vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive

331

PREDPOLOVENII GIPOTEZY KONTINUUMA OTS@DA SRAZU SLEDOWALO BY, ^TO R n Q IMEET MO]NOSTX KONTINUUMA.

rAZUMEETSQ, TO VE RASSUVDENIE MOVNO POWTORITX verbatim I DLQ MNOVESTWA TRANSCENDENTNYH ^ISEL. a IMENNO, PUSTX Q PREDSTAWLQET SOBOJ MNOVESTWO ALGEBRAI^ESKIH ^ISEL. kAK MY WIDELI W x ?, \TO MNOVESTWO S^ETNO. tAKIM OBRAZOM, TEM BOLEE S^ETNYM QWLQETSQ MNOVESTWO WE]ESTWENNYH ALGEBRAI^ESKIH ^ISEL R \ Q. nO TOGDA W SILU TEH VE SOOBRAVENIJ, ^TO I WY[E, EGO DOPOLNENIE R n Q W MNOVESTWE R NES^ETNO. sNOWA W PREDPOLOVENII GIPOTEZY KONTINUUMA OTS@DA WYTEKAET KONTINUALXNOSTX MNOVESTWA TRANSCENDENTNYH ^ISEL.

w DEJSTWITELXNOSTI, ODNAKO, TOT FAKT, ^TO MO]NOSTX MNOVESTW IRRACIONALXNYH ^ISEL I TRANSCENDENTNYH ^ISEL RAWNA c NE ZAWISIT NI OT GIPOTEZY KONTINUUMA, NI OT AKSIOMY WYBORA I MOVET BYTX DOKAZAN NESKOLXKIMI RAZLI^NYMI SPOSOBAMI, KAK PRI POMO]I TEOREMY kANTORA-bERN[TEJNA, TAK I QWNYM POSTROENIEM BIEKCII S MNOVESTWOM MO]NOSTI KONTINUUMA. sEJ^AS MY \TO I PRODELAEM, PRI^EM PO HODU POZNAKOMIMSQ I S DRUGIMI INTERESNYMI PRIMERAMI MNOVESTW MO]NOSTI KONTINUUM.

2. pROSTRANSTWO b\RA. dEKARTOWA STEPENX X = N@0 NAZYWAETSQ PROSTRANSTWOM b\RA (PRI \TOM OBY^NO PODRAZUMEWAETSQ, ^TO X SNABVAETSQ NEKOTOROJ TOPOLOGIEJ, A IMENNO, tIHONOWSKIM PROIZWEDENIEM DISKRETNYH TOPOLOGIJ NA N, SM. gL. ?). tAKIM OBRAZOM, PROSTRANSTWO b\RA \TO MNOVESTWO S^ETNYH POSLEDOWATELXNOSTEJ NATURALXNYH ^ISEL. kAK MY WIDELI W x ?, MNOVESTWO WSEH KONE^NYH POSLEDOWATELXNOSTEJ NATURALXNYH ^ISEL S^ETNO.

tEOREMA. pROSTRANSTWO b\RA IMEET MO]NOSTX KONTINUUMA.

dOKAZATELXSTWO. qSNO, ^TO PROSTRANSTWO b\RA SODERVIT MNOVESTWO 2@0 KOTOROE IMEET MO]NOSTX KONTINUUMA, PO\TOMU EGO MO]NOSTX NE MENX[E c. s DRUGOJ STORONY, PO tEOREME ? WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO aa · ca · c, TAK ^TO MO]NOSTX PROSTRANSTWA b\RA NE BOLX[E MO]NOSTI KONTINUUMA.

dRUGIMI SLOWAMI, \TA TEOREMA UTWERVDAET, ^TO MNOVESTWO NN BESKONE^NYH POSLEDOWATELXNOSTEJ (ni)i2N NATURALXNYH ^ISEL IMEET MO]NOSTX KONTINUUMA. w PRINCIPE W \TOM NET NI^EGO UDIWITELXNOGO, TAK KAK MY UVE ZNAEM, ^TO UVE MNOVESTWO BESKONE^NYH POSLEDOWATELXNOSTEJ NULEJ I EDINIC IMEET MO]NOSTX KONTINUUMA. ~ASTO PRIHODITSQ ISPOLXZOWATX NE SAMU \TU TEOREMU, A RAZLI^NYE WARIACII NA \TU TEMU, GDE PROSTRANSTWO b\RA WOZNIKAET W SLEGKA ZAMASKIROWANNOM WIDE. wOT DWA TIPI^NYH PRIMERA, WOZNIKA@]IH W PRILOVENIQH.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO KAVDOE IZ SLEDU@]IH MNOVESTW IMEET MO]NOSTX KONTINUUMA:

1)mNOVESTWO STROGO WOZRASTA@]IH POSLEDOWATELXNOSTEJ NATURALXNYH ^ISEL, ni+1 > ni;

2)mNOVESTWO TAKIH POSLEDOWATELXNOSTEJ NATURALXNYH ^ISEL, W KOTORYH KAVDYJ ^LEN DELIT POSLEDU@]IJ, nijni+1.

