распределение
- •§15. Теоремы группы цпт
- •§16. Двумерные случайные величины
- •§17. Функции случайных величин
- •M[y] (m[X]); d[y] [’(m[X])]2d[X];
- •М[y] (m[х1], m[х2], …,m[Хn]),
- •§18. Закон больших чисел
- •3. Математическая статистика
- •§19. Основы выборочного метода
- •§20. Элементы корреляционного анализа
- •§1. Элементы комбинаторики
- •§2. Классическое и статистическое определение вероятности
- •§3. Операции над событиями
- •§4. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •§9. Непрерывные случайные величины
- •§17. Функции случайных величин
- •§18. Закон больших чисел
- •§19. Основы выборочного метода
- •§20. Элементы корреляционного анализа
- •Список рекомендуемой литературы
- •Приложения
- •Оглавление
§9. Непрерывные случайные величины
Непрерывной называется такая случайная величина, значения которой сплошь заполняют некоторый промежуток.
Непрерывная случайная величина обычно задаётся плотностью распределения f(x).
Свойства плотности распределения:
1) f(x) 0; 2).
Функция распределения F(x) и плотность распределения f(x) связаны между собой равенствами: ,.
Вероятность попадания непрерывной случайной величины на числовой промежуток [a; b] выражается через плотность распределения следующим образом: .
Математическое ожидание M[X] непрерывной случайной величины X определяется формулой .
Дисперсия D[X] непрерывной случайной величины X вычисляют по формулам
.
Среднее квадратическое отклонение [X] непрерывной случайной величины Х определяется так же, как и для дискретной случайной величины: .
9.1. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения с плотностью Найти числовые характеристикиM[X], D[X], [X] данной случайной величины и P{0 < X < 1,5}.
9.2. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения с плотностью Найти коэффициентa, функцию распределения F(x) и P{X 0}, P{X = –1}, P{X > 0,5}.
9.3. Непрерывная случайная величина X имеет функцию распределения Найти плотность распределенияf(x) и . Построить графики функцийf(x) и F(x).
9.4. Функция распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид F(x) = a + b arctgx. Найти постоянные а и b, плотность распределения f(x) и P{0 X 1}.
9.5. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения с плотностью Найти коэффициента, функцию распределения F(x) и P{2 < X < 3}.
9.6. Непрерывная случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью Найти,.
9.7. Непрерывная случайная величина Х имеет функцию распределения . Найти плотность распределенияf(x) и числовые характеристики M[X], D[X], [X] данной случайной величины.
|
|
|
9.8. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения с плотностью Найти коэффициента, функцию распределения F(x) и P{X 3}, P{2 < X < 5}, P{X > 3,5}.
9.9. Непрерывная случайная величина Х имеет функцию распределения Найти числовые характеристикиM[X], D[X], [X] данной случайной величины.
9.10. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения с плотностью Найти коэффициента, функцию распределения F(x) и P{2 < X < 4}, P{–2 X < 2}.
9.11. Скорость молекул газа имеет плотность вероятности (закон Максвелла) (). Найти математическое ожидание и дисперсию скорости молекул, а также величинуA при заданном h. Указание: .
§10. Биномиальное распределение
Дискретная случайная величина Х называется биномиальной с параметрами n, p (n N, 0 < p < 1), если её возможные значения 0, 1, 2, …, n, а их вероятности определяются по формуле Бернулли , где.
Математическое ожидание и дисперсия биноминальной случайной величины выражается через её параметры следующим образом:
; .
10.1. Случайная величина X распределена биномиально с параметрами n = 4, p = 0,5. Найти Р{0,5 X 2,5}.
10.2. Вероятность выигрыша в лотерею по одному лотерейному билету равна 0,05. Найти математическое ожидание и дисперсию числа лотерейных билетов, на которые выпадают выигрыши, если приобретено 40 билетов.
10.3. В партии 90% стандартных деталей. Наудачу отобраны четыре детали. Написать закон распределения дискретной случайной величины Х – числа нестандартных деталей среди четырёх отобранных.
10.4. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появления события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что M[X] = 0,9.
10.5. Завод изготавливает 80% изделий первого сорта и 20% второго. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа изделий первого сорта в партии из 1000 отобранных случайным образом изделий.
|
|
|
10.6. Найти постоянную вероятность попадания в цель при каждом выстреле и число произведённых выстрелов, если среднее число попаданий равно 72, а среднее квадратическое отклонение случайной величины, характеризующей число попаданий, равно 6.
10.7. Два игральных кубика одновременно бросают два раза. Написать закон распределения случайной величины Х – числа выпадения чётного числа очков на двух игральных кубиках.
10.8. Вероятность того, что лампа остается исправной после 1000 часов работы, равна 0,2. Написать закон распределения случайной величины Х – числа неисправных ламп после 1000 часов работы из трех имеющихся. Найти числовые характеристики данной случайной величины.