vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive

251

nE IMEET, WOOB]E GOWORQ, I DISTRIBUTIWNOSTX UMNOVENIQ PO OTNO- [ENI@ K RAZNOSTI, MOVNO UTWERVDATX LI[X, ^TO

²R ¢ (S n T ) ¶ (R ¢ S) n (R ¢ T ),

²(R n S) ¢ T ¶ (R ¢ T ) n (S ¢ T ),

²pROIZWEDENIE NETRIWIALXNYH OTNO[ENIJ MOVET BYTX TRIWIALXNYM OTNO[ENIEM. |TO PROISHODIT, ESLI pr2(R) \ pr1(S) = ?.

3. pRIMERY.

² nAPRIMER, DLQ R => NA Z OTNO[ENIE R2 = R ¢ R SOSTOIT IZ WSEH PAR (m; n), DLQ KOTORYH SU]ESTWUET k 2 Z TAKOE, ^TO m < k < n, T.E., INYMI SLOWAMI, IZ WSEH PAR (m; n) TAKIH, ^TO n > m + 1. aNALOGI^NO R3 = R¢R¢R SOSTOIT IZ WSEH PAR (m; n) TAKIH, ^TO n > m+2, I WOOB]E Rs SOSTOIT IZ PAR (m; n) TAKIH, ^TO n > m + (s ¡ 1).

x 8. oBRATNYE OTNO[ENIQ

kAK MY ZNAEM, OTOBRAVENIQ f : X ¡! Y O^ENX REDKO OBLADA@T OBRATNYMI. oDNAKO SOPOSTAWLENIE KAVDOMU \LEMENTU y 2 Y EGO POLNOGO PROOBRAZA f¡1(y) PO-PREVNEMU PRINADLEVIT Rel(Y; X). |TO NAWODIT NA MYSLX OPREDELITX DLQ L@BOGO BINARNOGO OTNO[ENIQ R OBRATNOE OTNO[ENIE ANALOGI^NYM OBRAZOM — KAK TRANSPONIROWANIE R OTNOSITELXNO BISSEKTRISY PERWOGO KWADRANTA. sLEDU@]AQ OPERACIQ NAD OTNO[ENIQMI BYLA TAKVE WWEDENA a.DE mORGANOM.

oPREDELENIE. oBRATNOE OTNO[ENIE R¤ 2 Rel(Y; X) K BINARNOMU OTNO[ENI@ R 2 Rel(X; Y ) OPREDELQETSQ POSREDSTWOM yR¤x () xRy. iNYMI SLOWAMI,

R¤ = f(y; x) 2 Y £ X j (x; y) 2 Rg:

kOMMENTARIJ I PREDOSTEREVENIE. oBRATNOE OTNO[ENIE ^ASTO — BEZO WSQKIH K TOMU OSNOWANIJ! — OBOZNA^AETSQ ^EREZ R¡1. oDNAKO SLEDUET IMETX W WIDU, ^TO OBRATNOE OTNO[ENIE R¤, WOOB]E GOWORQ, OTN@DX NE QWLQETSQ OBRATNYM K R PO OTNO[ENI@ K OPERACII UMNOVENIQ OTNO[ENIJ!!! tAKIM OBRAZOM, TRADICIONNYJ I OB]EUPOTREBITELXNYJ TERMIN OBRATNOE OTNO[ENIE I, TEM BOLEE, OBOZNA^ENIE R¡1 WWODQT W ZABLUVDENIE. w DEJSTWITELXNOSTI, TERMIN OBRATNOE OTNO[ENIE OPRAWDAN TOLXKO DLQ BIEKTIWNYH OTOBRAVENIJ, KOGDA DEJSTWITELXNO R¤ = R¡1, GDE ^EREZ R¡1 OBOZNA^ENO OBRATNOE K R OTOBRAVENIE. qSNO, ^TO (R¤)¤ = R I R¢R¤; R¤¢R ¶ NO, RAZUMEETSQ, W OB]EM SLU^AE R¢R¤ I R¤ ¢R MOGUT BYTX GORAZDO BOLX[E, ^EM . w DEJSTWITELXNOSTI BYLO

