190-matematicheskiy-analiz-differencial-noe-ischislenie-funkciy-neskol-kih-peremennyh-1mb

№ 190	МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

Кафедра математики

Е.Л. Плужникова Б.Г. Разумейко

Математический анализ

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Учебное пособие

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

Москва 2011

УДК 517

П40

Р е ц е н з е н т канд. техн. наук, доц. Л.А. Шамаро

Плужникова, Е.Л.

П40 Математический анализ : дифференциальное исчисление функций нескольких переменных : учеб. пособие / Е.Л. Плуж- никова, Б.Г. Разумейко. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2011. – 110 с.

ISBN 978-5-87623-424-7

В пособии приведены основные формулы и понятия по теме «Дифферен- циальное исчисление функций нескольких переменных», разобраны типовые задачи различных уровней сложности, а также даны условия домашнего за- дания. Количество вариантов обеспечивает индивидуальное задание каждому студенту. Типовые варианты контрольных работ и тестов, предназначенные для проверки усвоения курса, позволят студенту подготовиться к экзамена- ционной сессии.

Предназначено для студентов всех специальностей.

УДК 517

ISBN 978-5-87623-424-7	♥ Плужникова Е.Л.,
	Разумейко Б.Г., 2011

2

ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 4
1.1. Функции нескольких переменных..............................................	4
1.2. Предел и непрерывность функции двух переменных...............	6
1.3. Дифференцируемость функции многих переменных .............	11
1.4. Производные и дифференциалы высших порядков................	22
1.5. Производная сложной функции и производная функции,
заданной неявно.................................................................................	35
1.6. Производная функции в данном направлении и градиент
функции..............................................................................................	47
1.7. Касательная плоскость и нормаль к поверхности...................	56
1.8. Формула Тейлора для функции нескольких переменных ......	61
1.9. Экстремум функциёи нескольких переменных.......................	65
1.10. Условный экстремум функции двух переменных.................	83
1.11. Наибольшее и наименьшее значение функции
в замкнутой ограниченной области .................................................	92
2. Домашнее задание ............................................................................	102
3. Вопросы для самопроверки .............................................................	105
4. Типовой вариант контрольной работы...........................................	108
Библиографический список.................................................................	109

3

1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1.1. Функции нескольких переменных

Величина u называется функцией переменных величин x1, x2, …, xn,

если каждой точке М(x1, x2, …, xn), принадлежащей некоторому мно-

жеству X, поставлено в соответствие одно определенное значение величины u. Переменные x1, x2, …, xn называются аргументами или

независимыми переменными. Множество X называется областью определения функции и обозначается D(f). Совокупность всех значе-

ний, которые функция принимает на множестве D(f), называется об- ластью значений функции и обозначается E(f).

Если u функция переменных величин x1, x2, …, xn, то

u= f(x1, x2, …, xn).

Восновном будут рассмотрены функции двух и трех переменных. Рассмотрим более подробно z = f(x, y)– функцию двух перемен-

ных. Величина z называется функцией переменных величин x, y на множестве X, если каждой точке М(x, y) этого множества соответст- вует одно определенное значение величины z. Как и функции одной переменной, функции двух переменных могут быть заданы таблицей своих значений, аналитически (формулой) и графически.

Табличное задание функции двух переменных состоит в том, что для каждой пары значений независимых переменных x, y указывается соответствующее им значение функции.

При аналитическом способе задания функции двух переменных задается формула, при помощи которой по заданным значениям не- зависимых переменных x, y можно найти значение функции.

Если функция z = f(x, y) определена в некоторой области X на плоскости XOY, тогда каждой точке (x, y), принадлежащей области X,

будет отвечать точка (x, y, f(x, y)) трехмерного пространства R3. Множество точек (x, y, f(x, y)) называется графиком функции

z = f(x, y). Иными словами, графиком функции z = f(x, y) двух незави- симых переменных x и y называется множество точек, абсциссы и ординаты которых являются значениями x и y, а аппликаты – соот- ветствующими значениями z. Графиком функции непрерывных ар- гументов обычно служит некоторая поверхность. Например, графи-

4

ком функции z = x2 + y2 является эллиптический параболоид, графи- ком функции z = 4x + y – плоскость.

В аналитической геометрии при изучении поверхностей второго порядка пользуются методом сечений, который заключается в том, что вид поверхности определяется с помощью исследования кривых, образованных при пересечении этой поверхности плоскостями, па- раллельными координатным плоскостям. Этот же метод применяется и при исследовании функций двух переменных. Для изучения харак- тера изменения функции пользуются линиями уровня. Линией уровня функции z = f(x, y) называется линия в плоскости XOY, в точках кото- рой функция сохраняет постоянное значение. Для того чтобы полу- чить линию уровня необходимо пересечь график функции плоско- стью z = c, параллельной плоскости XOY, а затем спроектировать ли- нию пересечения плоскости z = c и данной поверхности на плоскость XOY. Например, линиями уровня функции z = x2 + y2 являются кон- центрические окружности с центром в начале координат.

