Стрежнева

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«КАЗАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А.Н. ТУПОЛЕВА-КАИ»

Е.В. СТРЕЖНЕВА

РЯДЫ ФУРЬЕ

Практикум

Рекомендовано к изданию Учебно-методическим управлением КНИТУ-КАИ

Казань 2015

УДК 517 Стре 84

Рецензенты:

кафедра высшей математики (Казанский государственный энергетический университет);

кандидат физико-математических наук Г.А. Никонова (Казанский национальный исследовательский технологический университет (КНИТУ-КХТИ))

Стрежнева, Е.В.

Стре 84 Ряды Фурье: практикум / Е.В. Стрежнева. – Казань: Изд-во КНИТУ-КАИ, 2015. – 72 с.

ISBN 978-5-7579-2090-0

Приводятся теоретические сведения, необходимые для решения задач, рассматриваются типовые примеры с подробными решениями, рекомендуется тест для самостоятельной работы, приводятся задания для РГР.

Предназначено для студентов первого курса инженерно-технических специальностей.

Ил. 22. Библиогр.: 5 назв.

УДК 517

	©	Е.В. Стрежнева, 2015
ISBN 978-5-7579-2090-0	©	Изд-во КНИТУ-КАИ, 2015

Настоящий практикум «Ряды Фурье» охватывает теоретический и практический материал по тригонометрическим рядам. Приводятся основные теоретические сведения (определения, теоремы, формулы), необходимые для решения задач, рассматриваются типовые задачи с подробными решениями.

В качестве контроля усвоения учебного материала приведен тест с ключом ответов и 30 вариантов расчетно-графического задания на тему «Ряды Фурье». Основное внимание уделено задачам, способствующим уяснению фундаментальных понятий и методов высшей математики.

1. Периодические функции и их свойства

Определение. Вещественная функция f (x), определенная на всей числовой оси, называется периодической, если существует такое число T ,(T ¹ 0), что для всех x выполняется условие

f ( x + T ) = f ( x). Наименьший положительный период называется

основным периодом функции f (x)

Соотношение f (x + T ) = f ( x) показывает, что полное представление о функции f (x) можно получить, изучив ее на любом ин-

T . Например, на интервале [0,T ] ,

T

T

тервале

длины

−

,

,

2

2

T

T

[α,α + T ], α .

α −

,α +

,

2

2

3

Свойства периодических функций, которые следуют непосредственно из определения:

1)сумма, разность, произведение и частное функций периода T всегда дают функцию того же периода;

2)тождественную постоянную можно рассматривать как периодическую функцию с каким угодно периодом (наименьшего периода у постоянной функции не существует);

3) если T, период функции f (x), то nT ,	где	n = ± 1, ± 2,...
также период.
Ñ Действительно, если период функции f (x),		то при любом
целом n > 1 имеем
f ( x + nT ) = f ( x + (n − 1)T + T ) = f ( x + (n − 1)T ) = ... = f ( x),
следовательно, nT является периодом. Далее,
f (x − T ) = f (( x − T ) + T ) = f ( x) ,
поэтому −T является периодом функции f ( x).	Тогда, по только

что доказанному, число n(−T ) – период при любом целом n > 1. ; 4) если функция f ( x) имеет период T , то f (ωx) имеет пе-

риод T =		T	.
1		ω
Ñ Действительно,
					T
	f (ω( x + T1 )) = f			ωx + ω			= f (ωx + T ) = f (ωx). D ;
					ω

5) интеграл от периодической функции с периодом Т по любому отрезку длины Т имеет одно и то же значение:

α+T	β+T
∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx, α, β .
α	β

Ñ Доказательство этого утверждения следует из геометрического смысла определенного интеграла, как численно равного

4

площади. Пусть функция f (x) задана в виде графика (рис. 1.1). Ин-

α+T

теграл ∫ f (x )dx равен численно заштрихованной площади плюс

α

β+T

площадь зачерненного треугольника 1; интеграл ∫ f (x)dx ра-

β

вен той же заштрихованной площади плюс площадь зачерненного треугольника 2, но площади треугольников 1 и 2 равны.

Рис. 1.1

Определение. Изменение функции за период T называется ее

	колебанием.
	Определение. Величина
	ω =	2π	(1.1)
		T

называется круговой частотой. Под ней понимается число колебаний за 2π секунд.