252	NIKOLAJ WAWILOW

BY LOGI^NO NAZYWATX R¤ SIMMETRI^NYM PO OTNO[ENI@ K R, ODNAKO, KAK MY UVE OTMETILI, TERMIN SIMMETRI^NOE OTNO[ENIE USTOJ^IWO ISPOLXZUETSQ DLQ OBOZNA^ENIQ SAMOSIMMETRI^NYH OTNO[ENIJ, SOWPADA@]IH SO SWOIMI OBRATNYMI. s DRUGOJ STORONY, TERMIN PROTIWOPOLOVNOE OTNO[ENIE PRIWODIL BY K NEMINUEMOJ PUTANICE S OPREDELQEMYMI W SLEDU@]EM PARAGRAFE DOPOLNITELXNYMI OTNO[ENIQMI. ~TOBY IZBEVATX WSEH \TIH KONFLIKTOW, NEKOTORYE AWTORY PREDLAGA@T NAZYWATX OTNO[ENIE R¤ TRANSPONIROWANNYM K R I OBOZNA^A@T EGO R0. |TO NAZWANIE PREDSTAWLQETSQ WPOLNE RAZUMNYM, NO POKA NE POLU^ILO [IROKOGO RASPROSTRANENIQ. w TO VE WREMQ NEKOTORYE DRUGIE AWTORY ISPOLXZU@T OBOZNA^ENIE R0 DLQ DOPOLNITELXNOGO K R OTNO[ENIQ. s DRUGOJ STORONY, TERMIN OBRATNYJ PORQDOK I OBOZNA^ENIE R¤ UVE OKOLO WEKA QWLQ@TSQ STANDARTNYMI W TEORII UPORQDO^ENNYH MNOVESTW. pO\TOMU, SO WSEMI WOZMOVNYMI REZERWACIQMI*, Q ISPOLXZU@ TRADICIONNYJ TERMIN OBRATNOE OTNO[ENIE I TRADICIONNOE OBOZNA^ENIE R¤.

2. sWOJSTWA OBRATNOGO OTNO[ENIQ. lEGKO WIDETX, ^TO PEREHOD K OBRATNOMU OTNO[ENI@ OBRAZAET PORQDOK I QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM PO OTNO[ENI@ K OB_EDINENI@ I PERESE^ENI@:

²R µ S =) R¤ µ S¤,

²(R \ S)¤ = R¤ \ S¤,

²(R [ S)¤ = R¤ [ S¤,

²(R n S)¤ = R¤ n S¤.

w TO VE WREMQ, PO OTNO[ENI@ K KOMPOZICII \TO ANTIGOMOMORFIZM:

² (R ¢ S)¤ = S¤ ¢ R¤.

oBRATITE WNIMANIE NA IZMENENIE PORQDKA SOMNOVITELEJ!

sLEDSTWIE. dLQ L@BOGO OTNO[ENIQ R OTNO[ENIQ RR¤ I R¤R SIM- METRI^NY.

3. pRIMERY OBRATNYH OTNO[ENIJ. oBY^NO ZNAK OBRATNOGO OT-

NO[ENIQ POLU^AETSQ OTRAVENIEM ZNAKA ISHODNOGO OTNO[ENIQ OTNOSITELXNO WERTIKALXNOJ OSI:

²	2 PRINADLEVIT	3 WKL@^AET W KA^ESTWE \LEMENTA
² · MENX[E ILI RAWNO		¸ BOLX[E ILI RAWNO
²	< MENX[E	> BOLX[E

*rEZERWACIQ — SDERVIWA@]IJ FAKTOR ILI MOMENT, OGOWORKA, SOMNENIE, PSIHOLOGI^ESKAQ GOTOWNOSTX K OTSTUPLENI@ ILI IZMENENI@ TO^KI ZRENIQ; BEZ REZERWACIJ — POLNOSTX@ I BEZOGOWORO^NO.

MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive			253
²	¿ MNOGO MENX[E	À MNOGO BOLX[E
²	µ SODERVITSQ	¶ SODERVIT
²	½ SOBSTWENNO SODERVITSQ	¾ SOBSTWENNO SODERVIT

²¹ PRED[ESTWUET ILI RAWNO º SLEDUET ILI RAWNO

²	Á PRED[ESTWUET	Â SLEDUET
²	v TONX[E	w GRUBEE
²	@ STROGO TONX[E	A STROGO GRUBEE
²	E NORMALIZUETSQ	D NORMALIZUET

²C SOBSTWENNO NORMALIZUETSQB SOBSTWENNO NORMALIZUET

² ) WLE^ET

( WYTEKAET

wPRO^EM W NEKOTORYH SLU^AQH DLQ OBRATNOGO OTNO[ENIQ IZOBRETA@T SPECIALXNYE ZNAKI:

