190-matematicheskiy-analiz-differencial-noe-ischislenie-funkciy-neskol-kih-peremennyh-1mb

z(3/2, 4) = 9/4 + 12 · 6 + 2 · 16 = 106,25; z(−5/2, 0) = 25/4 = 6,25;

z(5/2, 0) = 25/4 = 6,25.

2. Рассмотрим отрезок AB. На данном отрезке y = 0, где −5/2 ≤ x ≤ 5/2. Задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значе-

ния функции одной переменной на отрезке [−5/2, 5/2].

z = x2; z′ = 2x = 0.

Следовательно, M1(0, 0) − стационарная точка на границе G2;

z(0, 0) = 0.

Точки А(−5/2, 0) и В(5/2, 0) – граничные точки. Значение функции в граничных точках А и В было найдено ранее.

Среди найденных значений выберем наибольшее и наименьшее:

min z(x, y)

D

max z(x, y) =

D

= z(2, −3) = −50;

z(3/ 2,4) = 106,25.

101

2. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Для получения варианта домашнего задания необходимо, пользу- ясь табл. 2.1, заполнить пустые клетки табл. 2.2, затем выписать дан- ные из табл. 2.1, соответствующие номеру варианта. Например, ва- риант 5.14. Тогда по табл. 2.1 имеем

5

A

C

D

B

K

F

M

Вписываем эти буквы в пустые клетки табл. 2.2 и выбираем стро- ку, соответствующую 14-му варианту:

№ п/п

Коэффициент

A

C

D

B

K

F

M

14

4

5

2

–6

–3

7

8

Таблица 2.1

Порядок следования коэффициентов

№ п/п

Коэффициенты

1

A

B

C

D

K

F

M

2

C

D

B

A

K

F

M

3

B

A

K

D

C

F

M

4

C

A

B

K

D

F

M

5

A

C

D

B

K

F

M

6

A

K

B

D

C

F

M

7

B

K

A

C

D

F

M

8

C

K

D

A

B

F

M

9

B

D

K

C

A

F

M

10

D

K

A

C

B

F

M

11

D

C

K

B

A

F

M

12

K

C

A

D

B

F

M

13

D

A

B

K

C

F

M

14

K

B

C

D

A

F

M

15

K

A

C

B

D

F

M

16

K

C

D

A

B

F

M

102

										Таблица 2.2
	Данные для выполнения домашнего задания
Номер по п/п				Коэффициенты
1	2	3	–1		5		7		4		14
2	–5	–9	2		1		–4		3		8
3	6	4	1		2		–7		3		12
4	2	–1	6		–9		8		5		13
5	1	5	–4		–3		6		2		–8
6	4	3	11		–1		–4		3		9
7	2	5	1		4		10		3		24
8	5	–2	9		3		–1		4		7
9	–2	7	6		11		–1		4		8
10	–4	10	5		–3		7		2		13
11	–3	2	–4		7		1		4		12
12	–6	5	–1		8		11		2		–6
13	3	–2	9		–5		1		4		17
14	4	5	2		–6		–3		7		8
15	9	3	–5		7		4		3		–12
16	2	5	–1		–3		4		6		–10
17	1	–6	2		3		–5		4		14
18	10	–2	6		–4		3		5		21
19	–4	7	–3		9		6		2		–17
20	2	1	7		12		4		6		–8
21	8	5	–2		4		1		3		17
22	–3	2	–4		6		–7		5		14
23	–1	7	2		5		4		6		3
24	3	–5	6		–4		1		2		8
25	10	–2	4		7		5		3		–27
26	2	11	6		4		–3		5		16
27	1	4	–3		2		9		6		–17
28	4	5	–9		7		3		2		–12
29	3	2	–5		4		7		6		13
30	–2	10	–4		1		–3		4		37

Задача 1

Найти дифференциал первого и второго порядков функций:

1)z = xyA – BxCyD + 5xF в точке М(1, 1);

2)z = Ax + By в точке М(0, 1).

+DyCx

103

Задача 2

Найти частные производные первого порядка функций:

1)	z = F Ax2 + By2 + C2 + D ln(xA + xyM );
2) u = (z + M)(Ax + Ky) , где z > –M;
3)	z = Barctg	Ax	+ Btg2 (xF y + yF x − 1).
		yF

Задача 3

Найти производную функции z = Ax2 + Bxy + Cy2 в точке М(D, K)

в направлении вектора MO , где О(0, 0).

