- •Численное интегрирование жестких системобыкновенных дифференциальных уравнений (оду)
- •Жесткие оду
- •Линейные однородные уравнения 1-го порядка
- •Системы линейных однородных уравнений
- •Пример: задача Коши для линейного однородного уравнения второго порядка
- •Нелинейные жесткие уравнения
- •Пример: сингулярно-возмущённая нелинейная система второго порядка
- •Произвольная система нелинейных уравнений
- •Примеры простейших разностных схем для жестких оду
- •Способы построения схем
- •Требования к численным методам решения жёстких систем оду
- •Одношаговые методы типа Рунге–Кутты
- •Алгоритм
- •Аппроксимация
- •Устойчивость
- •Примеры схем Рунге–Кутты
- •Линейные многошаговые схемы (методы типа Адамса)
- •Алгоритм и аппроксимация
- •Устойчивость
- •Примеры линейных многошаговых схем
- •Схемы для продолженных систем (схемы Обрешкова)
- •Алгоритм и аппроксимация
- •Устойчивость
- •Контрольные вопросы
- •Общие вопросы к лабораторным работам 1–3
- •Схемы Рунге–Кутты (работа №1)
- •Уравнение Ван-дер-Поля
- •Система Ван-дер-Поля и траектории-утки
- •Суточные колебания озона в атмосфере
- •Уравнение Бонгоффера–Ван-дер-Поля
- •Сингулярно-возмущенная система — модель двухлампового генератора Фрюгауфа
- •Простейшая модель гликолиза
- •Модель химических реакций Робертсона
- •Модель дифференциации растительной ткани
- •Задача e5
- •Уравнение Релея
- •Экогенетические модели
- •Список литературы
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Московский физико-технический институт
(государственный университет)
А.С. Холодов, А.И. Лобанов, А.В. Евдокимов
РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЖЕСТКИХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
Методические указания к лабораторным работам
по курсу «Нелинейные вычислительные процессы»
Москва 2001
Содержание
1. Численное интегрирование жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) 4
2. Примеры жёстких систем ОДУ 42
Список литературы 49
Численное интегрирование жестких системобыкновенных дифференциальных уравнений (оду)
Жесткие оду
Линейные однородные уравнения 1-го порядка
Рассмотрим вначале простейшее уравнение:
(1)
на отрезке
(2)
и задачу Коши для (1):
u(0)= u0. (3)
Решение (1) – (3), очевидно,
. (4)
Если , имеем неограниченное (неустойчивое) решение (рис. 1.1). В этом случае надо просто интегрировать (1) с шагом по времени, обеспечивающим необходимую точность, до тех пор, пока это возможно.
| ||
Рис. 1.1. |
Рис. 1.2. |
Рис. 1.3. |
Если , то решение задачи (1) – (3) ограниченное (). С точки зрения вычислителя здесь важна величина отрезка интегрированияT. Если, то имеем обычную ситуацию (рис. 1.2), можно пользоваться стандартными методами численного интегрирования (Эйлера, Эйлера–Коши, Рунге–Кутты, Адамса и т. д.). Если, то имеем решение типа «пограничного слоя» (рис. 1.3) с резким изменениемuна малом (в масштабеT) отрезке [0, T0]. Если положение «пограничного слоя» заранее неизвестно, при численном интегрировании возникают осложнения, которые будут рассмотрены ниже. Основная идея заключается в том, чтобы численный метод обеспечивал качественно правильное поведение численного решения на участке «пограничного слоя» (при), т. е. быстрое затухание, и возможно точнее воспроизводил решение на основном участке интегрирования(вне «пограничного слоя»).
Системы линейных однородных уравнений
Пусть на отрезке (2) рассматривается Jуравнений (1):
j= 1, …,J(5)
с начальными условиями . Если обозначить
и перейти к векторной форме
, (6)
то, сделав замену , где
,
получим вместо (6) однородную линейную систему ОДУ:
. (7)
Так как , то.
Наоборот, если задана система (7), то умножая ее скалярно Jраз на левые собственные векторыматрицыA, определяемые, как это следует из (7), с точностью до их длины, изJлинейных однородных систем
или (8)
приходим к эквивалентной (7) совокупности уравнений (5), связанных друг с другом только через начальные условия
v(0) =v0или. (9)
Здесь — собственные значения матрицыA, т. е. корни характеристического уравнения
, (10)
где — многочлен степениJ.
Решение каждого из уравнений (5) имеет вид (4), т. е. , а значит, решение задачи Коши (7), (9) есть, т. е. является линейной комбинацией экспонент (если вседействительны) или имеет более сложный характер с присутствием гармонических составляющих (если средибудут комплексно-сопряженные корни уравнения (10)).
Пример: задача Коши для линейного однородного уравнения второго порядка
, ,
(,a,b— константы).
Обозначим и введем вектор, тогда
,
или, в векторной форме,
, ,
где — собственные значения матрицыAиз (10):
,
.
При |a|~|b|~1,приближенно имеем,;,. Далее, из (8):
, ,
при .
Тогда, учитывая , получаем
,
.
Если оба действительны, то имеем комбинацию двух экспонент, затухающих при λ1 < 0 и λ2 < 0. Если λ1 = α + iβ, λ2 = α – iβ, тоu(t) = eαt{[(u1– αu0) sin(βt)]/β ++ u0 cos(βt)}, и на экспонентуeαtнакладываются гармонические колебания с периодомT*~1/β, т. е. характер поведения решения определяется собственными значениями матрицыA.
В общем случае можно выделить четыре ситуации:
| |
а |
б |
|
|
в |
г |
Рис. 1.4. Виды спектров матриц систем ОДУ |
Здесь —следА, ||A|| — её норма.
Случай ане сложен для расчётов; проходят стандартные схемы (явные схемы Рунге–Кутты, Адамса т. п.).
Случай бпрактически безнадежен (неустойчивые по Ляпунову системы ОДУ).
Случай вдовольно часто встречается на практике, и для него есть специальные методы, основанные на осреднении быстро осциллирующих гармоник.
Случай гмы и будем рассматривать (жесткие системы ОДУ). Для матрицыAбольшой размерности найти все собственные числа(полная спектральная задача) не очень просто из-за ее плохой обусловленности. Действительно, для жесткой системы число обусловленности матрицыA
(11)
или, приближенно, ||A||Т >> 1.