332	NIKOLAJ WAWILOW

rE[ENIE. nAIBOLEE PROSTOJ SPOSOB SOSTOIT, KONE^NO, W TOM, ^TOBY ISPOLXZOWATX TEOREMU kANTORA—bERN[TEJNA. oDNAKO NESLOVNO I PRQMO POSTROITX BIEKCII MEVDU \TIMI MNOVESTWAMI I NN. w PERWOM SLU^AE TAKAQ BIEKCIQ ZADAETSQ POSREDSTWOM (ni) 7!(ni ¡ ni¡1), A WO WTOROM — POSREDSTWOM (ni) 7!(ni=ni¡1). e]E ODNA POHOVAQ SITUACIQ WSTRETITSQ NAM W KONCE NASTOQ]EGO PARAGRAFA W SWQZI S TEOREMOJ lIUWILLQ.

3. oDNA ZAME^ATELXNAQ BIEKCIQ. sOPOSTAWIM \LEMENTU (n1; n2; n3; : : : ) PRO-

STRANSTWA b\RA NEPRERYWNU@ DROBX

	1
n1 +	1			:
	1
	n2 +
		n3 + : : :

iZWESTNO, ^TO \TO OTOBRAVENIE QWLQETSQ BIEKCIEJ PROSTRANSTWA b\RA NA MNOVESTWO IRRACIONALXNYH ^ISEL INTERWALA ]0; 1[. tAKIM OBRAZOM, MNOVESTWO WSEH IRRACIONALXNYH ^ISEL INTERWALA ]0; 1[ IMEET MO]NOSTX KONTINUUMA.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO MNOVESTWO IRRACIONALXNYH ^ISEL INTERWALA ]a; b[, a < b, IMEET MO]NOSTX KONTINUUMA.

uKAZANIE. dLQ \TOGO SOWSEM NE OBQZATELXNO STROITX BIEKCI@ MEVDU MNOVESTWOM IRRACIONALXNYH ^ISEL INTERWALA ]0; 1[ I MNOVESTWOM IRRACIONALXNYH ^ISEL INTERWALA ]a; b[.

4. uDALENIE S^ETNOGO MNOVESTWA IZ MNOVESTWA MO]NOSTI KONTINUUMA. sEJ^AS MY POKAVEM, ^TO RAZNOSTX MNOVESTWA MO]NOSTI KONTINUUMA I S^ETNOGO MNOVESTWA IMEET MO]NOSTX KONTINUUMA. rAZUMEETSQ, FOKUS ZDESX SOSTOIT W TOM, ^TOBY DOKAZATX \TO, NE ISPOLXZUQ AKSIOMU WYBORA!

tEOREMA. eSLI jXj = c I jY j = a, TO jX n Y j = c.

dOKAZATELXSTWO. “nEBOLX[AQ HITROSTX” — [J], x 6. zAFIKSIRUEM BIEKCI@ f MNOVESTWA X S MNOVESTWOM X £X (SM. ?.?). nAM DOSTATO^NO POKAZATX, ^TO X £ X n f(Y ) IMEET MO]NOSTX NE MENX[U@ MO]NOSTI KONTINUUMA. tAK KAK f(Y ) S^ETNO, TO, TEM BOLEE, S^ETNA I PERWAQ PROEKCIQ \TOGO MNOVESTWA pr1(f(X)). tAK KAK SAMO MNOVESTWO X IMEET MO]NOSTX KONTINUUMA, NAJDETSQ x 2 X, NE PRINADLEVA]EE \TOJ PROEKCII. |TO ZNA^IT, ^TO DLQ WSEH y 2 X PARA (x; y) NE PRINADLEVIT f(Y ). pOSKOLXKU MNOVESTWO PAR f(x; y) j y 2 Xg \KWIWALENTNO X, \TO I ZNA^IT, ^TO MO]NOSTX X £ X n f(X) PO KRAJNEJ MERE NE MENX[E MO]NOSTI KONTINUUMA.

5. mO]NOSTX MNOVESTWA TRANSCENDENTNYH ^ISEL. pRIMENQQ \TU TEOREMU K SITUACII, RASSMOTRENNOJ W PUNKTE 1, POLU^AEM TAKOE SLEDSTWIE, WPERWYE DOKAZANNOE kANTOROM W 1874 GODU.

MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive

333

sLEDSTWIE. mNOVESTWO TRANSCENDENTNYH ^ISEL W L@BOM NETRIWI- ALXNOM INTERWALE ]a; b[, a < b, IMEET MO]NOSTX KONTINUUMA.

dOKAZATELXSTWO kANTORA ZAME^ATELXNO TEM, ^TO ONO NOSIT ^ISTO \KZISTENCIALXNYJ HARAKTER, IZ NEGO WYTEKAET, ^TO TRANSCENDENTNYE ^ISLA SU]ESTWU@T, POSKOLXKU IH MNOVESTWO IMEET BOLX[U@ MO]-

NOSTX, NO NI ODNOGO TRANSCENDENTNOGO ^ISLA PRI \TO NE PRED_QWLQ- ETSQ.

