- •Математика
- •Глава 1 подготовлена м. Н. Рассказовой, глава 2 – о. П. Диденко, предисловие, введение, глава 3, алфавитно-предметный указатель – с. Х. Мухаметдиновой.
- •Оглавление
- •Предисловие
- •Введение
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
- •Линейная алгебра
- •Операции над матрицами
- •Свойства операций над матрицами:
- •Определители матриц и их свойства
- •Обратная матрица. Решение матричных уравнений
- •Системы линейных уравнений
- •Построение моделей задач, сводящихся к системам линейных уравнений
- •1.1.6. Применение элементов линейной алгебры в экономике
- •1.1.7. Модель Леонтьева межотраслевого баланса
- •Контрольные задания
- •Векторная алгебра
- •Векторы. Линейные операции над векторами
- •Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов
- •Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения
- •Контрольные задания
- •Аналитическая геометрия
- •Прямая на плоскости
- •Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола
- •Прямая и плоскость в пространстве
- •Контрольные задания
- •Глава 2. Математический анализ
- •2.1. Функции одной переменной
- •Контрольные задания
- •2.2. Предел и непрерывность функции
- •Некоторые свойства пределов
- •2.2.1. Замечательные пределы
- •2.2.2. Непрерывность функции в точке
- •Контрольные задания
- •2.3.2. Применение производной в экономике
- •2.3.3. Дифференциал функции
- •Контрольные задания
- •2.4. Приложения производной
- •2.4.1. Исследование функции на монотонность,
- •Экстремумы и выпуклость.
- •Асимптоты графика функции
- •2.4.2. Общая схема исследования функции
- •И построения ее графика
- •Контрольные задания
- •2.5.2. Метод интегрирования по частям
- •2.6.2. Геометрические приложения
- •Определенного интеграла
- •Применение определенного интеграла
- •В экономике
- •Несобственные интегралы
- •Функции нескольких переменных
- •2.7.1. Частные производные, дифференциал,
- •Градиент функции
- •2.7.2. Частные производные 2-го порядка.
- •Исследование функции на экстремум
- •2.7.3. Метод наименьших квадратов
- •Контрольные задания
- •2.8. Дифференциальные уравнения
- •1. Уравнение с разделяющимися переменными
- •2. Однородные уравнения 1-го порядка
- •3. Линейные уравнения 1-го порядка
- •4. Линейные однородные уравнения 2-го порядка
- •С постоянными коэффициентами
- •2.9. Последовательности и ряды
- •2.9.1. Предел последовательности
- •2.9.2. Числовые ряды
- •Достаточный признак расходимости ряда
- •Признаки сходимости рядов с положительными членами:
- •2.9.3. Степенные ряды
- •Контрольные задания
- •3.1.3. Размещения
- •Сочетания
- •Если в формуле (3.5) заменить число k на n − k, то получим:
- •Правило сложения
- •Правило произведения
- •Контрольные вопросы
- •Элементы теории вероятностей
- •3.2.1. Основные понятия теории вероятностей
- •3.2.2. Классификация событий
- •3.2.3. Алгебра событий
- •3.2.4. Статистический подход к понятию вероятности
- •3.2.5. Классический подход к понятию вероятности
- •3.2.6. Решение вероятностных задач
- •С помощью комбинаторики
- •3.2.7. Геометрический подход к понятию вероятности
- •3.2.8. Аксиоматическое определение
- •Понятия вероятности
- •3.2.9. Вероятность суммы несовместных событий
- •3.2.10. Вероятность произведения событий
- •3.2.11. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •3.2.12. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число
- •Наступлений события
- •3.2.13. Локальная формула Муавра−Лапласа
- •3.2.14. Интегральная формула Муавра−Лапласа
- •3.2.15. Формула Пуассона
- •Контрольные вопросы
- •3.3. Случайные величины
- •3.3.1. Дискретные случайные величины.
- •Закон распределения дискретной случайной величины
- •3.3.2. Числовые характеристики
- •Дискретных случайных величин
- •Свойства математического ожидания:
- •Свойства дисперсии:
- •3.3.3. Функция распределения вероятностей
- •Случайной величины
- •Основные свойства функции распределения:
- •3.3.4. Непрерывная случайная величина.
- •3.3.5. Числовые характеристики
- •Непрерывных случайных величин
- •3.3.6. Равномерное распределение
- •3.3.7. Нормальное распределение
- •3.3.8. Показательное распределение
- •Контрольные вопросы
- •3.4. Элементы математической статистики
- •Основные задачи математической статистики
- •3.4.1. Основные понятия математической статистики
- •3.4.2. Точечные оценки параметров распределения
- •3.4.3. Интервальные оценки параметров распределения
- •Интервальные оценки параметров нормального распределения:
- •3.4.4. Проверка статистических гипотез
- •Проверка гипотезы о нормальном распределении
- •Генеральной совокупности по критерию Пирсона
- •Алгоритм применения критерия Пирсона
- •Контрольные вопросы
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Основная литература
- •Дополнительная литература
- •Приложение 1
- •Приложение 2
- •Приложение 3
- •Приложение 4
- •Приложение 5
- •Приложение 6
- •Глава 2 «Математический анализ»
- •Глава 3 «Теория вероятностей и математическая статистика»
- •3.1. Классическое определение вероятности
- •Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Формулы полной вероятности и Байеса
- •3.4. Схема Бернулли. Теорема Муавра-Лапласа, Пуассона
- •3.5. Случайные величины
- •3.6. Законы распределения
- •3.7. Математическая статистика
- •Алфавитно-предметный указатель
- •Математика
- •644099, Омск, ул. Красногвардейская, 9
а) на карточке написано число, делящееся на 3;
б) на карточке написано число, делящееся на 3 и на 5;
г) на карточке написано число больше 90;
д) на карточке написано число больше 10 и меньше 20;
е) на карточке написано число, делящееся на 5, но не делящееся на 7.
