Matlab / 03 Символьные вычисления +

Лабораторная работа №3

Matlab: Символьные вычисления

Цель работы: изучение возможностей пакета Matlab в области символьных вычислений.

Теоретические сведения

Система Matlab является самой крупной системой компьютерной математики, ориентированной на матричные и численные вычисления. Однако Matlab имеет также и средства аналитических вычислений. Пакет Symbolic Math Toolbox добавил системе Matlab качественной новые возможности, связанные с выполнением символьных вычислений и преобразований.

С помощью команды:

>> help symbolic

Можно получить перечень входящих в пакет команд и функций. Для получения справки по любой команде или функции можно использовать команду:

>> help sym / name.m,

где name — имя соответствующей команды или функции, а name.m — имя m-файла, задающего данную команду или функцию.

Создание символьных переменных и выражений

Команда sym создает символьную переменную и/или выражение. Например, выполнение команды:

x=sym(‘x’)

приведет к созданию символьной переменной .

Если необходимо использовать символьное обозначение для выражения:

,

тогда команда будет выглядеть:

h=sym(‘(1+sqrt(5))/2’);

Теперь можно использовать в различных математических выражениях. Например:

f=h^2-h-1

вернет:

f = (1/2+1/2*5^(1/2))^2-3/2-1/2*5^(1/2)

Выражение:

f=sym(‘a*x^2+b*x+c’)

придаст символьное выражение переменной . Но и только, Symbolic Math Toolbox не создаст переменных, используемых в данном выражении, а именно . Для дальнейшего осуществления математических операций (таких как интегрирование, дифференцирование, упрощение и т. д.) над функцией , необходимо вручную создать эти переменные:

a=sym(‘a’);

b=sym(‘b’);

c=sym(‘c’);

x=sym(‘x’);

или

syms a b c x;

Рекомендуется использовать syms, что позволит избежать создания избыточных кодов.

Символьные операции с выражениями

В Matlab имеется несколько функций для преобразования одной формы представления функции к другой, возможно более простой (табл. 1).

Таблица 1

Символьные операции

Вид преобразования	Ключевое слово	Описание
Приведение подобных слагаемых	collect	Приведение подобных слагаемых полинома
Расширение	expand	Раскрываются суммы и произведения, тригонометрические функции разлагаются по тригонометрическим тождествам
Разложение на множители	factor	Производится разложение выражений или чисел на простые множители.
Упрощение	simplify	Приводит выражение к более простому виду
Обеспечение подстановок	subs

Эти функции в качестве входного параметра могут принимать символьную матрицу. В таком случае выполнение операции происходит поэлементно.

Функция collect(f) представляет как полином от символьной переменной, например , и собирает коэффициенты при степенях . Второй аргумент определяет коэффициенты какой переменной необходимо собрать, если в выражении более одной переменной. Примеры:

f	collect(f)
(x-1)*(x-2)*(x-3)	x^3-6*x^2+11*x-6
x*(x*(x-6)+11)-6	x^3-6*x^2+11*x-6
(1+x)*t + x*t	2*x*t+t

Функция expand(f) расширяет выражение f. Рациональные выражения она раскладывает на простые дроби, полиномы — на полиномиальные разложения и т.д. Примеры:

f	expand(f)
a*(x + y)	a*x+a*y
(x-1)*(x-2)*(x-3)	x^3-6*x^2+11*x-6
x*(x*(x-6)+11)-6	x^3-6*x^2+11*x-6
exp(a+b)	exp(a)*exp(b)
cos(x+y)	cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y)
cos(3*acos(x))	4*x^3-3*x

Функция factor(f) разлагает выражение f на простые множители, а целые числа — на произведение простых чисел. Если не может быть разложен, то результатом выполнения будет само выражение . Примеры:

f	factor(f)
x^3-6*x^2+11*x-6	(x-1)*(x-2)*(x-3)
x^3-6*x^2+11*x-5	x^3-6*x^2+11*x-5
x^6+1	(x^2+1)*(x^4-x^2+1)

Функция simplify(f) наиболее мощное средство, она предназначена для алгебраических преобразований, сверток степеней, преобразования тригонометрических, экспоненциальных и логарифмических функций.

Функция simple(f) использует все правомерные математические способы упрощения для нахождения варианта с наименьшей длиной символьной строки результата. Функция добивается такого результата путем последовательного применения simplify, collect, factor, и других функций упрощения к выражению и сохранением информации о длине строки результата. Возвращает функция наименьший результат (тот ответ, строка которого имеет наименьшую длину).