kOMMENTARIJ. zNA^ITELXNO MENEE IZWESTNO, ^TO IZ KONSTRUKTIWNOGO DOKAZATELXSTWA SU]ESTWOWANIQ TRANSCENDENTNYH ^ISEL, DANNOGO lIUWILLEM W 1851 GODU, TOVE SRAZU SLEDUET, ^TO MO]NOSTX MNOVESTWA TRANSCENDENTNYH ^ISEL NE MENX[E MO]NOSTI KONTINUUMA. a IMENNO, ZNAMENITAQ TEOREMA lIUWILLQ UTWERVDAET, ^TO IRRACIONALXNYE ALGEBRAI^ESKIE ^ISLA NE MOGUT HORO[O APPROKSIMIROWATXSQ POSLEDOWATELXNOSTQMI RACIONALXNYH ^ISEL. pO\TOMU WSQKOE IRRACIONALXNOE ^ISLO, KOTOROE HORO[O APPROKSIMIRUETSQ RACIONALXNYMI ^ISLAMI, OBQZANO BYTX TRANSCENDENTNYM.

vOZEF lIUWILLX (24.03.1809, St.Omer — 08.09.1882, pARIV) — ODIN IZ NAIBOLEE ZNA^ITELXNYH MATEMATIKOW XIX WEKA, PREPODAWAL W l’Ecole Politechnique, Coll`ege de France I sORBONNE. kROME IMEW[EGO BOLX[OJ REZONANS KONSTRUKTIWNOGO DOKAZATELXSTWA SU]ESTWOWANIQ TRANSCENDENTNYH ^ISEL, ON ZANIMALSQ TEORIEJ SPECIALXNYH FUNKCIJ, MATEMATI^ESKOJ FIZIKOJ, DIFFERENCIALXNOJ GEOMETRIEJ. e]E ODNA EGO BESSMERTNAQ ZASLUGA PERED MATEMATIKOJ SOSTOIT W TOM, ^TO IMENNO ON WERNUL W MATEMATI^ESKIJ OBIHOD RABOTY gALUA.

oTPRAWLQQSX OT \TOGO NABL@DENIQ, lIUWILLX STROIT GROMADNYJ KLASS NEPRERYWNYH DROBEJ [q1; q2; q3; : : : ], PREDSTAWLQ@]IH TRANSCENDENTNYE ^ISLA. a IMENNO, RASSMOTRIM SOOTWETSTWU@]U@ POSLEDOWATELXNOSTX PODHODQ]IH DROBEJ [q1; q2; : : : ; qt] = mt=nt, GDE mt 2 Z, nt 2 N, I PREDPOLOVIM, ^TO qt BYSTRO RASTUT, A IMENNO, ^TO DLQ KAVDOGO t WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO qt+1 > ntt. nESLOVNO PROWERITX, ^TO W \TOM SLU^AE ZNA^ENIE NEPRERYWNOJ DROBI [q1; q2; q3; : : : ] HORO- [O APPROKSIMIRUETSQ PODHODQ]IMI DROBQMI mt=nt I, SLEDOWATELXNO, OBQZANO BYTX TRANSCENDENTNYM. qSNO, ^TO NA KAVDOM [AGE MY ZAPRE]AEM LI[X KONE^NOE MNOVESTWO WOZMOVNOSTEJ DLQ qt 2 N, TAK ^TO UVE MNOVESTWO TRANSCENDENTNYH ^ISEL, PREDSTAWIMYH KAK ZNA^ENIQ NEPRERYWNYH DROBEJ OPISANNOGO WY[E TIPA, IMEET MO]NOSTX aa = c. kONE^NO, DOKAZATELXSTWO kANTORA ZNA^ITELXNO PRO]E. mETOD lIUWILLQ POZWOLQET STROITX MNOGO TRANSCENDENTNYH ^ISEL (KAK GOWORIT SAM lIUWILLX, “des classes tr´es etendues”). tEM NE MENEE, DOKAZATELXSTWO TRANSCENDENTNOSTI KONKRETNYH ^ISEL W KAVDOM SLU^AE PREDSTAWLQET SOBOJ SOWER[ENNO NETRIWIALXNU@ ZADA^U. nAPRIMER, TRANSCENDENT-

334	NIKOLAJ WAWILOW

NOSTX e BYLA DOKAZANA LI[X W 1873 GODU |RMITOM, A TRANSCENDENTNOSTX ¼ — LI[X W 1882 GODU lINDEMANNOM.

x 15. gIPOTEZA KONTINUUMA

mY KONSTATIRUEM, ^TO TAKIE STARYE I TRUDNYE PROBLEMY, KAK DOKAZATELXSTWA AKSIOMY O PARALLELXNYH, KAK KWADRATURA KRUGA ILI RE[ENIE URAWNENIJ PQTOJ STEPENI W RADIKALAH, POLU^ILI WSE VE STROGOE, WPOLNE UDOWLETWORQ@]EE NAS RE[E- NIE, HOTQ I W DRUGOM NAPRAWLENII, ^EM TO, KOTOROE SNA^ALA PREDPOLAGALOSX.

dAWID gILXBERT “mATEMATI^ESKIE pROBLEMY”