		.
²	j DELIT	.
		. DELITSQ
x 9.	sIMMETRI^NYE I ANTISIMMETRI^NYE OTNO[ENIQ

oPREDELENIE. oTNO[ENIE R 2 Rel(X) NAZYWAETSQ SIMMETRI^- NYM, ESLI R = R¤, I ANTISIMMETRI^NYM, ESLI R \ R¤ µ .

tAKIM OBRAZOM, R SIMMETRI^NO, ESLI DLQ L@BYH x; y 2 X, IZ TOGO, ^TO xRy SLEDUET yRx, I ANTISIMMETRI^NO, ESLI DLQ L@BYH x; y 2 X, IZ TOGO, ^TO xRy I yRx SLEDUET, ^TO x = y.

zNAKI, OBOZNA^A@]IE SIMMETRI^NYE OTNO[ENIQ, KAK PRAWILO, SIMMETRI^NY OTNOSITELXNO WERTIKALXNOJ OSI, LIBO IME@T CENTR SIMMETRII:

²= RAWNO

²P BUKWALXNO RAWNO

²» \KWIWALENTNO

²´ SRAWNIMO

²¼ PRIBLIVENNO RAWNO

²k NESRAWNIMO

²? KOMAKSIMALXNO ILI WZAIMNO PROSTO

²³ ASIMPTOTI^ESKI \KWIWALENTNO

wPRO^EM, W NEKOTORYH SLU^AQH ZNAKI DLQ SIMMETRI^NYH OTNO[ENIJ MONTIRU@TSQ IZ NESKOLXKIH TAKIH ZNAKOW I W REZULXTATE NE IME@T NI OSI, NO CENTRA SIMMETRII:

254	NIKOLAJ WAWILOW

²» IZOMORFNO

=

oTSTUPLENIE. w PROGRAMMIROWANII ZNAK = ^ASTO ISPOLXZUETSQ NE KAK ZNAK OTNO[ENIQ, A KAK OPERATOR, NAZYWAEMYJ NA PROGRAMMISTSKOM VARGONE Set. pUSTX x OBOZNA^AET PEREMENNU@; S TO^KI ZRENIQ PROGRAMMISTA, ‘PEREMENNAQ’ \TO PROSTO IMQ NEKOTOROGO Q]IKA, KOROBKI, SUNDUKA, KONTEJNERA, Q^EJKI, REGISTRA, LARCA, FUTLQRA ILI [KATULKI. sODERVIMOE \TOJ [KATULKI NAZYWAETSQ TEKU]IM ZNA^ENIEM x. zAPISX x = y NE UTWERVDAET, ^TO SODERVIMOE [KATULKI x RAWNO SODERVIMOMU [KATULKI y. oNA PREDLAGAET PRISWOITX PEREMENNOJ x TEKU]EE ZNA^ENIE PEREMENNOJ y, T.E. IZGOTOWITX KOPI@ SODERVIMOGO [KATULKI y I POLOVITX W [KATULKU x, UNI^TOVIW PRI \TOM STAROE SODERVIMOE [KATULKI x. qSNO, ^TO x = y I y = x \TO SOWSEM NE ODNO I TO VE. nEKOTORYE QZYKI PROGRAMMIROWANIQ OTLI^A@T OPERATOR = NEPOSREDSTWENNOGO PRISWAIWANIQ Set, PRIDA@]IJ PEREMENNOJ x TEKU]EE ZNA^ENIE PEREMENNOJ y NA MOMENT POQWLENIQ \TOGO OPERATORA, OT OPERATORA := OTLOVENNOGO PRISWAIWANIQ SetDelayed, KOTORYJ ZANOWO PRISWAIWAET PEREMENNOJ x TEKU]EE ZNA^ENIE PEREMENNOJ y PRI KAVDOM OBRA]ENII K PEREMENNOJ x.

SIMMETRIZACIQ R [ R¤ SIMMETRI^NAQ ^ASTX R \ R¤.

zADA^A. pUSTX R; S 2 Rel(X) — TAKIE SIMMETRI^NYE OTNO[ENIQ, ^TO R ¢ S µ S ¢ R. pOKAVITE, ^TO TOGDA R ¢ S = S ¢ R.

x 10. dOPOLNITELXNOE OTNO[ENIE

1. dOPOLNITELXNOE OTNO[ENIE.

oPREDELENIE. eSLI R 2 Rel(X; Y ), TO DOPOLNITELXNOE OTNO[E-

NIE R 2 Rel(X; Y ) OPREDELQETSQ POSREDSTWOM xRy () :xRy. iNY- MI SLOWAMI,

R = f(x; y) 2 X £ Y j (x; y) 2= Rg:

