- •Тригонометрическая форма. Действия.
- •Умножение
- •Степень комплексного числа:
- •Извлечение корня n-степени:
- •Показательная форма комплексного числа. Извлечения корня
- •Многочлены: определение, теорема Безу, разложение на множители.
- •Множества и действия над ними.
- •Многочлены с действительными коэффициентами их свойства.
- •Высказывания и действия над ними.
- •Предел функций: два определения, геометрический смысл.
- •Последовательность и её предел.
- •Правила нахождения предела.
- •Теорема о сжатой переменной
- •Бесконечно малые и бесконечно большие, связь между ними.
- •Основные свойства бесконечно малых пределов.
- •Критерий существования конечного предела. Действия над пределами.
- •Деление:
- •Сравнение бесконечно малых. Принцип замены на эквиваленту.
- •Непрерывность функции в точке(определение).
- •Классификация точек разрыва
- •Свойства функций, непрерывных в точке(3 свойства).
- •Свойства функций, непрерывных в отрезке.
- •Задачи о касательной и мгновенной скорости.
- •Определение производнойб её геометрический смысл.
- •Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
- •Основные правила дифференцирования(с доказательством).
- •Производная функций, заданных параметрически.
- •Теорема Роля, ее геометрический смысл. Замечания.
- •Теорема Лагранжа, её геометрический смысл. Формулы Лагранжа.
- •Теорема Коши (формулировка). Правило Лопиталя.
- •Дифференцирование сложных функций нескольких переменных.
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума
- •Дифференциал дуги. Кривизна кривой.
-
Математический язык: алфавит, синтаксис, семантика.2 взгляда на математику. Греческий алфавит.
2 взгляда на матан:
-
Прикладной (практический).
-
Прогресс(Теория).
1)=> следует(достаточно)
2) необходимо и достаточно
3) ∃ существует
4) ∀ любой (Квантор всеобщности)
5) определение(равно по определению)
6) ∨ дизъюнкция(лог. или)
7) ∧ конъюнкция (лог. и)
8) ¬ не(отрицание)
9) L(наоборот) пусть
10)! существует единственный (Квантор единственности)
-
Комплексные числа: определение, изображение на плоскости. Модуль и аргумент.
Опр1: комплексным числом z, называется выражение вида z=x+iy, где i=sqrt(-1), i2=-1.
Rez=x; Imz=y.
|z|=|r|=sqrt(x2+y2) – модуль
ϕ=Arg z – аргумент.
0≤arg z≤2П
Arg z=arg z + 2ПК, к ϵ Z
X=|z|Cos ϕ
Y=|z|Sin ϕ
Z=|z|(Cos ϕ + iSin ϕ)-Тригонометрическая форма комплексного числа.
eiϕ=Cos ϕ + Sin ϕ – Формула Эйлера.
z=x + yi=|z|eiϕ
-
Алгебраическая форма комплексного числа. Действия.
-
Равенство:
z1=x1 + y1i
z2=x2 + y2i
z1=z2, если x1=x2 и y1=y2
-
Сложение:
z1 + z2=(x1+x2)+(y1+y2)i
-
Вычитание:
z1 - z2=(x1-x2)+(y1-y2)i
-
Умножение:
z1z2=(x1+ y1i)( x2+y2i)
-
Степень комплексного числа:
zn=z*z*…*z- n-раз
Zn=|z|n(Cos nϕ + iSin nϕ)
zn =|z|neinϕ
-
Деление комплексных чисел:
z1/z2=(x1+iy1)(x2-iy2)/(x2+iy2)(x2-iy2)=(x1x2+y1y2)+i(x2y1-x1y2)/x22y22
-
Извлечение корня n-степени:
nsqrt z=nsqrt( |z|( Cos ϕ + Sin ϕ))=nsqrt(|z|)*( Cos ((ϕ+2пк)/n) + iSin ((ϕ+2пк)/n))
формула Муавра k=0,1,2…n-1.