1. kONTINUUM-GIPOTEZA. kAK MY ZNAEM, MO]NOSTX c MNOVESTWA R WE]ESTWENNYH ^ISEL STROGO BOLX[E MO]NOSTI @0 MNOVESTWA Z CELYH ^ISEL. w 1878 GODU gEORG kANTOR WYSKAZAL SLEDU@]U@ GIPOTEZU

kONTINUUM-GIPOTEZA. nE SU]ESTWUET NIKAKOJ MO]NOSTI, STROGO PROMEVUTO^NOJ MEVDU @0 I c.

iNYMI SLOWAMI, UTWERVDAETSQ, ^TO ESLI @0 · jXj · c DLQ NEKOTOROGO MNOVESTWA X, TO LIBO jXj = @0, LIBO jXj = c. |TA GIPOTEZA NAZYWAETSQ E]E GIPOTEZOJ KONTINUUMA I OBOZNA^AETSQ CH. w 1900 GODU NA II mEVDUNARODNOM mATEMATI^ESKOM kONGRESSE W pARIVE dAWID gILXBERT NAZWAL \TU GIPOTEZU PERWOJ W SWOEM ZNAMENITOM SPISKE 23 NERE[ENNYH MATEMATI^ESKIH PROBLEM (PROBLEMY gILXBERTA), RE[ENIE KOTORYH DOLVNO BYLO ZNA^ITELXNO STIMULIROWATX DALXNEJ- [EE RAZWITIE NAUKI.

2. nEPROTIWORE^IWOSTX KONTINUUM-GIPOTEZY. w 1884 GODU kAN-

TORU POKAZALOSX, ^TO ON MOVET DOKAZATX GIPOTEZU KONTINUUMA, I ON DAVE OB_QWIL O EE POLOVITELXNOM RE[ENII: W ODNOJ IZ SWOIH STATEJ TOGO WREMENI ON DAVE NAPISAL, ^TO DOKAZATELXSTWO BUDET DANO W SLEDU@]EJ RABOTE. |TA STATXQ ZAKAN^IWALASX SLOWAMI Fortsetzung folgt — PRODOLVENIE SLEDUET. oDNAKO OBE]ANNOE PRODOLVENIE NIKOGDA NE POQWILOSX, WEROQTNO kANTOR SAM OBNARUVIL O[IBKU W SWOEM DOKAZATELXSTWE. w TE^ENIE MNOGIH DESQTILETIJ MNOGIE KRUPNEJ[IE MATEMATIKI BEZUSPE[NO PYTALISX DOKAZATX ILI OPROWERGNUTX \TU GIPOTEZU. wSLEDSTWIE BEZUSPE[NOSTI WSEH POPYTOK RE[ENIQ, NEKOTORYE MATEMATIKI STALI WYSKAZYWATX PREDPOLOVENIE O EE NERAZRE[IMOSTI, T.E. NEWOZMOVNOSTI EE DOKAZATELXSTWA ILI OPROWERVENIQ W OBY^NOJ AKSIOMATI^ESKOJ TEORII MNOVESTW — TEORII cERMELO—fRENKELQ. pERWYM KRUPNYM PRORYWOM W \TOM NAPRAWLENII BYL REZULXTAT kURTA gEDELQ 1940 GODA. oN DOKAZAL, ^TO ESLI AKSIOMATIKA TEORII MNOVESTW

MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive

335

(W DEJSTWITELXNOSTI ON, KONE^NO, RABOTAL W AKSIOMATIKE gEDELQ— bERNAJSA, A NE cERMELO—fRENKELQ, NO W DANNOM SLU^AE \TO NE IMEET ZNA^ENIQ) NEPROTIWORE^IWA, TO ONA OSTAETSQ NEPROTIWORE^IWOJ I POSLE DOBAWLENIQ AKSIOMY WYBORA AC I GIPOTEZY KONTINUUMA CH (W DEJSTWITELXNOSTI DAVE GORAZDO BOLEE SILXNOJ OBOB]ENNOJ GIPOTEZY KONTINUUMA GCH, SM. NIVE).

kURT gEDELX (28.04.1906, bRNO — ) – ODIN IZ KRUPNEJ[IH LOGIKOW XX WEKA. oSNOWNYE RABOTY OTNOSQTSQ K OBOSNOWANI@ ARIFMETIKI I TEORII MNOVESTW. tEOREMA gEDELQ O POLNOTE, TEOREMA gEDELQ O NEPOLNOTE. sISTEMA gEDELQ— bERNAJSA. rABOTAL W wENE, NO W 1940 GODU \MIGRIROWAL W s{a, S 1950 GODA RABOTAL W Institute for Advanced Studies.

