- •1. Вектора. Основные понятия.
- •2. Линейные операции над векторами. Свойства этих операций.
- •3. Проекции вектора на ось.
- •4. Линейная зависимость и независимость векторов.
- •5. Декартов базис. Длина вектора в декартовом базисе.
- •6. Скалярное произведение. Выражение скалярного произведения через координаты.
- •7. Векторное произведение. Выражение через координаты. Физический смысл.
- •8. Смешанное произведение, выражение через координаты, геометрический смысл.
- •9. Предмет аналитической геометрии, 2 её основные задачи.
- •10. Плоскости в пространстве: вывод канонического уравнения, приведение общих уравнений к каноническим.
- •12. Взаимное расположение двух прямых в пространстве, взаимное расположение прямой и плоскости.
- •13. Прямая на плоскости: различные виды уравнений, взаимное расположение двух прямых.
- •20. Преобразование координат: параллельный перенос, поворот осей.
- •21. Приведение общего уравнения прямой к каноническому виду(можно на конкретном примере).
- •22. Матрицы, основные определения.
- •23. Линейные операции над матрицами, перемножение матриц.
- •24. Обратная матрица, её построение.
- •25. Матричный метод решения линейных систем. Формулы Крамера.
- •26. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы.
1. Вектора. Основные понятия.
Вектор - это величина которую можно задавать с помощью числа и некоторого направления.
Длина вектора равна
Опр1: Векторы a и b называются равными если совпадают их длины и направления.
Векторы a и b называэтся противоположно направленными если их длины равны, а направления противоположны. А если у них разные длины, то сонаправлены, и противоположны.
Векторы начала которых можно поместить в любые точки пространства называются свободными.
Опр2: Если начало и конец вектора совпадают, такой вектор называется нулевым.
Опр3: Два не нулевых вектора a и b лежащих на одной прямой или параллельных прямых, коллинеарны.
Опр4: Вектор, чья длина вектора a=1, назвается единичным вектором или ортой.
2. Линейные операции над векторами. Свойства этих операций.
Произведение вектора a на λ называется вектор c. Направление совпадает c вектора и a, если λ >0, и ему протовоположно если λ <0.
Сумма векторов a и b расположены так что начала, b и a называется вектор c, у которого начало совпадает с началом a , а конеч с с концом b.
Свойства:
1) a+0=a
2) a+b=b+a
3)(a+b)+c=a+(b+c)
c=a-b=a+(-b)
3. Проекции вектора на ось.
Проекцией вектора лежащей на оси на эту ось, называется число по абсолютной величине равное длине вектора и взятое со знаком плюс, если направление вектора совпадает с направлением оси и со знаком минус, если они противоположны.
Проекцией вектора не лежащего l не лежащей на этой оси, называется проекции его компоненты по оси l на эту ось.
4. Линейная зависимость и независимость векторов.
Опр1: Пусть имеется n векторов(a1,a2,a3...an) и n постоянных коэффициентов(c1,c2,c3..cn), тогда выражение c1+a1,a2+c2...an+cn называется линейной комбинацией векторов.
Опр2: Векторы a1,a2..an называются линейно зависимыми если существуют числа c1,c2...cn из которых хотя бы один отличен от 0, также что линейная комбинация =0.
Опр3: Векторы a1,a2..an называются линейно зависимыми, еслихотя бы один вектор из этой системы можно выразить в виде линейной комбинации остальных.
ak=c1*a1+c2*a1+..+cn-1*an
Опр4: Векторы a1,a2..an называются линейно независимыми если ни один из этих векторов нельзя представить в виде линейной комбинакции остальных.
Опр5: векторы a1,a2..an называются линейно независимыми если линейная комбинация равна 0, лишь при условии c1=c2=..=cn=0
Опр6: Три ненулевых вектора называются компаланарными если они лежат в одной плоскостиили на паралельных плоскостях.
Опр7: Совокупность любых 2 линейно независимых векторов принадлежащих данной плоскости называется базисом этой плоскости β={e1,e2}, a=x1*e1+x2*e2
Опр8: Совокупность любых 3 линейно независимых векторов в пространстве назывеется базисом в пространстве β={e1,e2,e3}, a=x1*e1+x2*e2+x3*e3
5. Декартов базис. Длина вектора в декартовом базисе.
6. Скалярное произведение. Выражение скалярного произведения через координаты.
Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b называется число равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.
a*b=|a|*|b|*Cos(a^b)
a*a=|a|^(2)
Через координаты a*b=ax*bx+ay*by+az*bz
Cos(a^b)=a*b/(|a|*|b|)