R = R pEREHOD K DOPOLNITELXNOMU OTNO[ENI@ SWQZAN S OB_EDINE-

NIEM I PERESE^ENIEM TOVDESTWAMI DE mORGANA:

(R \ S) = R [ S; (R [ S) = R \ S:

(R)¤ = R¤

2. pRIMERY DOPOLNITELXNYH OTNO[ENIJ. pRIWEDEM NESKOLXKO PRIMEROW DOPOLNITELXNYH OTNO[ENIJ. ~ASTO ZNAK DOPOLNITELXNOGO OTNO[ENIQ POLU^AETSQ PERE^ERKIWANIEM ZNAKA ISHODNOGO OTNO[ENIQ:

²	= RAWNO	6= NE RAWNO
²	2 PRINADLEVIT	2= NE PRINADLEVIT
²	µ SODERVITSQ	6µNE SODERVITSQ
² ¸ BOLX[E ILI RAWNO		6¸NE BOLX[E ILI RAWNO

MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive			255
² · MENX[E ILI RAWNO		6·NE MENX[E ILI RAWNO
²	> BOLX[E	6> NE BOLX[E
²	< MENX[E	6< NE MENX[E
²	j DELIT	6 NEj DELIT

zAKON {REDERA. R¤¢(R ¢ S) µ S. iNYMI SLOWAMI, UTWERVDAETSQ, ^TO R¤¢(R ¢ S)\S = ?. w SAMOM DELE, PREDPOLOVIM, ^TO \TO PERE^ENIE =6 ?. tOGDA NAJDETSQ PARA (x; z) 2 R¤ ¢ (R ¢ S) \ S. tEM SAMYM, SU]ESTWUET y TAKOE, ^TO (x; y) 2 R¤, (y; z) 2 R ¢ S. nO TOGDA (y; x) 2 R I, ZNA^IT, (y; z) 2 R ¢ S, PROTIWORE^IE.

x 11. tRANZITIWNYE OTNO[ENIQ

If A = B and B = C, then A = C, except where void or prohibited by law.

Roy Santoro

w DALXNEJ[EM MY BUDEM IZU^ATX W OSNOWNOM TRANZITIWNYE BINARNYE OTNO[ENIQ, DLQ KOTORYH IZ (x; y) 2 R I (y; z) 2 R WYTEKAET, ^TO

(x; z) 2 R.

l@BYE WNUTRENNIE BINARNYE OTNO[ENIQ NA ODNOM I TOM VE MNOVESTWE MOVNO SKOMPONIROWATX, OSOBENNO INTERESNY STEPENI REFLEKSIWNYH OTNO[ENIJ. dELO W TOM, ^TO W \TOM SLU^AE KAVDAQ POSLEDU- @]AQ STEPENX SODERVIT PREDYDU]U@: = R0 µ R µ R ¢ R µ : : : .

— OSOBENNO WAVNY OTNO[ENIQ, DLQ KOTORYH \TA CEPO^KA WKL@^ENIJ STABILIZIRUETSQ UVE NA WTOROM [AGE.

oPREDELENIE. bINARNOE OTNO[ENIE R 2 Rel(X) NAZYWAETSQ TRANZITIWNYM, ESLI R ¢ R µ R. pO OPREDELENI@ PROIZWEDENIQ BINARNYH OTNO[ENIJ \TO OZNA^AET, W TO^NOSTI, ^TO

xRy I yRz =) xRz

DLQ L@BYH x; y; z 2 R.

wNUTRENNEE BINARNOE OTNO[ENIE NAZYWAETSQ \KWIWALENTNOSTX@, ESLI ONO REFLEKSIWNO, TRANZITIWNO I SIMMETRI^NO, I PORQDKOM, ESLI ONO REFLEKSIWNO, TRANZITIWNO I ANTISIMMETRI^NO, \TI DWA TIPA OTNO[ENIJ BUDUT IZU^ENY W SLEDU@]IH PARAGRAFAH.

² oTNO[ENIE jx ¡ yj < 1 NA MNOVESTWE R REFLEKSIWNO I SIMMETRI^- NO, NO NE TRANZITIWNO.