3.nEZAWISIMOSTX KONTINUUM-GIPOTEZY. w 1963 GODU ISPOLXZUQ RAZWITYJ IM METOD FORSINGA AMERIKANSKIJ MATEMATIK pOLX kO\N POLU^IL POLNOE RE[ENIE PROBLEMY, DOKAZAW EE NEZAWISIMOSTX OT AKSIOM TEORII MNOVESTW. tO^NEE, ON POKAZAL, ^TO, ESLI AKSIOMATIKA TEORII MNOVESTW NEPROTIWORE^IWA, TO PRISOEDINQQ K NEJ L@BU@ KOMBINACI@ AKSIOMY WYBORA, KONTINUUM-GIPOTEZY I IH OTRICANIJ, MY SNOWA POLU^AEM NEPROTIWORE^IWU@ SISTEMU. |TO ZNA^IT, ^TO, KAK PREDPOLAGAQ SPRAWEDLIWOSTX AKSIOMY WYBORA, TAK I PREDPOLAGAQ, ^TO AKSIOMA WYBORA NEWERNA, KONTINUUM-GIPOTEZU NEWOZMOVNO NI DOKAZATX, NI OPROWERGNUTX! |TO E]E ODIN PRIMER “STROGOGO, WPOLNE UDOWLETWORQ- @]EGO NAS RE[ENIQ, HOTQ I W DRUGOM NAPRAWLENII, ^EM TO, KOTOROE SNA^ALA PREDPOLAGALOSX”.

4.oBOB]ENNAQ KONTINUUM-GIPOTEZA. w DEJSTWITELXNOSTI kAN-

TOR FORMULIROWAL KONTINUUM-GIPOTEZU W FORME c = 2@0 = @1. wOOB]E MOVNO PREDPOLOVITX, ^TO WSEGDA 2@n = @n+1. |TO PREDPOLOVENIE IZWESTNO POD NAZWANIEM OBOB]ENNOJ KONTINUUM-GIPOTEZY GCH. oBOB]ENNAQ KONTINUUM-GIPOTEZA I AKSIOMA WYBORA UVE NE QWLQ@TSQ NEZAWISIMYMI. w 1947 GODU wACLAW sERPINXSKIJ DOKAZAL SLEDU@]IJ REZULXTAT.

WacÃlaw Sierpi´nski (14.03.1882, wAR[AWA — 1969) — ODIN IZ KRUPNEJ[IH POLXSKIH MATEMATIKOW, SOZDATELX WAR[AWSKOJ MATEMATI^ESKOJ [KOLY, AWTOR BOLEE 700 RABOT, W TOM ^ISLE 15 MONOGRAFIJ, ZNA^ITELXNAQ ^ASTX KOTORYH OTNOSITSQ K TEORII MNOVESTW, TOPOLOGII, TEORII FUNKCIJ I TEORII ^ISEL. u^ENIK g.f.wORONOGO. pOSLE U^EBY W wAR[AWE I kRAKOWE PREPODAWAL WO lXWOWE I wAR[AWE. sERPINXSKIJ NAPISAL 13 NAU^NO-POPULQRNYH KNIG, ODNA IZ KOTORYH, ‘o TEORII MNOVESTW’ PEREWEDENA NA RUSSKIJ QZYK. pOSLEDNQQ IZ EGO KNIG, ‘Elementary theory of numbers’, NA KOTORU@ MY ^ASTO SSYLAEMSQ W GLAWE ?, BYLA OPUBLIKOWANA, KOGDA EE AWTORU BYLO 82 GODA. w NAU^NO-POPULQRNOJ LITERATURE ^ASTO UPOMINAETSQ ‘KOWER sERPINXSKOGO’.

336	NIKOLAJ WAWILOW

tEOREMA sERPINXSKOGO. oBOB]ENNAQ GIPOTEZA KONTINUUMA WLE- ^ET AKSIOMU WYBORA.

w 1963 GODU r.sOLOW\J POKAZAL, ^TO OBOB]ENNAQ KONTINUUM-GIPOTE- ZA NE WYTEKAET IZ AKSIOMY WYBORA I KONTINUUM GIPOTEZY.

MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive

337

tEMA 6. aKSIOMA WYBORA

pO^EMU VE \TA PROSTAQ (ESLI NE SAMOO^EWIDNAQ) AKSIOMA PRIWELA K STOLX MNOGO^ISLENNYM OBSUVDENIQM? nI ODNA IZ AKSIOM POSLE PQTOGO POSTULATA |WKLIDA O PARALLELXNYH PRQMYH NE WYZWALA TAKOGO WOLNENIQ W MATEMATI^ESKIH KRUGAH I NE WOZBUDILA TAK MNOGO SPOROW PO PROBLEMAM OSNOWANIJ MATEMATIKI.

tOMAS dV. jEH148

q ZNA@ MATEMATIKOW, KOTORYE UTWERVDA@T, ^TO AKSIOMA WYBORA IMEET TOT VE HARAKTER INTUITIWNOJ SAMOO^EWIDNOSTI, KOTORYJ PRISU] SAMYM \LEMENTARNYM ZAKONAM LOGIKI, NA KOTORYE OPIRAETSQ MATEMATIKA. mNE TAK NIKOGDA NE KAZALOSX. nO KAK MOVNO OBSUVDATX WOPROSY INTUICII?

