При имитационном моделировании структура моделируемой системы – ее подсистемы и связи – непосредственно представлена структурой модели, а процесс функционирования подсистем, выраженный в виде правил и уравнений, связывающих переменные, имитируются на компьютере.

Алгебраические и дифференциальные уравнения (например, в системе имитационного моделирования AnyLogic) решаются численно. AnyLogic использует современную библиотеку численных методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений (линейных и нелинейных), алгебраических уравнений и любых их комбинаций.

Моделирование случайных событий при разработке имитационных моделей осуществляется с помощью генерации случайных чисел. Пакеты имитационного моделирования содержат набор встроенных функций часто используемых вероятностных распределений. Каждое из распределений имеет один или несколько параметров связанных с ним. При построении модели нужно задать эти параметры, чтобы определить распределение в полном объеме. Для выбора распределения и задания параметров нужно знать свойства распределений и виды событий для моделирования, которых они используются (табл. 14.1).

Таблица 14.1

Описание основных вероятностных распределений

Название

распре-

Вид распределения

Область применения

деления

1

2

3

Равномер-

1

,

a ≤ x ≤ b,

Используется, когда все значения на

ное

конечном диапазоне считаются рав-

− a)

f ( x) = (b

новероятными и когда нет никакой

0, в противном

случае

информации, кроме диапазона

MX = (a + b) / 2 , DX =

1

(b −a)2.

18

Бета-

x

β

−1

α −1

Из-за своей способности взять на

распреде-

(1− x)

, 0 < x <1

себя большое разнообразие форм,

ление

f (x) =

B(β,α)

это распределение часто использу-

в противном случае

ется в качестве грубой модели в свя-

0,

зи с отсутствием данных. Кроме то-

1

го, поскольку спектр бета-распреде-

β −1(1−t)α−1dt ,

ления от 0 до 1, образец

X можно

где B(β,α) = ∫t

преобразовать масштабированием к

0

образцу Y

с бета-распределением

MX =

β

,

диапазона от a до b, используя

β +α

уравнение

Y = (b − a)X .

Распреде-

ление часто используется для пред-

DX =

βα

ставления

случайных

пропорций,

(β +α)2(β +α +1)

например, доля дефектных изделий

в партии

287

1

2

3

Распреде-

−k

k −1

−x / β

Распределение используется в ситу-

ление Эр-

β

x

e

, x > 0 ,

ациях, в которых деятельность про-

ланга

f (x) =

(k −1)!

исходит в последовательных фазах и

каждая фаза имеет

экспоненциаль-

0, в противном случае

ное распределение. Для больших k

MX = kβ ,

распределение Эрланга приближает-

ся к нормальному. Распределение

DX = kβ 2

часто используется для моделирова-

ния времени, необходимого для за-

вершения задачи. Распределение яв-

ляется частным случаем гамма-рас-

пределения, в котором параметр α,

является целым числом k

Нормаль-

−(x−µ)2 / 2σ 2

Нормальное распределение исполь-

ное

e

, x > 0

зуется в ситуациях, в которых при-

f (x) =

σ

2π

меняется центральная

предельная

теорема; то есть величины, которые

0, в противном случае

являются суммами других величин.

DX =σ 2 .

Он также используется эмпирически

MX = µ ,

для процессов, которые, как пред-

ставляется

имеют

симметричное

распределение. Поскольку теорети-

ческий диапазон от -∞ до +∞, то рас-

пределение

должно

использоваться

только для положительных величин,

как время обработки

Пуассона

−λ

x

Распределения

Пуассона

является

e

λ

, x {0,1,...}

дискретным распределением, которое

f (x) =

x!

часто используется

для

моделирова-

ния числа случайных событий, проис-

0, в противномслучае

ходящих в фиксированный интервал

MX = λ ,

DX = λ .

времени. Если интервал времени, ме-

жду последовательными

событиями

экспоненциально распределенный, то

число событий, которые происходят в

фиксированном

интервале

времени,

имеет распределение Пуассона. Рас-

пределения Пуассона также исполь-

зуется для моделирования случайного

объема партии

Треуголь-

2(x

−a)

,

a ≤ x ≤ m,

Треугольное распределение обычно

ное

используется в ситуациях, когда точ-

(m −a)(b −a)

ный вид распределения не известен,

2(b

− x)

m ≤ x ≤ b,

но оценки для минимальных, мак-

f (x) =

,

(b −m)(b −a)

симальных

и

наиболее

вероятных

0, в противномслучае

значений

доступны. Треугольное

распределение проще в использова-

нии, и в объяснении, чем другие ди-

MX = (a + m + b) / 3,

стрибутивы, которые могут исполь-

DX =

1

(a2 + m2 + b2 −

зоваться в этой ситуации (например,

бета-распределения)

.