256	NIKOLAJ WAWILOW

TRANZITIWNOE ZAMYKANIE. Cl(R) = R [ R2 [ : : : , PRI KOTOROM

(x; y) 2 Cl(R) W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA x I y MOVNO SOEDINITX POSLEDOWATELXNOSTX@ x = x0; x1; : : : ; xn = y DLINY n ¸ 1, W KOTOROJ DWA SOSEDNIH ^LENA NAHODQTSQ W OTNO[ENII R:

(x0; x1); (x1; x2); : : : ; (xn¡1; xn) 2 R

tAKIM OBRAZOM, OTNO[ENIE W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE TRANZITIWNO, KOGDA Cl(R) = R. zNAK TRANZITIWNOGO ZAMYKANIQ ^ASTO POLU^AETSQ UDWOENIEM ZNAKA ISHODNOGO OTNO[ENIQ. nAPRIMER, 22

oTNO[ENIE NAZYWAETSQ ACIKLI^ESKIM, ESLI Rn \ = ? DLQ WSEH n 2 N.

x 10. oBOB]ENIQ TRANZITIWNOSTI

gOWORQT, ^TO R SLABO TRANZITIWNO, ESLI R3 µ R.

zADA^A. pOKAVITE, ^TO DLQ SLABO TRANZITIWNOGO OTNO[ENIQ Cl(R) =

R [ R2.

bINARNYE OTNO[ENIQ R 2 Rel(X; Y ) I S 2 Rel(Y; X) NAZYWA@TSQ

WZAIMNO TRANZITIWNYMI, ESLI RSR µ R I SRS µ S. oTNO[ENIE

R 2 Rel(X; Y ) NAZYWAETSQ SAMOTRANZITIWNYM, ESLI R I R¤ WZAIMNO TRANZITIWNY.

zADA^A.

²dOKAVITE, ^TO ESLI R I S WZAIMNO TRANZITIWNY, TO RS I SR TRANZITIWNY.

²dOKAVITE, ^TO ESLI OTNO[ENIQ R I S WZAIMNO TRANZITIWNY, TO OBRATNYE OTNO[ENIQ R¤ I S¤ TOVE WZAIMNO TRANZITIWNY.

²dOKAVITE, ^TO ESLI RR¤R µ R, TO OTNO[ENIQ R I R¤ WZAIMNO TRANZITIWNY.

oTNO[ENIE R 2 Rel(X). NAZYWAETSQ OTNO[ENIEM fERRERSA, ESLI R I R¤ WZAIMNO TRANZITIWNY.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO ESLI R QWLQETSQ OTNO[ENIEM fERRERSA, TO ² R¤, R, R¤ TOVE QWLQ@TSQ OTNO[ENIQMI fERRERSA.

²

x 11. oTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI

wSKORE mAKSIM S TAKOJ SILOJ OWLADEL FILOSOFIEJ MARKSIZMA, ^TO MOG BEZ TRUDA IZOBRETATX NOWYE NEPRELOVNYE ZAKONY

MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive

257

RAZWITIQ ^ELOWE^ESKOGO OB]ESTWA. tAK, GLQDQ NA SWOEGO DRUGA fEDORA, DA I PROSTO TAK, DOPIWAQ WTORU@ BUTYLKU PORTWEJNA, mAKSIM ^ASTO GOWORIL: “oDINAKOWOE ODINAKOWOMU — ROZNX!”

wLADIMIR {INKAREW, ‘mAKSIM I fEDOR’.

1. oTNO[ENIQ \KWIWALENTNOSTI. wAVNEJ[IJ TIP OTNO[ENIJ, S KOTORYM MY BUDEM IMETX DELO, \TO OTNO[ENIQ \KWIWALENTNOSTI.

oPREDELENIE. bINARNOE OTNO[ENIE R 2 Rel(X) NA MNOVESTWE X

NAZYWAETSQ \KWIWALENTNOSTX@, ESLI ONO

²rEFLEKSIWNO: X µ R;

²sIMMETRI^NO: R¤ = R;

²tRANZITIWNO: R ¢ R µ R.

mY BUDEM OBOZNA^ATX \KWIWALENTNOSTX SLEDU@]IM OBRAZOM: xRy () x » y (^ITAETSQ x \KWIWALENTNO y), NO ^ASTO POTREBLQ@TSQ I

DRUGIE SIMWOLY: », ´, =, I TAK DALEE (NAZWANIQ \KWIWALENTNOSTEJ,

=

KOTORYE BUDUT NAM WSTRE^ATXSQ I, SOOTWETSTWENNO, ^TENIQ \TIH SIMWOLOW BUDUT OPREDELQTXSQ KONTEKSTOM). pO OPREDELENI@,

²x » x (REFLEKSIWNOSTX),

²x » y =) y » x (cIMMETRI^NOSTX),

²x » y I y » z =) x » z (TRANZITIWNOSTX).

nA L@BOM MNOVESTWE ESTX DWA O^EWIDNYH OTNO[ENIQ \KWIWALENT-

NOSTI: TOVDESTWENNOE, KOGDA x » y =) x = y I UNIWERSALXNOE,

KOGDA x » y DLQ WSEH x, y.