aLONZO ~ER^, ”pOLX kO\N I PROBLEMA KONTINUUMA”

sEJ^AS MY OBSUDIM ODNU IZ SAMYH INTERESNYH AKSIOM TEORII MNOVESTW — AKSIOMU WYBORA. pRI PERWOM ZNAKOMSTWE ONA KAVETSQ O^EWIDNOJ, NO IZ NEE WYTEKA@T SLEDSTWIQ — TAKIE KAK “PARADOKSY” hAUSDORFA I bANAHA—tARSKOGO — PREDSTAWLQ@]IESQ MNOGIM NEMATEMATIKAM NEWEROQTNYMI I DAVE ABSURDNYMI. s DRUGOJ STORONY, PRI DALXNEJ- [EM ZNAKOMSTWE S MATEMATIKOJ \TI SLEDSTWIQ STANOWQTSQ SOWER[ENNO NEOBHODIMYMI I O^EWIDNYMI. sLOWOM, OTNO[ENIE K \TOJ AKSIOME PRETERPEWAET — S OBRATNYM ZNAKOM — TU \WOL@CI@ KOTORU@ gAMLET OPISAL SLEDU@]IMI SLOWAMI: TO, ^TO W^ERA BYLO PARADOKSOM, SEGODNQ PERESTALO IM BYTX, NO ZAWTRA SNOWA IM STANET.

w SAMOJ PROSTOJ FORMULIROWKE AKSIOMA WYBORA UTWERVDAET SLEDU- @]EE:

aKSIOMA WYBORA. eSLI X — OB_EDINENIE NEPERESEKA@]IHSQ NEPU- STYH MNOVESTW X®, TO SU]ESTWUET PO KRAJNEJ MERE ODNO PODMNO- VESTWO Y , KOTOROE PERESEKAETSQ S KAVDYM X® ROWNO PO ODNOMU \LEMENTU.

|TOJ AKIOME MOVNO PRIDATX NESKOLXKO \KWIWALENTNYH FORM, NAPRIMER, SLEDU@]U@: ESLI NAM DANO L@BOJ SEMEJSTWO NEPUSTYH MNOVESTW X®, ® 2 Ω, TO SU]ESTWUET OTOBRAVENIE f : Ω ¡! SX® TAKOE, ^TO DLQ KAVDOGO ® 2 Ω IMEET MESTO f(®) 2 X®. iNYMI SLOWAMI, MY MOVEM WYBRATX PO ODNOMU \LEMENTU x® = f(®) IZ KAVDOGO MNOVESTWA X®. tAK KAK TAKAQ FUNKCIQ f MOVET BYTX OTOVDESTWLENA S NABOROM

148t.dV.jEH, oB AKSIOME WYBORA. — sPRAWO^NAQ KNIGA PO MATEMATI^ESKOJ LOGIKE, T.II. tEORIQ MNOVESTW. m., nAUKA, 1982, S.35–63.

338	NIKOLAJ WAWILOW

(x®), ®Q2 Ω, EE ZNA^ENIJ, PREDSTAWLQ@]IM \LEMENT PRQMOGO PROIZWEDENIQ X®, ® 2 Ω, TO AKSIOMU WYBORA MOVNO SFORMULIROWATX E]E I TAKIM OBRAZOM: PRQMOE PROIZWEDENIE L@BOGO SEMEJSTWA NEPUSTYH MNOVESTW NEPUSTO. w TAKOJ FORME \TA AKSIOMA PREDSTAWLQETSQ OSOBENNO O^EWIDNOJ.

lEMMA kURATOWSKOGO—cORNA tEOREMA hAUSDORFA tEOREMA bANAHA—tARSKOGO

s DRUGOJ STORONY OTSUTSTWIE AKSIOMY WYBORA PRIWODIT K GORAZDO BOLEE PARADOKSALXNYM SLEDSTWIQM, KOTORYE W ZNA^ITELXNO BOLX[EJ STEPENI PROTIWORE^AT NA[EJ INTUICII. nAPRIMER, W OTSUTSTWIE AKSIOMY WYBORA KONTINUUM MOVET BYTX PREDSTAWLEN W WIDE OB_EDINENIQ S^ETNOGO SEMEJSTWA S^ETNYH MNOVESTW. |TOT PARADOKSALXNYJ WYWOD TREBUET, KONE^NO, ZNA^ITELXNO BOLX[EGO PERESMOTRA WSEGO TRADICIONNOGO ANALIZA, KAK W SAMYH PERWYH PONQTIQH, SWQZANNYH S WE]ESTWENNYMI ^ISLAMI, PREDELAMI I PR., TAK I, W OSOBENNOSTI, W ^ASTI, SWQZANNOJ S MEROJ I INTEGRIROWANIEM. tAKOJ PERESMOTR BYL BY GORAZDO BOLEE BOLEZNENEN, ^EM TOT OTKAZ OT PREDSTAWLENIQ, ^TO WSE “FIGURY” IME@T “OB_EM”, KOTORYJ WYTEKAET IZ PRINQTIQ AKSIOMY WYBORA.

dO SIH POR W NEKOTORYH POPULQRNYH IZLOVENIQH MOVNO WSTRETITX UTWERVDENIE, ^TO AKSIOMA WYBORA W ^EM TO OTLI^AETSQ W SMYSLE SWOEGO STATUSA OT OSTALXNYH AKSIOM TEORII MNOVESTW. w DEJSTWITELXNOSTI W 1938-1940 GODAH kURT gEDELX DOKAZAL, ^TO ESLI AKSIOMATI^ESKAQ TEORIQ MNOVESTW NEPROTIWORE^IWA, TO ONA OSTAETSQ NEPROTIWORE^IWOJ I POSLE DOBAWLENIQ AKSIOMY WYBORA. mETOD DOKAZATELXSTWA SOSTOQL W POSTROENII MODELI DLQ TEORII MNOVESTW S WYPOLNENNOJ AKSIOMOJ WY-