Точно так же при изучении функции трех переменных u = f(x, y, z) используют поверхности уровня. Поверхностью уровня функции трех

переменных u = f(x, y, z) называется такая поверхность f(x, y, z) = с, в точках которой функция принимает постоянное значение u = с.

Пример 1.1.1

Найти область определения функции z = 1 − x2 − y2 , а также

найти линии уровня данной функции.

Решение

Найдем область определения данной функции. Подкоренное вы- ражение должно быть неотрицательным. Следовательно,

1 − x2 − y2 ≥ 0 x2 + y2 ≤ 1.

Таким образом, получили область определения функции – множе- ство точек круга с центром в начале координат, радиус которого ра-

вен 1 (рис.1.1).

Найдем линии уровня функции. Функция z = 1 − x2 − y2 прини-

мает постоянное значение z = c, если

c = 1 − x2 − y2 x2 + y2 = 1 − c2.

5

Y

1

1 X

Рис. 1.1

Таким образом, при с (−1, 1) линии уровня – концентрические окружности с центром в начале координат, а при с = ±1 линии уров- ня – точка с координатами (0, 0).

Пример 1.1.2

Найти поверхности уровня функции u = x2 + y2 – z2.

Решение

Функция u = x2 + y2 – z2 принимает постоянное значение z = c, если

c = x2 + y2 – z2.

Таким образом, при с > 0 поверхности уровня – однополостные гиперболоиды, при с < 0 – двуполостные гиперболоиды, а при с = 0 – конус второго порядка.

1.2. Предел и непрерывность функции двух переменных

Множество Uδ (P0) точек (x, y) плоскости XOY называется δ-окрест- ностью точки P0(x0, y0), если (x − x0 )2 + ( y − y0 )2 < δ , т.е. δ-окрест-

ность точки P0(x0, y0) − это внутренность круга с центром в точке

P0(x0, y0) радиуса δ. Проколотой δ-окрестностью точки P0(x0, y0) на-

зывается множество

U δ (P0 ) = {(x, y) R2 : 0 < (x − x0 )2 + ( y − y0 )2 < δ},

6

т.е. проколотая δ-окрестность точки P0(x0, y0) − это внутренность круга с центром в точке P0(x0, y0) радиусом δ с выколотым центром.

Пусть функция z = f(x, y) определена в некоторой проколотой ок- рестности Ů(P0) точки P0(x0, y0). Число а называется пределом функ- ции z = f(x, y) при стремлении точки P(x, y) к точке P0(x0, y0), если для

любого ε > 0 существует такое число δ = δ(ε) > 0, что для всех точек

P(x, y) Ů(P0) и удовлетворяющих условию	0< (x− x )2	+ (y − y )2	< δ
	0	0
имеет место неравенство
| f (x, y) − a |< ε.

Предполагается, что точка P(x, y) стремится к точке P0(x0, y0) по любому направлению, и все соответствующие предельные значения существуют и равны числу a.

Обозначают:

lim f (x, y) = a.

x→ x0 y→ y0

Аналогично определяется предел для функции нескольких пере- менных. Все основные свойства пределов функции одной перемен- ной переносятся на случай функций нескольких переменных.

Последовательность {Pn(xn, yn)} точек плоскости XOY сходится к точке P0(x0, y0) этой плоскости тогда и только тогда, когда последо- вательности {xn}, {yn} координат точек Pn сходятся к соответствую- щим координатам х0, у0 точки P0.

Для того чтобы функция z = f(x, y) имела предел в точке P0(x0, y0), необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности то-

чек {Pn(xn, yn)}, имеющей пределом точку P0, существовал lim f (Pn )

n→∞

и был одинаковым для всех последовательностей {Pn(xn, yn)}. Функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке P0(x0, y0), если

функция определена в некоторой окрестности точки P0(x0, y0) и

lim f (x, y) = f (x0 , y0 ).

x→ x0 y→ y0

Функция z = f(x, y) называется непрерывной в некоторой облас-

ти D, если она непрерывна в каждой точке этой области. Непрерывные функции двух переменных обладают теми же са-

мыми свойствами, что и непрерывные функции одного переменного.