Определение. Величина, обратная периоду T :

	ν =	1	(1.2)
		T

называется частотой колебания и равна числу колебаний в секунду. Ее единицей измерения является герц.

Замечание. Очевидна формула связи между частотами ω = 2πν.

5

2. Понятие бесконечной системы тригонометрических функций, ее свойства

Определение. Бесконечной системой тригонометрических функций называется совокупность

1, cos ωx, sin ωx, cos 2ωx,	sin 2ωx, cos 3ωx,	sin 3ωx, ...,
cos nωx,	sin nωx,...,	(2.1)
где ω , n .

∙Свойство 1. Общим периодом для всех функций, входящих

вбесконечную тригонометрическую систему, является

T =	2p	.	(2.2)
	w
Ñ Рассмотрим одну из функций бесконечной тригонометри-
ческой системы f ( x) = cos nwx, n Î . Покажем, что для нее T			– пе-

риод, учитывая что 2pn – период для функции cos x. Действительно:

f( x + T ) = cos(nw( x + T )) =

=cos n2px + 2pn = cos n2px = cos nwx = f ( x).

T T

Аналогично, для функции f ( x) = sin nωx, n . Функция f ( x) = 1 является периодической, как постоянная (свойство 2 периодических функций)

∙ Свойство 2 (свойство ортогональности). Интеграл по от-

резку, равному по длине периоду T = 2wp, от произведения любых

двух разноименных функций тригонометрической системы равен нулю:

α+T	α+T
∫ 1× cos kwx dx = 0;	∫ 1×sin kwxdx = 0;	(2.3)
α	α

6

α+T
∫ sin kwx cos lwxdx =0 (k,l Î ),
α		(2.3)
α+T	α+T
∫ cos kwx cos lwxdx =0;	∫ sin kwx sin lwxdx =0,	k ¹ l.
α	α

Это свойство формулируется еще и так: функции тригонометрической системы ортогональны на отрезке [a,a + T ].

Ñ Поскольку интегралы от периодической функции по отрезку, равному по длине периоду, равны (свойство 5 периодических функций), то достаточно доказать ортогональность на отрезке [0, T ].

Воспользуемся методом подведения функции под знак дифференциала:

α+T

T

1

T

sin(kwx)

T

∫ 1× cos kwx dx = ∫1× cos kwx dx =

∫ cos kwx d (kwx) =

=

kw

kw

α

0

0

0

=

1

[sin(kwT ) - sin 0] = {wT = 2p} =

1

[sin(k 2p) - 0] = 0.

kw

kw

Аналогично,

α+T

T

1

T

cos(kwx)

T

∫ 1×sin kwx dx = ∫1×sin kwx dx =

∫sin kwx d (kwx) = -

=

kw

kw

α

0

0

0

= -

1

[cos(kwT ) - cos0] = {wT = 2p} =

1

[cos(k 2p) -1] =

1

[1-1] = 0.

kw

kw

kw

Далее воспользуемся известными тригонометрическими тождествами:

cos acosb =

sin asinb =

sin acosb =

		1			cos(a - b) + cos (a + b) ;
	2
	1			cos(a - b) - cos(a + b) ;
	2
			1		sin (a + b) + sin (a - b) .
	2

7

Вычислим при k,l :

T

sin kωx coslωxdx = sin kωx coslωx =

1

sin (k + l )ωx + sin(k − l )ωx =

∫

2

0

1

T

1

T

1

=

∫sin (k + l )ωxdx +

∫sin (k − l )ωxdx = −

cos (k + l )ωx

T −

2(k + l )ω

2

0

2

0

0

1

1

−

cos(k − l )ωx

T

= −

(cos(k + l )ωT − 1) −

2(k − l )ω

0

2(k + l )ω

–

1

(cos(k − l )ωT −1) = {ωT = 2π} = −

1

(cos(k

+ l)2π −1) –

2(k − l)ω

2(k + l)ω

−

1

(cos(k + l)2π −1) = −

1

(1

− 1) −

1

(1− 1) = 0,

2(k − l)ω

2(k + l )ω

2(k − l )ω

так как cos(2pm) = 1, m Î и в качестве m можно брать m = k - l или m = k + l .