2. kLASSY \KWIWALENTNOSTI. dLQ KAVDOGO \LEMENTA x 2 X ^EREZ x OBOZNA^AETSQ SOOTWETSTWU@]IJ KLASS \KWIWALENTNOSTI, OPREDELQEMYJ KAK MNOVESTWO WSEH y 2 X \KWIWALENTNYH x: x = fy 2 X j y » xg. pRI \TOM SAM \LEMENT x NAZYWAETSQ PREDSTAWITELEM KLASSA x. tAK KAK PO OPREDELENI. x = y () x » y, TO x ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ L@BYM SWOIM PREDSTAWITELEM. oPREDELENIE \KWIWALENTNOSTI MOVET BYTX PEREFORMULIROWANO TEPERX SLEDU@]IM OBRAZOM:

²x 2 x (REFLEKSIWNOSTX),

²y 2 x =) x 2 y (cIMMETRI^NOSTX),

²y 2 x & z 2 y =) z 2 x (TRANZITIWNOSTX).

~A]E WSEGO MY BUDEM POLXZOWATXSQ TRANZITIWNOSTX@ W SLEDU@]EJ FORME: ESLI y; z 2 x, TO y = z.

258	NIKOLAJ WAWILOW

3. pRIMERY OTNO[ENIJ \KWIWALENTNOSTI. nAPOMNIM TEPERX NESKOLXKO DRUGIH PRIMEROW, KOTORYE NAM WSTRE^ALISX:

²|KWIWALENTNOSTX (IZOMORFIZM) MNOVESTW. rASSMOTRIM KA-

KOE-TO MNOVESTWO X MNOVESTW, NAPRIMER, 2Z DLQ NEKOTOROGO FIKSIROWANNOGO Z. tOGDA A » B () jAj = jBj () SU]ESTWUET BIEKCIQ MEVDU A I B.

²aSSOCIIROWANNOSTX. pUSTX X = Z I m » n () mjn & njm.

²sRAWNIMOSTX PO MODUL@ m. pUSTX X = Z I m – NEKOTOROE FIK-

SIROWANNOE NATURALXNOE ^ISLO. pOLOVIM x » y () x ´ y (mod m) (NAPOMNIM, ^TO \TO OZNA^AET, ^TO x ¡ y DELITSQ NA m).

²sRAWNIMOSTX PO MODUL@ Z. pUSTX TEPERX X = R. bUDEM GOWORITX, ^TO DWA WE]ESTWENNYH ^ISLA SRAWNIMY PO MODUL@ Z, I PISATX x ´ y (mod Z), ESLI IH DROBNYE ^ASTI SOWPADA@T. nAPOMNIM, ^TO DROBNAQ ^ASTX Frac(x) 2 [0; 1) ^ISLA x 2 R — \TO RAZNOSTX x ¡ Ent(x), GDE Ent(x) OBOZNA^AET CELU@ ^ASTX x, T.E. NAIBOLX[EE CELOE n TAKOE,

^TO n · x. pO OPREDELENI@, x = Ent(x) + Frac(x). tAKIM OBRAZOM, x ´ y (mod Z) () Frac(x) = Frac(y).

mNOVESTWO PRIMEROW OTNO[ENIJ \KWIWALENTNOSTI SODERVALOSX W \LEMENTARNOJ GEOMETRII. pOMIMO UVE UPOMINAW[IHSQ KONGRU\NTNOSTI, PODOBIQ, PARALLELXNOSTI, I T.D. MOVNO PRIWESTI SLEDU@]IE PRIMERY.

²rAWENSTWO DLIN. pUSTX X MNOVESTWO WEKTOROW NA PLOSKOSTI ILI W TREHMERNOM PROSTRANSTWE. bUDEM GOWORITX, ^TO x » y, ESLI DLINY WEKTOROW x I y SOWPADA@T.

²rAWENSTWO PLO]ADEJ. pUSTX X — ‘MNOVESTWO FIGUR’ NA PLOSKOSTI. bUDEM S^ITATX, DWE FIGURY A I B \KWIWALENTNY, ESLI ONI IME@T ODINAKOWU@ PLO]ADX (LIBO ESLI NI DLQ ODNOJ IZ NIH PLO]ADX NE OPREDELENA).

