1.7. Обратная решетка

Для идеального бесконечного монокристалла обратная решетка представляет бесконечное трехмерное распределение точек, расстояние между которыми обратно пропорционально расстояниям между плоскостями прямой решетки. Размерность радиуса-вектора обратной решетки [м^-1]. Эта размерность совпадает с размерностью волнового вектора . Поэтому множеству радиус-векторов обратной решетки можно сопоставить множество плоских волн. Тогда точное определение обратной решетки можно сформулировать следующим образом:

Множество волновых векторов образуют обратную решетку по отношению к прямой решетке Бравэ с вектором трансляции , если плоские волны с волновыми векторами имеют периодичность данной решетки Бравэ, т.е.

или (1.7.1)

Обратная решетка всегда определяется по отношению к прямой решетке.

Пусть - основные векторы прямой решетки, тогда обратную решетку порождают три основных вектора следующим образом:

, , . (1.7.2)

Докажем, что обратная решетка, построенная на этих векторах также является трансляционной.

Легко показать, что

, (1.7.3)

,

где - символ Кронекера.

Запишем линейную комбинацию из основных векторов обратной решетки

, (1.7.4)

где m_1, m₂ ,m₃ - любые числа.

Найдем скалярное произведение векторов . Получим

(1.7.5)

Если К- вектор обратной решетки, то выполняется равенство

, т.е , где n целое число. Выражение в скобках в формуле (1.7.5) может быть целым при любых целых n_1, n₂ ,n₃ только если m_1, m₂ ,m₃ также целые числа.

Таким образом, если в выражении (1.7.5) m_1, m₂ ,m₃ - целые числа, вектор является вектором трансляции, а обратная решетка, порожденная этим вектором, также является трансляционной.

Атомная плоскость решетки Бравэ – любая плоскость, содержащая, по меньшей мере, 3 , не лежащих на одной прямой, узла.

Семейство атомных плоскостей – множество параллельных, равноотстоящих друг от друга атомных плоскостей, которые в своей совокупности содержат все узлы трехмерной решетки Бравэ. Каждая атомная плоскость является плоскостью какого-либо семейства. Понятие обратная решетка позволяет классифицировать различные семейства атомных плоскостей и очень удобно для структурного анализа.

Такая квалификация основана на теореме, устанавливающей связь между семейством атомных плоскостей и вектором обратной решетки:

для всякого семейства атомных плоскостей, отстоящих друг от друга на расстоянии d, существуют такие векторы обратной решетки, которые перпендикулярны к этим плоскостям, а наименьший из них имеет длину равную 2/d.

Докажем эту теорему. Пусть имеется семейство атомных плоскостей, отстоящих друг от друга на расстоянии d. Направим плоскую волну: exp[i()] с волновым вектором k=2/d и единичной амплитудой перпендикулярно данному семейству. Так как это плоская волна, она должна иметь одинаковую фазу на любой плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Так как плоскости отстоят друг от друга на расстоянии , выбранная нами плоская волна будет иметь одинаковое значение фазы на всех атомных плоскостях. Возьмем любой узел на любой атомной плоскости и примем его за начало координат. Тогда и вектор , что и требовалось доказать.