- •Математика
- •Глава 1 подготовлена м. Н. Рассказовой, глава 2 – о. П. Диденко, предисловие, введение, глава 3, алфавитно-предметный указатель – с. Х. Мухаметдиновой.
- •Оглавление
- •Предисловие
- •Введение
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
- •Линейная алгебра
- •Операции над матрицами
- •Свойства операций над матрицами:
- •Определители матриц и их свойства
- •Обратная матрица. Решение матричных уравнений
- •Системы линейных уравнений
- •Построение моделей задач, сводящихся к системам линейных уравнений
- •1.1.6. Применение элементов линейной алгебры в экономике
- •1.1.7. Модель Леонтьева межотраслевого баланса
- •Контрольные задания
- •Векторная алгебра
- •Векторы. Линейные операции над векторами
- •Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов
- •Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения
- •Контрольные задания
- •Аналитическая геометрия
- •Прямая на плоскости
- •Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола
- •Прямая и плоскость в пространстве
- •Контрольные задания
- •Глава 2. Математический анализ
- •2.1. Функции одной переменной
- •Контрольные задания
- •2.2. Предел и непрерывность функции
- •Некоторые свойства пределов
- •2.2.1. Замечательные пределы
- •2.2.2. Непрерывность функции в точке
- •Контрольные задания
- •2.3.2. Применение производной в экономике
- •2.3.3. Дифференциал функции
- •Контрольные задания
- •2.4. Приложения производной
- •2.4.1. Исследование функции на монотонность,
- •Экстремумы и выпуклость.
- •Асимптоты графика функции
- •2.4.2. Общая схема исследования функции
- •И построения ее графика
- •Контрольные задания
- •2.5.2. Метод интегрирования по частям
- •2.6.2. Геометрические приложения
- •Определенного интеграла
- •Применение определенного интеграла
- •В экономике
- •Несобственные интегралы
- •Функции нескольких переменных
- •2.7.1. Частные производные, дифференциал,
- •Градиент функции
- •2.7.2. Частные производные 2-го порядка.
- •Исследование функции на экстремум
- •2.7.3. Метод наименьших квадратов
- •Контрольные задания
- •2.8. Дифференциальные уравнения
- •1. Уравнение с разделяющимися переменными
- •2. Однородные уравнения 1-го порядка
- •3. Линейные уравнения 1-го порядка
- •4. Линейные однородные уравнения 2-го порядка
- •С постоянными коэффициентами
- •2.9. Последовательности и ряды
- •2.9.1. Предел последовательности
- •2.9.2. Числовые ряды
- •Достаточный признак расходимости ряда
- •Признаки сходимости рядов с положительными членами:
- •2.9.3. Степенные ряды
- •Контрольные задания
- •3.1.3. Размещения
- •Сочетания
- •Если в формуле (3.5) заменить число k на n − k, то получим:
- •Правило сложения
- •Правило произведения
- •Контрольные вопросы
- •Элементы теории вероятностей
- •3.2.1. Основные понятия теории вероятностей
- •3.2.2. Классификация событий
- •3.2.3. Алгебра событий
- •3.2.4. Статистический подход к понятию вероятности
- •3.2.5. Классический подход к понятию вероятности
- •3.2.6. Решение вероятностных задач
- •С помощью комбинаторики
- •3.2.7. Геометрический подход к понятию вероятности
- •3.2.8. Аксиоматическое определение
- •Понятия вероятности
- •3.2.9. Вероятность суммы несовместных событий
- •3.2.10. Вероятность произведения событий
- •3.2.11. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •3.2.12. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число
- •Наступлений события
- •3.2.13. Локальная формула Муавра−Лапласа
- •3.2.14. Интегральная формула Муавра−Лапласа
- •3.2.15. Формула Пуассона
- •Контрольные вопросы
- •3.3. Случайные величины
- •3.3.1. Дискретные случайные величины.
- •Закон распределения дискретной случайной величины
- •3.3.2. Числовые характеристики
- •Дискретных случайных величин
- •Свойства математического ожидания:
- •Свойства дисперсии:
- •3.3.3. Функция распределения вероятностей
- •Случайной величины
- •Основные свойства функции распределения:
- •3.3.4. Непрерывная случайная величина.