4.iNFIMUM I SUPREMUM DWUH OTNO[ENIJ \KWIWALENTNOSTI. qSNO, ^TO DLQ L@BYH DWUH OTNO[ENIJ \KWIWALENTNOSTI R; S IH PERESE^ENIE R \ S TOVE BUDET OTNO[ENIEM \KWIWALENTNOSTI, PRI^EM NAIBOLX[IM OTNO[ENIEM \KWIWALENTNOSTI, SODERVA]IMSQ KAK W R, TAK I W S. iNYMI SLOWAMI, R \ S = inf(R; S) W RE[ETKE OTNO[ENIJ \KWIWALENTNOSTI.

s DRUGOJ STORONY, O^EWIDNO, ^TO R [ S, WOOB]E GOWORQ, SOWER[ENNO NE OBQZANO BYTX TRANZITIWNYM I, PO\TOMU, ^REZWY^AJNO REDKO QWLQETSQ OTNO[ENIEM \KWIWALENTNOSTI. s DRUGOJ STORONY, TAK KAK R[S SIMMETRI^NO, TO NAIMENX[EE OTNO[ENIE \KIWALENTNOSTI sup(R; S), SODERVA]EE KAK R, TAK I S, SOWPADAET S TRANZITIWNYM ZAMYKANIEM R [ S.

MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive

259

qSNO, ^TO R [ S µ R ¢ S; S ¢ R. bUDET LI PROIZWEDENIE R ¢ S DWUH OTNO- [ENIJ \KWIWALENTNOSTI SNOWA OTNO[ENIEM \KWIWALENTNOSTI? sLEDU- @]AQ ZADA^A POKAZYWAET, ^TO DALEKO NE WSEGDA.

zADA^A. pUSTX R, S — DWA OTNO[ENIQ \KWIWALENTNOSTI NA MNOVESTWE X. dOKAVITE, ^TO DLQ TOGO, ^TOBY R¢S BYLO OTNO[ENIEM \KWIWALENTNOSTI, NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY R ¢ S = S ¢ R. w \TOM SLU^AE sup(R; S)R ¢ S.

rE[ENIE. =) eSLI R ¢S SIMMETRI^NO, TO R ¢S = (R ¢S)¤ = S¤ ¢R¤ =

S ¢ R.

(= oBRATNO, PUSTX R¢S = S¢R. tAK KAK µ R; S, TO = ¢ µ R¢ S, TAK ^TO R¢S REFLEKSIWNO. kROME TOGO, (R¢S)¤ = S¤¢R¤ = S¢R = S¢S, TAK ^TO R¢S SIMMETRI^NO. nAKONEC, (R¢S)¢(R¢S) = (R¢R)¢(S¢S) = R¢S, TAK ^TO R ¢ S TRANZITIWNO.

pUSTX X I Y DWA MNOVESTWA S OTNO[ENIQMI \KWIWALENTNOSTI ». wWEDEM OTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI NA X £ Y , POLAGAQ

(x1; y1) » (x2; y2) () x1 » x2; y1 » y2:

x 13. rAZBIENIQ I FAKTOR-MNOVESTWA

nA DREWNIH STRANICAH KITAJSKOJ \NCIKLOPEDII “nEBESNAQ IMPERIQ BLAGODETELXNYH ZNANIJ” NAPISANO, ^TO VIWOTNYE DELQTSQ NA a) PRINADLEVA]IH IMPERATORU, B) NABALXZAMIROWANNYH, W) PRIRU^ENNYH, G) SOSUNKOW, D) SIREN, E) SKAZO^NYH, V) OTDELXNYH SOBAK, Z) WKL@^ENNYH W \TU KLASSIFIKACI@, I) BEGA@]IH KAK SUMAS[ED[IE, K) BES^ISLENNYH, L) NARISOWANNYH TON^AJ[EJ KISTX@ IZ WERBL@VXEJ [ERSTI, M) PRO^IH, N) RAZBIW[IH CWETO^NU@ WAZU, O) POHOVIH IZDALI NA MUH.

