- •1.Свойства графически заданной функции
- •2. Свойства линейной функции и
- •3. Анализ свойств конкретных линейных функций
- •8. Определение числа решений системы
- •9. Свойства линейной функции
- •10. Функция и её свойства
- •11. Задача
- •Степенная функция с четным показателем степени её свойства и график
- •3. Изучение свойств функции
- •4. Решение задач
- •Исследование функций на четность
- •Свойства квадратичной функции
- •Задачи на степенные функции
Свойства квадратичной функции
Здесь рассматриваются свойства квадратичной функции вида ,график квадратичной функции и решаются задачи на чтение графиков и задачи с параметром.
Напоминание
Определение. Квадратичной функцией называется функция вида
, где .
График – парабола (см. Рис. 1) с вершиной в точке , где.
Рис. 1. График функции , где
. Функция непрерывна на всей .
Свойства функции
в случае .
Пусть .
Свойства:
1. ;
2. ;
3. убывает при;возрастает при;
4. - не существует;
5. Непрерывна;
6. Выпукла вниз.
Свойства функции
в случае .
Пусть .
Свойства (см. Рис. 2):
Рис. 2. График функции в случае.
1. ;
2. ;
3. возрастает при;убывает при;
4. - не существует;
5. Непрерывна;
6. Выпукла вверх.
Задача 1 на нахождение пределов изменения конкретной квадратичной функции
Найдите пределы изменения функции, прочитайте график.
а.
Ответ: ;убывает при;возрастает при.
| |
|
б. |
Ответ: ;убывает при;возрастает при.
Задача 2 на нахождение пределов изменения конкретной квадратичной функции
Найдите пределы изменения функции, прочитайте график.
| |
|
а. |
Ответ: ;возрастает при;убывает при.
б.
Ответ: ;возрастает при;убывает при.
Задача 1 с параметром
Найдите число корней уравнения с параметром, где,.
Ответ (см. Рис. 3):
Рис. 3. График функции , рассеченный прямыми, гдеи.
1. Корней нет при ;
2. Уравнение имеет
- один корень при ;
- два корня при .
Задача 2 с параметром
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение, где,, имеет хотя бы один корень (см. Рис. 4).
Ответ: .
Задача на построение и чтение графика функции
Постройте и прочитайте график функции
,
Ответ: (см. Рис. 5)
Рис. 5. График функции
1. Возрастает при ;
2. Убывает при .
Задача 3 с параметром
Найдите число корней уравнения , где.
Ответ: уравнение имеет (см. Рис. 6)
Рис. 6. График функции ,
рассеченный прямыми , гдеи.
1. Один корень при ;
2. Два корня при ;
3. Три корня при .
Задачи на степенные функции
Здесь вспомним свойства степенных функций с целым отрицательным показателем и используем их при решении задач на степенную функцию.
Напоминание: график и свойства функции
Функция
Основные свойства:
1.
2.
3. Функция четная.
4. Две характерные фиксированные точки для всех кривых:
5. Асимптоты: прямые
6. Если тоy возрастает,
Если тоy убывает,
Напоминание: график и свойства функции
Функция
Основные свойства:
1.
2.
3. Функция нечетная.
4. Две фиксированные характерные точки для всех кривых:
5. Асимптоты: прямые
6. Если тоy убывает,
Если тоy убывает,
Решение задач
Рассмотрим типовые задачи:
1. Какая из точек – А или В – принадлежит графику функции если
Решение:
т. А:
т. А принадлежит графику.
т. В:
т. В не принадлежит графику.
Ответ: т. А.
2. Какая из точек А, В, С принадлежит графику функции если
Решение:
т. А:
т. В:
т. С:
Ответ: т. В принадлежит графику.
3. Постройте график функции и прочтите его.
Решение:
Построим график функции (Рис. 5). Его асимптоты – прямыеи.
Чтобы получить график функции необходимо графиксдвинуть на 1 вверх по осиyи на 1 единицу влево по оси x (Рис. 6).
Асимптоты полученного графика – прямые и, характерные точки
Если тоy возрастает,
Если тоy убывает,
4. Найдите все значения параметра m, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы одно решение.
Решение:
Нам необходимо построить график функции , пересечь его семейством прямых, найти точки пересечения и записать ответ (Рис. 7).
Ответ:
5. Найти все значения параметра m, при каждом из которых уравнение
1. Не имеет решений.
2. Имеет только отрицательные решения.
3. Имеет два корня разных знаков.
Решение:
Ответ:
1.
2.
3.
6. Постройте график функции и прочитайте его.
Решение:
Построим график функции (Рис. 8).
Теперь чтобы получить график функции сдвинем кривуюна 2 вправо вдоль осиx, и на 3 вверх по осиy (Рис. 9).
Прямые иявляются асимптотами.
Характерные точки –
Если тоy убывает,
Если тоy убывает,
7. Найти все значения параметра m, при каждом из которых уравнение
имеет решения
1. На луче
2. На луче
Решение:
Изобразим график функции и пересечем его семейством прямых(Рис. 10).
Ответ:
1.
2.
8. Решите графически неравенство
Решение:
Построим в одной системе координат график функции и график функции(Рис. 11).
Графики пересекаются в точке
Чтобы выполнялось неравенство криваядолжна располагаться выше прямой
Ответ:
9. Даны две функции, и, где
Докажите, что
Доказательство:
Тождество доказано.