Математика / Экзамен-зачет математика 14 / Т.В. вопросы, задания сессия 3 семестр Microsoft Word Document

3 – й семестр

Замеч. Желтым цветом выделены задания,

соответствующие минимальным требованиям.

Теория вероятностей и математическая статистика

1. Понятие случайного события. Классификация событий: несовместные, независимые, зависимые и благоприятные.

2. Понятие случайного события. Классификация событий: несовместные, независимые, зависимые и благоприятные.

3. Операции над событиями: сложение, вычитание, отрицание и их свойства. Примеры операций над событиями.

4. Относительная частота события и её свойство. Статистический подход к понятию вероятности.

5. Полная группа событий. Благоприятные события. Классическое определение вероятности. Примеры нахождения вероятности с помощью классического определения.

6. Вероятность суммы 2 – х и произвольного числа несовместных событий. Примеры вычисления вероятности суммы независимых событий.

7. Независимость событий. Вероятность произведения независимых событий. Примеры вычисления вероятности произведения независимых событий.

8. Противоположные события. Вероятность противоположного события.

9. Схема независимых испытаний (схема Бернулли). Формула Бернулли. Примеры применения формулы Бернулли для вычисления вероятностей событий.

10. Локальная теорема Муавра–Лапласа и примеры её применения для вычисления вероятностей событий.

11. Интегральная теорема Муавра–Лапласа. и примеры её применения для вычисления вероятностей событий.

12. Формула Пуассона.

13. Формула полной вероятности.

14. Формула Байеса.

15. Понятие дискретной случайной величины. Закон распределения случайной величины и способы его задания. Примеры дискретных случайных величин и их законов распределения.

16. Числовые характеристики дискретных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Примеры вычисления числовых характеристик дискретных случайных величин.

17. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения вероятности непрерывной случайной величины. Функция распределения вероятности непрерывной случайной величины.

18. Числовые характеристики непрерывных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонения. Примеры вычисления числовых характеристик непрерывных случайных величин.

19. Непрерывная случайная величина, распределенная равномерно, на конечном интервале.

20. Функция плотности распределения вероятности равномерно распределенной случайной величины. Вероятность попадания непрерывной случайной величины, распределенной равномерно в заданный интервал.

21. Функция плотности распределения вероятности непрерывной случайной величины, распределенной по нормальному закону (закон Гаусса). Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение нормальной случайной величины.

22. Функция распределения непрерывной случайной величины, распределенной нормально. Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал. Примеры вычисления вероятности попадания нормальной случайной величины в заданный интервал.

23. Генеральная совокупность, выборка. Основные задачи математической статистики.

24. Основные числовые характеристики выборок.

Задачи по теории вероятностей и математической статистике

Классическое определение вероятности

1. Изготовлена партия из 20 изделий, в которой оказалось три бракованных. Произведена выборка из пяти изделий. Какова вероятность того, что среди отобранных деталей хотя бы две окажутся бракованными?

2. Из 20 акционерных обществ (АО) четыре являются банкротами. Гражданин приобрел по одной акции шести АО. Найти вероятность того, что среди купленных акций не более трех окажутся акциями банкротов?

3. Из 30 изготовленных деталей 3 имеют дефект. Для проверки были отобраны пять деталей. Какова вероятность того, что среди отобранных деталей по крайней мере две окажутся бракованными?

Теоремы сложения и умножения вероятностей

1. Вероятность того, что книга имеется в 1-й библиотеке, равна 0,5, во второй – 0,7, в 3-й – 0,4. Какова вероятность наличия книги хотя бы в одной библиотеке?

2. Контролер проверяет изделия на соответствие стандарту. Известно, что вероятность соответствия стандарту изделий равна 0,9. Какова вероятность того, что из двух проверенных изделий хотя бы одно стандартное?

3. Вероятность правильного оформления накладной при передаче продукции равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех накладных не менее двух оформлены правильно.

Схема Бернулли. Теоремы Муавра-Лапласа, Пуассона

1. Найти вероятность поражения цели при залповой стрельбе отделением из 5 солдат, если вероятность попадания в цель каждым солдатом составляет 0,6.

2. Обувной магазин продал 200 пар обуви. Вероятность того, что в магазин будет возвращена бракованная пара обуви, равна 0,01. Найти вероятность того, что из проданных пар обуви будет возвращено 4 пары.

3. Вероятность обращения в банк клиента за возвращением депозита равна 0,3. Найти вероятность того, что из 100 клиентов, посетивших банк, ровно 30 потребуют возврата депозита. Найти вероятность того, что из 100 клиентов, посетивших банк, от 20 до 30 потребуют возврата депозита.

4. В новом микрорайоне поставлено 10000 кодовых замков на входных дверях домов. Вероятность выхода из строя одного замка в течение месяца равна 0,0002. Найти вероятность того, что за месяц откажут три замка.

Формулы полной вероятности и Байеса

1. Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в период экономического роста, равна 0,04, а в период экономического кризиса – 0,13. Предположим, что вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0,65. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит?

2. Два цеха завода производят железобетонные изделия. Первый цех производит 45 % всех изделий. Производственный брак составляет соответственно 1 % и 2 %. Какова вероятность того, что случайно выбранный замок является дефектным?

3. Эксперт по туризму, нанятый компанией, организующей круизы, предсказывает, что вероятность того, что корабль будет полон в течение сезона, будет равна 0,92, если доллар не подорожает по отношению к рублю, и с вероятностью – 0,75, если доллар подорожает. По оценкам экономистов, вероятность того, что в течение сезона доллар подорожает по отношению к рублю, равна 0,23. Чему равна вероятность того, что билеты на все круизы будут проданы?

Случайные величины

1. Баскетболист делает три штрафных броска. Вероятность попадания при каждом броске равна 0,7. Найти закон распределения и числовые характеристики числа попаданий мяча в корзину.

2. Среди 10 лотерейных билетов имеется 4 выигрышных. Наудачу покупают 2 билета. Найти закон распределения и числовые характеристики числа выигрышных билетов среди купленных.

3. Вероятность брака при изготовлении детали данного вида 2 %. Найти закон распределения и числовые характеристики числа бракованных деталей из трех наугад взятых.