hORHE lUIS bORHES, aNALITI^ESKIJ QZYK dVONA uILKINSA

(sOBR. sO^., T.2, S.85)

nAPOMNIM, ^TO RAZBIENIEM MNOVESTWA X NAZYWAETSQ EGO PREDSTAWLENIE KAK DIZ_@NKTNOGO OB_EDINENIQ KAKOGO-TO SEMEJSTWA PODMNOVESTW: X = `Xi, i 2 I (SM. x 1). pONQTIE RAZBIENIQ PO SUTI SOWPADAET S PONQTIEM \KWIWALENTNOSTI. a IMENNO, KAVDOMU RAZBIENI@ MOVNO SOPOSTAWITX OTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI, DLQ KOTOROGO x » y TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA x; y 2 Xi DLQ NEKOTOROGO i.

oBRATNO, SLEDU@]EE PREDLOVENIE POKAZYWAET, ^TO KAVDAQ \KWIWALENTNOSTX NA X ZADAET RAZBIENIE X NA POPARNO RAZLI^NYE KLASSY. dLQ \TOGO WYBEREM IZ KAVDOGO KLASSA Xi PO ODNOMU PREDSTAWITEL@ xi, GDE i PROBEGAET NEKOTOROE MNOVESTWO INDEKSOW I, I NAZOWEM fxi; i 2 Ig

260	NIKOLAJ WAWILOW

SISTEMOJ PREDSTAWITELEJ (Vertretersystem, ReprÄasentantensystem) \KWIWALENTNOSTI » ILI TRANSWERSALX@ (transversal) K \TOJ \KWIWALENTNOSTI. pONQTIE TRANSWERSALI POZWOLQET SLEDU@]IM OBRAZOM PEREFORMULIROWATX AKSIOMU WYBORA W FORME lEWI.

aKSIOMA WYBORA. dLQ KAVDOGO OTNO[ENIQ \KWIWALENTNOSTI SU- ]ESTWUET TRANSWERSALX.

w ISHODNOJ FORMULIROWKE lEWI OTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI ZADAWALOSX RAZBIENIEM X NA SLOI OTOBRAVENIQ f : X ¡! Y , A IMENNO, S^ITALOSX, ^TO x » y W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA f(x) = f(y). nA[EJ BLIVAJ[EJ CELX@ KAK RAZ I QWLQETSQ DOKAZATELXSTWO TOGO, ^TO KAVDOE OTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI » NA MNOVESTWE X WOZNIKAET TAKIM OBRAZOM IZ NEKOTOROGO OTOBRAVENIQ, A IMENNO, IZ KANONI^ESKOJ PROEKCII ¼ : X ¡! X=». tAKIM OBRAZOM, \TA FORMULIROWKA AKSIOMY lEWI DEJSTWITELXNO \KWIWALENTNA ISHODNOJ FORMULIROWKE.

pREDLOVENIE. mNOVESTWO KLASSOW \KWIWALENTNOSTI » QWLQETSQ RAZBIENIEM X. iNYMI SLOWAMI, X PREDSTAWLQETSQ W WIDE DIZ_@NKT- NOGO OBXEDINENIQ X = `Xi, i 2 I, RAZLI^NYH KLASSOW.

dOKAZATELXSTWO. pREVDE WSEGO, ZAMETIM, ^TO X = [Xi, i 2 I. w SAMOM DELE, TAK KAK MY WYBRALI PO ODNOMU xi IZ KAVDOGO KLASSA, TO DLQ L@BOGO x 2 X NAJDETSQ xi TAKOJ, ^TO x » xi, NO TOGDA PO SWOJSTWU a) IMEEM x 2 x = xi.

oSTALOSX ZAMETITX, ^TO DWA RAZLI^NYH KLASSA NE MOGUT PERESEKATXSQ. w SAMOM DELE, ESLI x \ y 6= ?, TO NAJDETSQ z 2 x \ y, NO TOGDA PO SWOJSTWU b) TAKVE y 2 z I TEPERX PO SWOJSTWU c) MY MOVEM ZAKL@^ITX, ^TO y 2 x, TAK ^TO, OKON^ATELXNO, y = x, ^TO I TREBOWALOSX DOKAZATX.

rAZLI^NYE AWATARY SLEDU@]EJ KONSTRUKCII BUDUT SOPROWOVDATX NAS NA PROTQVENII WSEGO KURSA.

oPREDELENIE. mNOVESTWO

X=»= fx j x 2 Xg;

SOSTOQ]EE IZ WSEH KLASSOW \KWIWALENTNOSTI » NA MNOVESTWE X, NAZYWAETSQ FAKTOR-MNOVESTWOM X PO OTNO[ENI@ », A OTOBRA- VENIE

¼ : X ¡! X=»; x 7!x;

NAZYWAETSQ KANONI^ESKOJ PROEKCIEJ X NA X=».