-
Тригонометрическая форма. Действия.
-
Умножение
z1z2=|z1||z2|( Cos(ϕ1+ ϕ2) +i Sin(ϕ1+ ϕ2))
-
Деление
z1/z2=|z1|/|z2|*( Cos(ϕ1- ϕ2) +i Sin(ϕ1- ϕ2))
-
Степень комплексного числа:
Zn=|z|n(Cos nϕ + iSin nϕ)
zn =|z|neinϕ
-
Извлечение корня n-степени:
nsqrt z=nsqrt( |z|( Cos ϕ + Sin ϕ))=nsqrt(|z|)*( Cos ((ϕ+2пк)/n) + iSin ((ϕ+2пк)/n))
формула Муавра k=0,1,2…n-1.
-
Показательная форма комплексного числа. Извлечения корня
z=|z|eiϕ-показательная форма.
Sqrt(z)=sqrt(|z|)ei(ϕ+2пк/n)
-
Многочлены: определение, теорема Безу, разложение на множители.
Многочленом называется сумма выражений, которые содержат константы, степени переменных и их произведения.
Th. Безу: При делении многочлена Pn(x)/x-c, где с – комплексное число, получается остаток равный значению многочлена, который получается при х равном с.
Сл-е 1. Для того, чтобы многочлен Pn делился без остатка на разность х-с ó чтобы выполнялось условие Pn(c)=0.
Сл-е 2. Если Pn(x)с вещественным коэффициентом имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена.
Основная теорема высшей алгебры: Всякий многочлен в степени n>=1 имеет хотя бы 1 вещественный или комплексный корень.
Сл-е. Если в разложении многочлена Pn(x) с вещественным коэффициентом комплексное число a+bi является корнем кратным к, то и сопряженное комплексное число a-bi является корнем той же кратности.
-
Множества и действия над ними.
Опр1:Множество -это совокупность чисел, обладающих некоторыми характерными свойствами.
Опр2:Множество B называется подмножеством множества A, если каждый элемент множества B является элементом множества A.
Опр3: Два множества A и B называются равными, если они содержат одни и те же элементы.
Опр4: Суммой множеств A и B, называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A или B.
Опр5:Пересечением или произведением множеств A и B называется множество, состоящих из элементов, принадлежащих как множеству A, так и множеству B.
Опр6:Разностью Двух множеств A и B называется множество , состоящее из элементов, которые принадлежат множеству A, но не принадлежат множеству B.
Опр7:Два множества называются эквивалентными, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие.
Множество называется счётным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел.
-
Многочлены с действительными коэффициентами их свойства.
Многочлены с действительными коэффициентами. от комплексной переменной , в предположении, что его коэффициенты- действительные числа. Сформулируем и докажем ряд свойств такого многочлена.
1.Если - число, сопряжённое к числу , то .
2. Если - корень многочлена , то - тоже корень этого многочлена.
3. Если - корень многочлена с действительными коэффициентами , то без остатка делится на квадратный трёхчлен , где .
4. Если - корень многочлена кратности , то - корень этого многочлена той же кратности. Док-во: непосредственно следует из утверждений 2,3.
5. Любой многочлен -ой степени может быть представлен, и притом единственным с точностью до порядка сомножителей образом, в виде
, где
- попарно различные действительные корни этого многочлена, - их кратности, квадратные трёхчлены (соответствующие попарно различным парам сопряжённых корней кратностей ) с действительными коэффициентами не имеют действительных корней (т.е. ), . Это утверждение непосредственно следует из результатов этого и предыдущего разделов.
6. Предположим теперь, чтобы переменная принимает только действительные значения, т.е. . Тогда утверждение 5 можно переформулировать так: любой многочлен с действительными коэффициентами от действительной переменной может быть представлен, и притом единственным с точностью до порядка сомножителей образом, в виде