Задача 4

1. Найти dy , если (F)x = Ax + ByCx . dx

2. Найти ∂z , ∂z , если (A2 z)Fy − MxC yK zD = B .

∂x ∂y

Задача 5

Написать уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности z = Ax3yF + By3x – Dx2 – KyF в точке О(1, 1, z0).

Задача 6

Написать уравнение плоскости, касательной к поверхности A2x2 + + B2y2 + C2z2 = 1 и параллельной плоскости Mx + Ky + Dz = 1.

Задача 7

Найти локальные экстремумы функций:

1)z = Axy(C – Kx – My);

2)z = eAx(Cx + Dy2 + My).

Задача 8

	Найти				условный экстремум функции z = Axy + B при условии
	x2	+	y2		= C2 .
	D2		K 2

Задача 9

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = z(x, y) в замкнутой ограниченной области D:

1) z = Ax2 + By2 – C,	D: |x| + |y| ≤ F;
2) z = Сx + Мy + K,	D: x2 + y2 ≤ F2, y ≥ x – F.

104

3.ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1.Дать определение функции двух переменных.

2.Дать определения линии и поверхности уровня.

3.Найти область определения функции z = ln(x2 – y2 − 4).

4.Найти и построить линии уровня функции z = x2 + y2 .

5.Найти и построить линии уровня функции z = x2 − y2 .

6.Найти и построить поверхности уровня функции u = x2 − y2 + z2.

7.Дать определение функции, дифференцируемой в точке, а так- же частных производных и дифференциала.

8.Найти частные производные функции z(x, y) = − 4y .

x2

9.Найти дифференциал первого порядка для функции

z(x, y) = x3 y −	y3		+ 5 .
	x −
		1

10. Найти дифференциал первого порядка для функции

z = xy − 4 −		x3
			в точке М(2, 4).
4		+ xy2

11.Дать определение вторых частных производных и второго дифференциала функции двух переменных.

12.Найти частные производные второго порядка для функции z(x, y) = xy.

	∂f		∂2 f		2	2
13. Найти		и			функции f(x, y) = ln(x	+ 2xy + 3y ) в точке
	∂x		∂x∂y

М(1, 1).

14.Найти дифференциал второго порядка для функции z(x, y) = (2x – y)/(3x + 4у) в точке M(–1, 1).

15.Найти дифференциал второго порядка функции z = xcos(x2y) в

точке М(2, 0).

16.Вычислить

17.Вычислить

dy , если xey + yex – ex = 0. dx

∂z , если sin(xyz) – xy = zy.

∂x

18. Написать уравнение касательной плоскости и уравнение нор- мали к поверхности z = 2x2 – 4y2 в точке М(2, 1, 4).

105

19.Написать уравнения касательной плоскости и уравнение нор- мали к поверхности z = ln(4xy – 7x3)/y в точке М(1, 2, 0).

20.Написать уравнение касательной плоскости и уравнение нор- мали к поверхности x2 + y2 + z2 = 30 в точке М(1, 2, −5).

21.Написать уравнение касательной плоскости к поверхности 3x2 + y2 + 2z2 = 189, параллельной плоскости 6x + y +4z = 13.

22.Написать уравнения касательной плоскости к поверхности (x − 5)2 + 2(y + 2)2 + 2(z − 5)2= 26, перпендикулярной прямой

x − 2 = y + 5 = z + 4 .

2 2 1

23.Дать определение градиента функции. Сформулировать его основные свойства.

24.Дать определение производной функции f = f(x, y) в точке M по направлению вектора a . Записать формулу для вычисления произ-

водной по направлению.

25.Найти градиент функции u = x2 + y2 + z2 в точке M(2, −1, 2).

26.Найти производную функции z = (sin x)y в точке M(π/6, 2) по направлению вектора a = (3, − 4) .

27.Найти вектор, в направлении которого производная по на- правлению функции z = (2x + y) exy в точке М(0, –1) будет макси- мальной.

28.Вычислить производную функции u = (x2 + xy)2 − z по направ- лению вектора a = (2, − 2,1) в точке М(1, 2, 1).

29.Найти производную функции z = x arctg(xy) в точке М(1, 1) в направлении биссектрисы первого координатного угла.

30. Найти производную скалярного поля u = xy − 4 − z2 в точ-

ке M(1, 1, 0) по направлению нормали к поверхности S: z = x2 – y2, образующей острый угол с положительным направлением оси OZ .