- •3.3.5. Числовые характеристики
- •Непрерывных случайных величин
- •3.3.6. Равномерное распределение
- •3.3.7. Нормальное распределение
- •3.3.8. Показательное распределение
- •Контрольные вопросы
- •3.4. Элементы математической статистики
- •Основные задачи математической статистики
- •3.4.1. Основные понятия математической статистики
- •3.4.2. Точечные оценки параметров распределения
- •3.4.3. Интервальные оценки параметров распределения
- •Интервальные оценки параметров нормального распределения:
- •3.4.4. Проверка статистических гипотез
- •Проверка гипотезы о нормальном распределении
- •Генеральной совокупности по критерию Пирсона
- •Алгоритм применения критерия Пирсона
- •Контрольные вопросы
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Основная литература
- •Дополнительная литература
- •Приложение 1
- •Приложение 2
- •Приложение 3
- •Приложение 4
- •Приложение 5
- •Приложение 6
- •Глава 2 «Математический анализ»
- •Глава 3 «Теория вероятностей и математическая статистика»
- •3.1. Классическое определение вероятности
- •Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Формулы полной вероятности и Байеса
- •3.4. Схема Бернулли. Теорема Муавра-Лапласа, Пуассона
- •3.5. Случайные величины
- •3.6. Законы распределения
- •3.7. Математическая статистика
- •Алфавитно-предметный указатель
- •Математика
- •644099, Омск, ул. Красногвардейская, 9
Событие − вытащить наугад белый шар из выбранной наугад урны. Рассмотрим две гипотезы:− выбрать наугад первую урну,− вторую, причемВероятность вытащить белый шар из первой урны (условная вероятность), а вероятность событияпри условии, что событиепроизошлоИспользуя формулу полной вероятности (3.16), получим:
Известно, что из выбранной наугад урны вытащили белый шар, т. е. событие произошло. Необходимо найти вероятность гипотезы(была выбрана наугад первая урна) при условии, что событиепроизошло, т. е.Используя формулуБайеса (3.17), получим:
3.2.12. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число
Наступлений события
Схема Бернулли. Предположим, что производится n независимых испытаний, в результате каждого из них может наступить некоторое событие с одной и той же вероятностью или не наступить с вероятность
Вероятность того, что событиепроизойдетm раз в n испытаниях, выражается формулой Бернулли:
(3.18)
где − число сочетаний изn элементов по m.
Пример 3.34. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Какова вероятность того, что 5 выстрелов дадут 2 попадания?
Используя формулу Бернулли (3.18) и учитывая, что иполучим:
Определение. Число называетсянаивероятнейшим числом наступлений события A в испытаниях, если не меньше остальных значенийт. е.при
Если и, то значениеможно определить из двойного неравенства:
(3.19)
Разность граничных значений в неравенстве (3.19) равна единице. Если не является целым числом, то неравенство определяет лишь одно значение. Если жеявляется целым числом, то неравенство определяет дванаивероятнейших значения: и
Пример 3.35. В урне 10 белых и 40 красных шаров. Вынимают наугад по одному 14 шаров, каждый раз возвращая вынутый шар в урну и тщательно перемешивая шары. Определить наивероятнейшее число появлений белого шара.
Из условия задачи следует, что аИспользуя неравенство (3.19), получим:
т. е.
Таким образом, задача имеет два решения: и
Пример 3.36. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Сделано 25 выстрелов. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель.
Из условия задачи следует, что аИспользуя неравенство (3.19), получим:
т. е.
Задача имеет одно решение:
3.2.13. Локальная формула Муавра−Лапласа
В рамках схемы Бернулли при большом числе n независимых испытаний использовать формулу Бернулли нецелесообразно. В этих ситуациях используют локальную формулу Муавра−Лапласа.
Локальная теорема Муавра−Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях (чем больше n, тем точнее), в каждом из которых может наступить некоторое событие с одной и той же вероятностью или не наступить с вероятностьюсобытиенаступитm, приближенно равна:
(3.20)
где
Функция является четной, следовательно,Таблица значений функциидля положительных значений аргументаприведена вприложении 1.
Формулу (3.20) называют локальной формулой Муавра−Лапласа или локальной формулой Лапласа.
Пример 3.37. Найти вероятность того, что событие наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.