Существует ли событие, связанное с этим опытом, вероятность которого равна 0,11? Если да, то какое это событие?
3.30. В урне 6 белых, 7 черных и 3 красных шаров. Найти вероятность события: A – вытащить наугад красный шар, B – вытащить наугад три шара разного цвета, C – вытащить наугад три шара так, чтобы хотя бы один шар был белым, D – вытащить наугад три шара так, чтобы два шара были белыми и один черный.
3.31. В урне 5 белых, 3 черных и 8 красных шара. Найти вероятность события: A – вытащить наугад черный шар, B – вытащить наугад три шара разного цвета, C – вытащить наугад три шара так, чтобы хотя бы один шар был красным, D – вытащить наугад три шара так, чтобы два шара были белыми и один красный.
3.32. Известно, что среди 15 книг имеется 5 бракованных, внешне не отличимых от доброкачественных. Наугад выбирается 5 книг. Найти вероятность события:
а) все 5 книг доброкачественные;
б) все 5 книг бракованные;
в) среди выбранных 5 книг ровно 2 бракованные;
г) среди выбранных 5 книг не более двух бракованных;
д) среди выбранных 5 книг не менее двух бракованных;
ж) среди выбранных 5 книг хотя бы три доброкачественные;
з) среди выбранных 3 книг по крайней мере две доброкачественные;
и) все выбранные 4 книги доброкачественные или бракованные.
3.2.7. Геометрический подход к понятию вероятности
Пусть попадание в область G точки, брошенной наугад, является достоверным событием. Рассмотрим область g, лежащую внутри области G, и обозначим через A событие – попадание точки, брошенной наугад в область g.
Определение. Вероятность события A равна отношению мер областей ии не зависит ни от места расположения области g внутри области G, ни от формы области g. Если меры областей g и G в общем случае обозначать mes g и mes G соответственно, то вероятность события A равна:
G
(3.9)
g
Замечание. В том случае, когда рассматриваются трехмерные области, то вероятность попадания точки, брошенной наугад в область g, равна отношению их объемов, если же области двухмерные, то отношению их площадей, а если одномерные, то отношению их длин.
Пример 3.26. Стрелок стреляет по мишени. Пусть попадание в мишень является достоверным событием. Какова вероятность попадания в область мишени, соответствующую 10 баллам, если её площадь равна 1 кв. ед., а площадь всей мишени– 10 кв. ед.?
Полагая, что события, состоящие в попадании в определенную точку мишени, равновероятны, тем не менее использовать классический подход к понятию вероятности в данной ситуации невозможно, т. к. невозможно подсчитать как количество благоприятных исходов, равное числу точек области, соответствующей десяти очкам, так и количество всех элементарных исходов, соответствующих числу всех точек мишени. Следовательно, для решения данной задачи необходим другой подход к понятию вероятности – геометрический.
Пусть событие A состоит в попадании точки, брошенной наугад в область g, тогда в соответствии с (3.9) имеем:
Пример 3.27. На отрезке АВ = 15 см произвольным образом выделен отрезок MN = 3 см. На отрезке АВ случайным образом отмечается точка X. Какова вероятность попадания точки X на отрезок MN?
Обозначим через A – попадание точки X на отрезок MN. Используя геометрический подход к определению понятия вероятности, получим:
Пример 3.28. Пусть событие A – случайным образом отмеченная на отрезке АВ точка X совпадет с его серединой. Какова вероятность точки, брошенной наугад, попасть в точку Х, если длина отрезка АВ равна 10.
Для нахождения вероятности события A используем геометрический подход к определению понятия вероятности. Заметим, что в математике принято считать площадь точки равной нулю, следовательно, и ее «длина» также равна нулю. Учитывая это замечание, получим:
Замечание. В предыдущей задаче вероятность события A – попадания точки наугад в середину отрезка АВ – равна нулю, как, впрочем, и вероятность попадания в любую другую точку отрезка. Однако такие события не являются невозможными.
Таким образом, как для статистической вероятности, так и для геометрической вероятности утверждение: «Если событие невозможное, то его вероятность равна нулю» является всегда истинным, а обратное ему утверждение: «Если вероятность события равна нулю, то оно является невозможным» – нет.
3.33. На отрезке АВ = 12 см произвольным образом выделен отрезок MN = 2 см. На отрезке АВ случайным образом отмечается точка X. Какова вероятность попадания точки X на отрезок: а) AM; б) AN; в) MN; г) MB; д) AB?
3.34. Внутри квадрата со стороной 10 см выделен круг радиусом 2 см. Случайным образом внутри квадрата отмечается точка. Какова вероятность того, что она попадет в выделенный круг?
3.35. Поверхность рулетки разделена на секторы следующим образом: равные секторы 1 и 2 занимают половину площади круга, а вторая его половина разделена на три равных сектора 3, 4 и 5.
Найти вероятность того, что после раскручивания стрелка рулетки случайным образом остановится в секторах:
а) 1;
б) 3;
в) 1 или 2;
г) 4 или 5;
д) 1 или 5;
е) с четным номером;
ж) с нечетным номером;
з) с номером не менее 3-х.
3.2.8. Аксиоматическое определение
Понятия вероятности
Приведем аксиоматическое определение вероятности, предложенное А. Н. Колмогоровым.
Каждому случайному событию А из поля событий ставится в соответствие неотрицательное число P(А), называемое вероятностью.
2. P(Ω) = 1, где Ω − пространство элементарных событий.
3. Аксиома сложения. Если события попарно несовместны, то
Отсюда следует:
вероятность невозможного события равна нулю
для любого события А выполняется условие