31.Сформулировать правило дифференцирования сложной функции.

32.Дать определение точки локального экстремума функции двух переменных. Сформулировать необходимое условие существования локального экстремума функции двух переменных в точке.

33.Сформулировать достаточное условие существования локаль- ного экстремума функции двух переменных.

34.Дать определение точки условного экстремума функции двух переменных. Сформулировать необходимое условие существования условного экстремума функции двух переменных в точке.

106

35.Сформулировать достаточное условие существования услов- ного экстремума функции двух переменных.

36.Исследовать на локальный экстремум функцию

z = x2 – 4y2 – 2x – 8.

37. Исследовать на локальный экстремум функцию

z = 3x2y + y3 – 12x – 15y + 8.

38.Найти точки условного экстремума функции z = xy2 – 12 при условии, что х2 + у2 = 12.

39.Найти точки условного экстремума функции

z = 4x2 + 7y2 + 4xy − 3 при условии, что x2 + y2 = 5.

40.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = xy в

области D: x + y = 1, x = 0, y = 0.

41.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = x2 – y2 + 5

вобласти, определяемой неравенством х2 + у2 ≤ 2y.

42.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

f(x, y) = x2 – xy + y2 – 2

вобласти, определяемой неравенством х + у ≤ 1.

43.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = x + 2y − 7

вобласти, определяемой неравенствами х2 + у2 = ≤ 4, y ≤ 2 − x.

44.На плоскости x + y −2z = 0 найти точку, сумма квадратов рас- стояний которой от плоскостей x +3z = 6 и y +3z = 2 была бы наи- меньшей.

107

4. ТИПОВОЙ ВАРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Найти частные производные

первого порядка

для

функции

u = arctg(x – y)z.

2.

Найти

дифференциал

второго

порядка для

функции

z = arcsin(x/y).

3. Написать уравнение касательной плоскости и уравнение нормали:

а) к поверхности z =

x2 + y2

− xy в точке (3, 4, –7);

б) к поверхности x3 + y3 + z3 + xyz – 6 = 0 в точке (1, 2, –1);

в) к поверхности z = xy перпендикулярной прямой

x + 2

=

y + 2

=

z − 1

.

2

2

−1

4. Найти:

а) производную функции u =

x

по направлению вектора

yz

a = (–3, 4, 0) в точке М(4, –1, 3);

б)

производную функции u = x

y +

z

в точке M(2, 1, 2)

по на-

y

правлению градиента функции g(x, y, z) = xyz в этой точке;

в)

точку, в

которой

градиент

функции z = ln x +

1

равен

y

− 16

ij .

9

5.	Найти частные производные	∂z и	∂z функции yez = x2 yz − 2 .
		∂x	∂y
6.	Найти локальные экстремумы		функции двух переменных

z = x3 + y3 − 6xy − 39x + 18y + 20.

7. Найти точки условного экстремума функции z = x2 – y2 при ус- ловии x2 + y2 = 4.

8.	Найти			наибольшее			и	наименьшее значения функции
z = e	− x2 − y	2	2	+ 3y	2		2	+ y	2	≤ 4.
		(2x				) в круге x

108

Библиографический список

Бобкова Л.П., Дружининская И.М., Федорова В.И. Высшая мате-

матика: Учеб. пособие /Под ред. Б.Г. Разумейко. – М.: МИСиС, 1999.

Ч. 1, 2.

Пискунов Н.Ц. Дифференциальное и интегральное исчисление. –

М.: Наука, 1985. Т. 1, 2.

Сборник задач по математике для втузов /Под ред. А.В. Ефимова, Б.Г. Демидовича. – М.: Наука, 1986. Ч. 1, 2.

Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа.

– М.: Наука, 1986.

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального ис- числения. – М.: Наука, 1998. Т. 1.

109

Учебное издание

Плужникова Елена Леонидовна Разумейко Борис Григорьевич

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Учебное пособие

Редактор М.Б. Линчевская

Компьютерная верстка И.В. Воловик

Подписано в печать 02.03.11	Бумага офсетная
Формат 60 × 90 1/16	Печать офсетная	Уч.-изд. л. 6,85
Рег. № 189	Тираж 1600 экз.	Заказ 3030

Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС», 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4

Издательский Дом МИСиС, 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4

Тел. [phone]

Отпечатано в типографии Издательского Дома МИСиС 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4

Тел. [phone], тел./факс [phone]

110