Вычислим при k ¹ l

T

coskωx coslωxdx = coskωx coslωx =

1

cos(k − l)

ωx + cos(k + l)ωx

∫

=

2

0

1

T

1

T

1

=

∫ cos(k − l )

ωxdx +

∫ cos

(k + l )ωxdx =

sin (k − l )ωx

T +

(k − l )ω

2

0

1

2

0

1

2

0

+

sin (k + l )ωx

T

=

(sin (k

− l )ωT − sin 0) +

2(k + l )ω

0

2(k − l )ω

+

1

(sin (k

+ l )ωT − sin 0) = {ωT = 2π} =

2(k + l )ω

1

1

=

sin (k − l )2π − 0

+

sin

(k + l )2π − 0

= 0,

2(k − l )ω

2(k + l )ω

так как sin(2πm) = 0, m и в качестве m можно брать m = k − l или m = k + l .

8

Полностью аналогичное доказательство имеем для интеграла

α+T

∫ sin kwx ×sin lwxdx, k ¹ l.

α

Свойство 3. Интеграл по отрезку, равному по длине периоду

T = 2wp, от произведения любых двух одноименных функций, три-

гонометрической системы отличен от нуля, причем

	α+T	α+T		T		α+T		T
	∫ 1dx = T ;	∫	cos2 kwxdx =		;	∫	sin2 kwxdx =		. (2.4)
	α	α	2			α	2

Ñ Непосредственным вычислением, используя формулы понижения степени, и свойство 5 периодической функции, имеем

α+T

αα+T = (a + T ) - a = T ;

∫ 1dx = x

α+T

α

T

1+ cos kwx

∫ cos

2

= ∫ cos

2

2

kwx dx

kwxdx = cos

kwx =

=

α

0

2

1

T

1

T

1

T

=

∫

(1+ cos 2kwx)dx =

∫ dx +

∫ cos 2kwxdx (2kwx) =

4kw

2

0

2

0

0

x

sin 2kwx

T

wT = 2p

T

=

+

=

=

;

2

2

4kw

0

sin 4kp = 0

α+T

T

1 - cos kwx

∫ sin

2

kwx dx = ∫sin

2

2

kwxdx = sin

kwx =

=

α

0

2

1

T

1

T

1

T

=

∫(1- cos 2kwx)dx =

∫ dx -

∫sin 2kwxdx (2kwx ) =

4kw

2

0

2

0

0

x

cos 2kwx

T

wT = 2p

T

=

+

= cos 4kp = 1

=

.

2

2

4kw

0

cos0 = 1

9

3. Тригонометрические многочлены

Определение. Тригонометрическим многочленом n-го порядка в вещественной форме называют линейную комбинацию из первых n + 1 функций системы (2.1) вида:

fn (x)= a0 +a1 cosωx + b1 sin ωx + a2 cos 2ωx + b2 sin 2ωx + ... + an cos nωx + 2

+bn sin nωx = a0 + ∑n (ak coskωx + bk sin kωx), 2 k=1

с некоторыми постоянными коэффициентами a0 2, a1,..., an ;

b1,..., bn .

Из свойства 1) (2.2) для бесконечной системы тригонометрических функций следует, что функции fn (x) являются периодиче-

скими функциями периода T = 2ωπ .

Определение. Тригонометрическим многочленом n-го порядка в комплексной форме называют аналитическое выражение вида

n

fn (x ) = ∑ ck eikωx , где комплексные коэффициенты ck выраже-

k =− n

ны через вещественные коэффициенты ak

и bk

по формулам

=

1

(a

− ib );

=

=

1

(a

+ ib

);

k =

, c =

a0

.

c

c

1,n

k

k

−k

c

k

2

k

k

2

k

0

2

Ñ

Комплексная

форма тригонометрического многочлена

получается из вещественной формы с помощью формул Эйлера:

2

(

)

2i

(

)

сoskωx =

1

eik

ωx + e−ikωx

;

sin kωx

=

1

eikωx − e−ikωx

.

Действительно,

a

cos kωx + b sin kωx = a

eikωx + e−ikωx

+ b

eikωx − e−ikωx

=

k

k

k

2

k

2i

10