7

Пример 1.2.1
Вычислить lim	3 −	xy + 9	.
x→0		xy
y→0

Решение

После подстановки в данное выражение x = 0 и y = 0 получим не-

0

определенность вида 0 . Числитель и знаменатель дроби, стоящей

под знаком предела, умножим на выражение, сопряженное к числи- телю, а затем преобразуем выражение, полученное в числителе по формуле разности квадратов (a – b)(a + b) = a2 − b2.

lim	3 −	xy + 9	= lim	(3 −	xy + 9)(3 + xy + 9)	=
		xy
x→0			x→0		xy(3 + xy + 9)
y→0			y→0

= lim	9 − xy − 9	= lim			−1	= −	1	.
				+	xy + 9)
x→0 xy(3 + xy + 9)		x→0 (3				6
y→0		y→0

Пример 1.2.2

		ln2 (x + y)
Вычислить lim						.
x→1	x	2	+ y	2	− 2x + 1
y→0

Решение

После подстановки в данное выражение x =1 и y = 0 получим не-

определенность вида

0

.

0

ln2 (x + y)

= lim

ln2 (1+ x + y − 1)

lim

.

x→1

x

2

+ y

2

− 2x + 1

x→1

(x − 1)

2

+ y

2

y→0

y→0

Так как при x → 1, y → 0 функция x + y – 1 → 0, то можно заме- нить бесконечно малую функцию α(x, y) = ln(1 + x + y – 1) на экви- валентную ей бесконечно малую функцию α1(x, y) = x + y – 1. Тогда

lim	ln2 (1+ x + y − 1)				= lim	(x + y − 1)2				= I.
x→1	(x − 1)	2	+ y	2	x→1	(x − 1)	2	+ y	2
y→0					y→0

8

Сделаем замену x – 1 = z, где z → 0, а затем перейдем к полярным координатам:

(z + y)2

z = r cos ϕ;

(r cos

ϕ + r sin ϕ)2

I = lim

=

y = r sin ϕ;

= lim

=

2

2

2

2

2

2

z→0

z

+ y

r → 0

r→0

r

cos

ϕ + r

sin

ϕ

y→0

= lim

r2

(cos ϕ + sin ϕ)2

=

r

r→0

= lim r(cos2 ϕ + 2sin ϕ cos ϕ + sin2 ϕ) = lim r(1+ sin 2ϕ) = 0.

r→0

r→0

Пример 1.2.3

Вычислить lim	x2	− y2 + x3 + y3	.
		x2 + y2
x→0
y→0

Решение

После подстановки в данное выражение x = 0 и y = 0 получим не-

определенность вида

0

. Вычислим повторные пределы:

0

x2 − y2 + x3 + y3

x2

+ x3

1+ x

lim

lim

= lim

= lim

= 1;

x2 + y2

x2

x→0

y→0

x→0

x→0 1

		x2 − y2 + x3 + y3		− y2	+ y3		−1+ y
lim	lim			= lim		= lim		= −1.
		x2 + y2
y→0	x→0			y→0 y2		y→0	1

Получили, что оба повторных предела существуют и конечны, но они не равны между собой. Следовательно, по теореме о единствен-

ности предела	lim	x2	− y2 + x3 + y3	не существует.
			x2 + y2
	x→0
	y→0

Также можно показать, что данный предел не существует, рас- смотрев изменение x и y вдоль прямых y = kx. Тогда данное выраже- ние может стремиться к различным пределам в зависимости от вы- бранного значения k. Действительно, при y = kx

lim	x2	− (kx)2 + x3 + (kx)3	= lim	x2	(1 − k2 + x + k3x)		=
		x2 + (kx)2			x2	(1+ k2 )
x→0			x→0
y= kx			y= kx

9

	= lim	1− k2	+ x + k3 x	=	1− k2			.
		1	+ k2		1		+ k2
	x→0
	y=kx

Тогда при разных значениях k получаются различные предельные значения. Следовательно, данный предел не существует.

Пример 1.2.4

	Вычислить lim	x2 y	.
		x4 + y2
	x→0
	y→0

Решение

После подстановки в данное выражение x = 0 и y = 0 получим не-

определенность вида

0

. Рассмотрим изменение x и y вдоль пря-

0

мых y = kx:

lim

x2 y

= lim

x2kx

= lim

kx3

= lim

kx

= 0.

4

+ y

2

4

+ (kx)

2

2

(x

2

+ k

2

)

x

2

+ k

2

x→0

x→0

x

x→0

x→0

y→0 x

y= kx

y= kx x

y= kx

Рассмотрим изменение x и y вдоль параболы y = x2:

lim

x2 y

= lim

x2 x2

= lim

x4

=

1

.

+ y2

2

x→0 x4

x→0 x4 + x

4

x→0 2x4

y→0

y= x

2

y= x

2

Получили, что предел вдоль прямых y = kx существует и равен при любом значении k нулю, а предел вдоль параболы y = x2 сущест-

вует и		равен		1	. Значит, по теореме о единственности предела
			2
lim	x2 y		не существует.
		+ y2
x→0 x4
y→0
Пример 1.2.5
Исследовать функцию
						2xy
					(x + y)cos		, x ≠ 0, y ≠ 0;
						x2 + y2
			f (x, y) =
						y = 0
					0, x = 0,

на непрерывность в точке (0, 0).

10