BORA (I OBOB]ENNOJ GIPOTEZOJ KONTINUUMA, SM. RAZDEL ?) W RAM-

KAH TEORII MNOVESTW, W KOTOROJ AKSIOMA WYBORA NE PREDPOLAGAETSQ. sITUACIQ ZDESX POLNOSTX@ PARALLELXNA POSTROENI@ MODELI NE\WKLIDOWOJ GEOMETRII WNUTRI \WKLIDOWOJ GEOMETRII, SM. RAZDEL ?. sPORITX SEGODNQ, SPUSTQ 60 LET POSLE \TOGO REZULXTATA, O TOM, SPRAWEDLIWA ILI NET “NA SAMOM DELE” AKSIOMA WYBORA, STOLX VE NAIWNO, KAK SPORITX O TOM, SKOLXKO PRQMYH PARALLELXNYH DANNOJ MOVNO “NA SAMOM DELE” PROWESTI ^EREZ FIKSIROWANNU@ TO^KU. i TA I DRUGAQ WOZMOVNOSTX RAWNYM OBRAZOM OTNOSQTSQ K MATEMATIKE I — S ABSTRAKTNOJ TO^KI ZRENIQ

— RAWNYM OBRAZOM ZASLUVIWA@T RASSMOTRENIQ. oDNAKO MATEMATIKA, KAK FIZIKA ILI MUZYKA, QWLQETSQ ^ELOWE^ESKOJ DEQTELXNOSTX@. eSLI MY I DELAEM KAKOJ-TO WYBOR (A PODAWLQ@]EE BOLX[INSTWO RABOTA@]IH MATEMATIKOW PREDPO^ITAET IMETX DELO S TEORIEJ, W KOTOROJ AKSIOMA WYBORA WYPOLNQETSQ), TO ON DIKTUETSQ ISKL@^ITELXNO \STE-

MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive

339

TI^ESKIMI SOOBRAVENIQM: TEORIQ MNOVESTW S AKSIOMOJ WYBORA PRO]E I \FFEKTIWNEE, ^EM TEORIQ BEZ \TOJ AKSIOMY.

x 1. pOKRYTIQ I RAZBIENIQ, AKSIOMA WYBORA ZF8

1. pOKRYTIQ I RAZBIENIQ. sLEDU@]EE OPREDELENIE PONADOBITSQ NAM DLQ TOGO, ^TOBY PRIWESTI PROSTU@ FORMULIROWKU AKSIOMY WYBORA ZF8. w DALXNEJ[EM MY PRIWEDEM I MNOGO DRUGIH FORMULIROWOK \TOJ AKSIOMY, NA QZYKE OTOBRAVENIJ, PRQMYH PROIZWEDENIJ, MO]NOSTEJ, UPORQDO^ENNYH MNOVESTW I T.D., NO SAMAQ PROSTAQ FORMULIROWKA ISPOLXZUET PONQTIE RAZBIENIQ.

oPREDELENIE. sEMEJSTWO PODMNOVESTW Xi µ X, i 2 I, NAZYWAETSQ

POKRYTIEM X, ESLI X = [Xi, i 2 I, I RAZBIENIEM X, ESLI, KROME TOGO, WSE Xi NEPUSTY I POPARNO DIZ_@NKTNY, INYMI SLOWAMI,

Xi \ Xj = ? DLQ L@BYH i 6= j.

tAKIM OBRAZOM, ESLI Xi, i 2 I, — RAZBIENIE X, TO X =			Xi.
	BLOKAMI
pRI \TOM MNOVESTWA Xi NAZYWA@TSQ OBY^NO KLASSAMI ILI		`

RAZBIENIQ.

2. rAZBIENIQ I OTNO[ENIQ \KWIWALENTNOSTI. zADATX RAZBIENIE MNOVESTWA X — \TO TO VE SAMOE, ^TO ZADATX NA X OTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI. w SAMOM DELE, ESLI » OTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI NA X, A Xi, i 2 I, — KLASSY \KWIWALENTNOSTI », TO DWA RAZLI^NYH KLASSA NE PERESEKA@TSQ, PO\TOMU Xi, i 2 I, — RAZBIENIE X. oBRATNO, DLQ L@BOGO RAZBIENIQ Xi, i 2 I, OPREDELIM OTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI » NA X, POLAGAQ x »X y W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, ESLI NAJDETSQ TAKOE i, ^TO x; y 2 Xi. iNYMI SLOWAMI, KAK PODMNOVESTWO R W X £ X \TO OTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI OPREDELQETSQ POSREDSTWOM R = `Xi £Xi, i 2 I.

oPREDELENIE. pUSTX X — RAZBIENIE MNOVESTWA A. tOGDA PODMNO- VESTWO B µ A NAZYWAETSQ TRANSWERSALX@ K RAZBIENI@ X (alias SISTEMOJ PREDSTAWITELEJ OTNO[ENIQ \KWIWALENTNOSTI »X), ES- LI DLQ KAVDOGO Y 2 X MNOVESTWA B I Y PERESEKA@TSQ ROWNO PO ODNOMU \LEMENTU.