Функция simple имеет несколько форм записи:

simple(f)

возвращает наименьший результат. Например, выражение:

f = simple(cos(x)^2+sin(x)^2)

вернет f = 1.

Если вы хотите знать каким из методов был получен этот результат, то необходимо использовать вторую форму записи:

[F, how] = simple(f)

В данном виде функция вернет в качестве F наикратчайший результат, а в качестве how — название метода. Например:

[f, how] = simple(cos(x)^2+sin(x)^2)

вернет f = 1

how = combine

Одной из самых эффективных и часто используемых операций символьной математики является операция подстановки. Она реализуется функцией subs, имеющей ряд форм записи:

subs(S) — заменяет в символьном выражении S все переменные их символьными значениями, которые берутся из вычисляемой функции или рабочей области системы MATLAB.

subs(S, NEW) — заменяет все свободные символьные переменные в S из списка NEW.

subs(S, OLD, NEW) — заменяет OLD на NEW в символьном выражении S. При одинаковых размерах массивов OLD и NEW замена идет поэлементно. Если S и OLD — скаляры, а NEW — числовой массив или массив ячеек, то скаляры расширяются до массива результатов.

Примеры:

>>syms a b x y;

>>subs(x-y,y,1)

ans =

x-1

>>subs(sin(x)+cos(y),[x y],[a b])

ans =

sin(a)+cos(b)

Задания

Все задания рекомендуется выполнять в m-файлах.

Рис. 2.

Задание 1. Упростите алгебраическое выражение с помощью функций simple и simplify:

1., 20.

2., 21.

3., 22.

4., 23.

5., 24.

6., 25.

7., 26.

8., 27.

9., 28.

10., 29.

11., 30.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

Сравните результаты.

Задание 2. Разложите выражение по степеням (раскройте скобки) (функция expand):

1., 7., 13., 19., 25. sin(x) – 2sin(2x) + 4sin(3x)

2., 8., 14., 20., 26. cos(2x) – sin(2x) + sin(3x)

3., 9., 15., 21., 27. tg(2x) + ctg(2x) +cos(2x)

4., 10., 16., 22., 28. ctg(2x) – sin(x)· cos(3x)

5., 11., 17., 23., 29. cos(2x) · sin(x) · sin(3x)

6., 12., 18., 24., 30. tg(2x) · sin(2x) – sin(3x)

Задание 3. Разложите на простые множители выражения (функция factor):

1., 9., 17., 25.

2., 10., 18., 26.

3., 11., 19., 27.

4., 12., 20., 28.

5., 13., 21., 29.

6., 17., 22., 30.

7., 15., 23.

8., 16., 24.

Задание 4. Сделайте замену в функции , используя функцию замены subs.

Затем приведите подобные слагаемые в полученном выражении относительно каждой из переменных (функция collect).

№ варианта	g(x)	№ варианта	g(x)
1., 16.	x^4- 2x^3+ x^2- 12x + 20	9., 24.	x^4+ x^3- 17x^2- 45x - 100
2., 17.	x^4+ 6x^3+ x^2- 4x - 60	10., 25.	x^4- 5x^3+ x^2- 15x + 50
3., 18.	x^4- 14x^2- 40x - 75	11., 26.	x^4- 4x^3- 2x^2- 20x + 25
4., 19.	x^4- x^3+ x^2- 11x + 10	12., 27.	x^4+ 5x^3+ 7x^2+ 7x - 20
5., 20.	x^4- x^3- 29x^2- 71x -140	13., 28.	x^4- 7x^3+ 7x^2- 5x + 100
6., 21.	x^4+ 7x^3+ 9x^2+ 13x - 30	14., 29.	x^4+ 10x^3+36x^2+70x+ 75
7., 22.	x^4+ 3x^3- 23x^2- 55x - 150	15., 30.	x^4+ 9x^3+ 31x^2+ 59x+ 60
8., 23.	x^4- 6x^3+ 4x^2+ 10x + 75

Задание 5. Разложите в ряд выражение:

Порядок разложения 6.

Задание 6. Найдите предел выражения:

Задание 7. Вычислите сумму ряда аналитически и численно при x=Nv, где Nv — номер варианта:

1., 26. , 2., 27. , 3., 28. ,

4., 29. , 5., 30. , 6. ,

7. , 8. , 9. ,

10. , 11. , 12. ,

13. , 14. , 15. ,

16. , 17. , 18. ,

19. , 20. , 21. ,

22. , 23. , 24. ,

25. .

12