По условию задачи иТак как значениевелико, воспользуемся (3.20) локальной формулой Муавра−Лапласа:
В таблице значений функции (приложение 1) найдем и подставим в (3.20). Искомая вероятностьПример 3.38. Найти вероятность того, что событие наступит ровно 1400 раз в 2400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,6.
По условию задачи иТак как значениевелико, воспользуемся (3.20) локальной формулой Муавра−Лапласа:
Так как функция является четной, следовательно,В таблице значений функции(приложение 1) найдем и подставим в (3.20). Искомая вероятность
3.2.14. Интегральная формула Муавра−Лапласа
Интегральная теорема Муавра−Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях (чем больше n, тем точнее), в каждом из которых может наступить некоторое событие с одной и той же вероятностью или не наступить с вероятностьсобытиенаступит не менееи не болеераз, приближенно равна:
(3.21)
где − функция Лапласа.
Функция является нечетной, следовательно,Таблица значений функциидля положительных значений аргументаприведена вприложении 2.
Формулу (3.21) называют интегральной формулой Муавра−Лапласа или интегральной формулой Лапласа.
Пример 3.39. Найти вероятность того, что событие наступит не менее 75 и не более 90 раз в 100 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,8.
По условию задачи иТак как значениевелико, воспользуемся (3.21) интегральной формулой Муавра−Лапласа:
Учитывая нечетность функции т. е.найдем в таблице значений(приложение 2) и подставим в (3.21). В результате получим:
3.2.15. Формула Пуассона
Теорема Пуассона. При неограниченном увеличении числа n независимых испытаний в каждом из которых может наступить некоторое событие с одной и той же вероятностью стремящейся к нулюпри этомвероятность того, что событиенаступитm, приближенно равна:
(3.22)
Формулу (3.22) называют формулой Пуассона. Эта приближенная формула дает незначительные погрешности, если Значения функции Пуассонанаходят в таблице, приведенной вприложении 3, на пересечении соответствующих значений и
Пример 3.40. Известно, что на 10000 выпущенных деталей приходится 10 бракованных. Какова вероятность того, что четыре случайно выбранные детали окажутся бракованными?
По условию задачи Вероятность случайного выбора бракованной деталиТак как значениевелико, а− мало ивоспользуемся (3.22) и найдем значение функции Пуассона из таблицы (приложение 3) для значений и
Контрольные вопросы
1. Сформулировать определения понятий: случайного события, несовместных и независимых событий. Привести примеры.
2. Какое событие называется суммой и произведением событий?
3. В чем заключается статистический подход к понятию вероятности?
4. В чем заключается классический подход к понятию вероятности?
5. В чем заключается геометрический подход к понятию вероятности?
6. Сформулировать аксиоматическое определение понятия вероятности?
7. Чему равна вероятность суммы несовместных событий?
8. Чему равна вероятность произведения независимых событий?
9. Чему равна вероятность произведения зависимых событий?
10. Записать формулу полной вероятности и формулу Байеса. Привести примеры их применения для решения задач.
11. Записать формулу Бернулли. Привести примеры её применения для решения задач.
12. Записать локальную формулу Муавра−Лапласа. Привести примеры её применения для решения задач.
13. Записать интегральную формулу Муавра−Лапласа. Привести примеры её применения для решения задач.
14. Записать формулу Пуассона. Привести примеры её применения для решения задач.
3.3. Случайные величины
При решении практических задач в различных областях (экономика, социология, политология, медицина и др.) с применением методов математической статистики широко используются понятия дискретных и непрерывных случайных величин, а также их основные характеристики: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и т. д.
3.3.1. Дискретные случайные величины.
Закон распределения дискретной случайной величины
Под величиной обычно понимается характеристика объекта или процесса, которую можно измерить, т. е. сосчитать, например, при подсчете количества выпущенных деталей или сопоставить с эталоном, например, при измерении роста или веса человека.
Определение. Дискретной случайной величиной называется переменная величина , принимающая в результате серии испытаний одно из значений…,, являющихся членами конечной или бесконечной числовой последовательности, с соответствующими вероятностями…,
Определение. Закон распределения дискретной случайной величины − функциональная зависимость вероятности от значений случайной величины
Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан, как и любая числовая функция, тремя способами:
аналитически в виде уравнения
графически (многоугольник распределения вероятностей);
таблично.