18. Нахождение решений общей системы уравнений.

Пусть дана неоднородная система m линейных уравнений с n неизвестными

Предположим, что система совместна, т.е. r(A)==r. Следовательно, существует минор порядка rматрицы А, отличный от нуля. Предположим, что он расположен в левом верхнем углу матрицы. Если это не так, то можно переставить уравнения и перенумеровать неизвестные.

.

Первые r уравнений системы линейно независимы. Остальные выражаются через них. Следовательно, их можно отбросить.

Определение 1. Переменные, коэффициенты при которых образуют минор, отличный от нуля (базисный минор), называются базисными переменными (x₁, x₂, …, x_r). Остальные переменные x_r+1, …, x_n называются свободными.

Дадим свободным переменным произвольные числовые значения x_r+1=с_r+1, x_r+2=с_r+2, …, x_n=c_n.

Запишем систему в виде

Мы получили систему из r линейных уравнений с r неизвестными, определитель которой отличен от нуля. Она имеет единственное решение.

 - общее решение.

Определение 2. Выражение базисных переменных через свободные называется общим решением системы.

Определение 3. Решение системы, полученное из общего при конкретных значениях свободных переменных, называется частным решением. Частных решений у системы бесконечно много, все они содержатся в общем решении.

Определение 4. Частное решение, полученное из общего, когда свободные переменные равны нулю, называется базисным решением системы.

Определение 5. Базисное решение, координаты которого неотрицательны, называется опорным решением системы.

19. Метод Гаусса. Нахождение опорных решений

 

Определение 1. Элементарными преобразованиями системы называются:

1)     умножение уравнения на число, отличное от нуля;

2)     прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на некоторое число, отличное от нуля.

3)     перестановка двух уравнений;

4)     отбрасывание уравнения 0=0.

Если получено уравнение 0=k, то система несовместна.

Метод Гаусса состоит в приведении системы к диагональному виду путем последовательного исключения неизвестных. Количество исключенных неизвестных равно числу линейно независимых уравнений. Переменная считается исключенной, если она содержится только в одном уравнении с коэффициентом 1.

Метод Гаусса удобно применять к расширенной матрице системы, левую часть которой с помощью элементарных преобразований матрицы нужно привести к единичной матрице.

20. Совместность однородной системы.

Рассмотрим однородную систему

.

Однородная система всегда совместна, так как всегда имеет тривиальное (нулевое) решение . Выясним, когда данная система имеет нетривиальное решение.

Теорема 1. Однородная система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, меньше числа неизвестных.

Доказательство. Пусть система совместна. Это может быть тогда и только тогда, когда найдутся числа с₁, с₂, …, с_n, при подстановке которых в систему мы получим m тождеств. Эти m тождеств можно записать в виде

.

Следовательно, система векторов-столбцов матрицы А линейно зависима. А это может быть тогда и только тогда, когда ранг системы векторов-столбцов меньше n, т.е. r(A)<n.

Следствие. Квадратная однородная система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, равен нулю.

Доказательство. Так как r(A)<n, то столбцы матрицы линейно зависимы и, следовательно, определитель матрицы равен нулю.