2. 3 Вывод фундаментальных уравнений.
2. 3. 1 Упрощённая модель шд.
Для анализа колебательных явлений и их затухания в ШД будем использовать математические модели, описанные в книге Т. Кенио “Шаговые двигатели и их микропроцессорные системы управления”. Начиная с 30-й страницы в этой книге приведён подробный анализ магнитных систем с последующим переходом к уравнениям, описывающим явления происходящие в шаговом двигателе. Не будем приводить все математические выкладки, рассмотрим только самые основные. Но перед тем как приступить к рассмотрению уравнений введём своё обозначение физических величин, чтобы их легко было вводить в MATLAB.
Выпишем часто употребляемые обозначения:
e [рад] – угол поворота ротора.
Eh [рад] – величина полного шага.
Ia [A] – ток в обмотке A.
Ib [A] – ток в обмотке B.
Inom [A] – номинальный ток обмотки
Va [в] – напряжение, подведённое к обмотки A.
Vb [в] – напряжение, подведённое к обмотки B.
M [Н*м] – мгновенный момент ШД
Ma [Н*м] – составляющая мгновенного момента ШД, как результат действия тока в катушке А
Mb [Н*м] – составляющая мгновенного момента ШД, как результат действия тока в катушке В
R [ом] – сопротивление каждой из обмоток.
L [Гн] – индуктивность каждой из обмоток.
Lab [Гн] – взаимоиндукция.
p [] – число пар полюсов.
Fm [Тл*м^2] – токосцепление от магнита в роторе.
Итак, имеется ШД с 2-мя независимыми обмотками. Их соответственно обозначим: обмотка А и обмотка В. Модель простейшего биполярного двигателя изображен на рисунке 2.3.1.
Рис 2.3.1
Обмотки вместе с магнитопроводом образуют статор, а постоянный магнит является ротором. Заметим, что число полюсов ротора является одному. И ещё одно примечание: хотя на рисунке изображено напряжение, поданное на обмотки, мы будем рассматривать ток в этих обмотках, потому что именно он создаёт магнитный поток в магнитопроводах.
Рассмотрим случай, когда подаётся ток только на одну обмотку (A), в таком случае момент выражается следующей формулой:
Аналогично для второй обмотки:
При наличие токов о обоих обмотках моменты складываются алгебраически (потому что вектора моментов лежат на одной линии). Момент главным образом зависит от тока обмотки и от токосцепления Fm. Токосцеление – это не что иное как магнитный поток вызванный постоянным магнитом ротора. Магнитный поток распределяется по магнитопроводам обмоток А и В согласно гармоническому закону по углу поворота ротора e. Поэтому в формуле появляется синус от e.
На рис. 2.3.1 ротор показанный сплошной линией находится в нулевом положении, т.е. e=0 рад. Если его отклонить на угол e (показано пунктиром) и подать ток в обмотку А, то возникнет момент, стремящийся повернуть ротор в то положение, где магнитный поток в магнитопроводе обмотки А будет максимальным. Или другое объяснение: ротор поворачивается в сторону увеличения магнитного потока. То есть в положение e=0. Момент противоположен отклонению e и поэтому в формулах (1) и (2) ставится минус.
Примечание: даже если магнитный поток от магнита отсутствует, то есть ротор не является магнитом вовсе. В этом случае момент Ma будет иметь не нулевое значение, вопреки формуле (1). Объяснение этому очевидное: индуктивность катушек А и В в зависимости от угла поворота неодинакова, поскольку меняется воздушный зазор между статором и ротором. Нужно ли учитывать этот факт в формулах (1) и (2). Разработчики ШД утверждают что индуктивность обмоток меняется не больше чем на 20% в зависимости от положения ротора, момент главным образом зависит от токосцепления постоянного магнита. Поэтому мы пренебрегли изменением индуктивности L обмоток.
Далее рассмотрим случай, когда ротор свободен от нагрузки. В какое устоявшееся положение повернётся ротор, при подачи на него различных значений токов Ia и Ib.
Воспользуемся формулами (1) и (2), чтобы получить формулу для общего момента ШД:
Поскольку, рассматриваем случай, когда момент равен нулю, приравняем его к нулю. В результате получим уравнение устоявшегося положения ротора в зависимости от токов токов Ia и Ib.
Вернёмся в уравнению (3). Если обе его части возвести в квадрат, то в последствии можно привести к виду:
Обращаем внимание ещё раз на то что это уравнение для максимального статического момента двигателя и для числа пар полюсов на роторе равного двум. Из этого уравнения видно, что для сохранения постоянства момента необходимо соблюдать условие:
Условие сохранения момента должно выполняться обязательно. В противном случае это может привести к нежелательным колебаниям или (что ещё хуже) к резонансу в системе.
Наконец изобразим графически уравнение (4), с учётом условия (6):
Рис. 2.3.2
Если проводить аналогии с рис.2.3.1, то можно заметить что оси Ia и Ib перпендикулярны осями симметрий соответствующих обмоток. Кроме того направление южного полюса ротора совпадает с направлением вектора на рис. 2.3.2. Это сделано для лучшей понимабельности модели.
Вернёмся к рисунку 2.3.2. Вектор обозначает угол поворота ротора e. Длина вектора пропорциональна максимальному статическому моменту. По осям соответственно откладываются значения токов в обмотках. Точка на координатной плоскости соответствует концу вектора на рис. 2.3.2. При работе двигателя конец вектора будет двигаться по окружности.
Для равномерного вращения ротора с постоянным моментом, необходимо подключить к обмоткам ШД источник тока с синусоидальными сигналами, сдвинутыми по отношению друг к другу на угол Pi/2. Как показано на рисунке 2.3.2 справа от окружности. Для примера так же обозначена точка мгновенных значений токов в момент времени – Ia1 и Ib1.