3. aKSIOMA WYBORA W FORME lEWI. sEJ^AS MY SFORMULIRUEM AKSIOMU, PRINQTIE KOTOROJ REZKO UPRO]AET STROENIE MNOVESTW. w TAKOJ FORME AKSIOMA WYBORA BYLA QWNO SFORMULIROWANA lEWI, HOTQ W DEJSTWITELXNOSTI, kANTOR ISPOLXZOWAL \TU AKSIOMU BEZ QWNOGO UPOMINANIQ.

340	NIKOLAJ WAWILOW

ZF8 (AKSIOMA WYBORA). dLQ KAVDOGO RAZBIENIQ SU]ESTWUET HOTQ BY ODNA TRANSWERSALX.

iNYMI SLOWAMI, UTWERVDAETSQ, SLEDU@]EE: PUSTX X = `Xi – RAZBIENIE X NA NEPUSTYE MNOVESTWA Xi, TO NAJDETSQ TAKOE MNOVESTWO Y , ^TO KAVDOE IZ PERESE^ENIJ Y \ Xi SOSTOIT ROWNO IH ODNOGO \LEMENTA. sFORMULIROWANNAQ AKSIOMA ^ASTO OBOZNA^AETSQ E]E AC (axiom of choice). |TO EDINSTWENNAQ AKSIOMA, KOTORAQ FORMULIRUETSQ WO WSEH NAIWNYH IZLOVENIQH TEORII MNOVESTW, PRI^EM ^ASTO FORMULIRUETSQ SOWER[ENNO O[IBO^NO. a IMENNO, GOWORQT, ^TO AKSIOMA WYBORA UTWERVDAET, ^TO MOVNO WYBRATX PO ODNOMU \LEMENTU W KAVDOM IZ MNOVESTW Xi. oDNAKO \TO UTWERVDENIE O^EWIDNYM OBRAZOM WERNO NEZAWISIMO OT AKSIOMY WYBORA — PO KRAJNEJ MERE, ESLI MY S^ITAEM, ^TO WSEGDA MOVNO WYBRATX \LEMENT IZ ODNOGO NEPUSTOGO MNOVESTWA.

4. aKSIOMA WYBORA W FORME cERMELO. cERMELO FORMULIROWAL AKSIOMU ^UTX INA^E, NE TREBUQ, ^TOBY MNOVESTWA Xi BYLI NEPERESEKA@]IMISQ.

ZF8 (AKSIOMA WYBORA). dLQ KAVDOGO SEMEJSTWASXi, i 2 I, NEPU- STYH MNOVESTW Xi SU]ESTWUET FUNKCIQ f : I ¡! Xi TAKAQ, ^TO f(i) 2 Xi.

tAKAQ FUNKCIQ NAZYWAETSQ FUNKCIEJ WYBORA. qSNO, ^TO AKSIOMA WYBORA W FORME cERMELO WLE^ET AKSIOMU WYBORA W FORME lEWI. pOKAVEM, ^TO WERNO I OBRATNOE. w SAMOM DELE, RASSMOTRIM PROIZWOLXNOE SEMEJSTWO MNOVESTW Xi, i 2 I. nAM NUVNO IZGOTOWITX IZ NEGO SEMEJSTWO POPARNO NEPERESEKA@]IHSQ MNOVESTW. sTANDARTNYJ PRIEM SOSTOIT W SLEDU@]EM. oBOZNA^IM ^EREZ Yi MNOVESTWO UPORQDO^ENNYH PAR (i; x), GDE x 2 Xi. qSNO, ^TO Yi \ Yj = ?. pO AKSIOME lEWI NAJDETSQ MNOVESTWO Z, KOTOROE PERESEKAETSQ S KAVDYM Yi ROWNO PO ODNOMU \LEMENTU (i; xi), GDE xi 2 Xi. tEPERX MY MOVEM OPREDELITX FUNKCI@ WYBORA, POLAGAQ f(i) = xi.

5. pAFOS AKSIOMY WYBORA. pAFOS AKSIOMY WYBORA SOSTOIT W TOM, ^TO \TOT WYBOR MOVNO PROIZWESTI SOGLASOWANNYM OBRAZOM, TAK, ^TOBY WYBRANNYE \LEMENTY OBRAZOWYWALI MNOVESTWO. iZ AKSIOMY PODSTANOWKI BUDET TOGDA SLEDOWATX, ^TO L@BOJ WYBOR PREDSTAWITELEJ QWLQETSQ SOGLASOWANNYM, T.E. OBRAZUET MNOVESTWO. wOT KAK OPISYWAL AKSIOMU WYBORA SAM cERMELO: “Man kann das Axiom auch so ausdr¨ucken daß man sagt es sei immer m¨oglich aus jedem Elemente M; N; R; : : : von T einzelne Elemente m; n; r; : : : auszuw¨ahlen und alle diese Elemente