18

− ma − ab − mb)

288

1

2

3

Гамма-

−α

α −1 −x / β

Данное распределение используется

распреде-

β

x

e

, x > 0 ,

для представления времени, необхо-

ление

f (x) =

Г(α)

димого для выполнения некоторых

задач (например, время обработки

0, в противном случае

или времени ремонта машины)

∞

где Г(α) = ∫tα−1e−1dt ,

0

MX =αβ ,

DX =αβ 2 .

Экспонен-

1

e

−x

/ β

, x

> 0

Это распределение часто использу-

циальное

ется для моделирования количества

f (x) = β

событий

случайного

прибытия

и

в противном случае

0,

разрывных процессов, но, как пра-

вило, не подходят для моделирова-

MX = β ,

ния процесса задержки времени. Это

особенно полезно в сервисных при-

DX = β 2

ложениях, таких как торговые и

бизнес

центры

или

телефонные

службы, где объем клиентов, изме-

няется в течение дня

Логнор-

−(ln x−µ)2 / 2σ 2

Логнормальное

распределение

ис-

мальное

e

, x > 0

пользуется в ситуациях, в которых

f (x) =

σx 2π

величина результат большого числа

в противном случае

случайных величин. Оно также час-

0,

то используется

для представления

MX = e−µ+σ 2 / 2 ,

задач, в которых распределение ве-

личин имеет перекос вправо. Такое

распределение связано с нормаль-

2µ

+σ 2

σ 2

ным следующим образом. Если

X

DX = e

−1) .

имеет логнормальное ( µ1,σ1) рас-

(e

пределение, то ln X имеет нормаль-

ное (µ,σ) распределение

Кроме перечисленных математических методов и моделей в пакетах имитационного моделирования используются математические и логические операции.

14.3. Сравнительный анализ современных систем имитационного моделирования

Классифицировать существующие пакеты имитационного моделирования можно по области применения: универсальные, которые предназначены для различных целей и предметно-ориентированные, которые служат для решения специальных задач в определенной области деятельности человека, а также по технологическим характеристикам (табл. 14.2)

289

Таблица 14.2

Сравнительные характеристики современных систем моделирования

			Моделирующая среда и поддержка
Система				Авторское		Поддержка
	Произво-		Графиче-	моделиро-	Анимация
моделиро-	дитель ПО	Приложения	ская конст-	вание, про-	в реальном	анализа
вания			рукция ИМ	граммиро-	времени	результа-
				вание моде-		тов
				лей
		Непрерывное
	ООО «Экс	и дискретно-	Иерархия
	Джей Тек-	событийное
AnyLogic	нолоджис»	моделирова-	активных	язык Java	+	+
	(XJ Tech-	ние, много-	объектов
	nologies)	агентный
		подход
	Rockwell	Производство,
		анализ бизнес-
	Automation	процессов,	Блок-схемы	язык	+	+
ARENA	(System	дискретное		SIMAN
	Modeling	моделирова-
	Corporation)
		ние
		Стратегиче-	Компоно-
	Imagine	ское планиро-	вочные	+		Анализ
			блоки, не-
EXTEND	That, Inc.	вание, бизнес	прерывные	язык Modl	+	чувстви-
		моделирова-	и дискрет-			тельности
		ние	ные модели
	Wolverine	Общего назна-
GPSS/	Software	чения, произ-	Блок-схемы	+	+	ANOVA
H-PROOF	Corporation	водство, тран-
		спорт и др.
		Универсальное		Объектно-
	Visual	средство ими-	--	ориенти-	+	+
SIMUL8	Thinking	тации дис-		рованное
	International	кретных про-		программи-
		цессов		рование
TAYLOR		Производство,	Блок-схемы,
SIMULA-
	F&H Simu-		дискретное	--	+	+
TION	lation Inc.	стоимостный	моделиро-
SOFT-		анализ	вание
WARE
	Ventana	Модели сис-	Потоковые	--	--	--
VENSIM		темной дина-
	Systems	мики	диаграммы
POWERSI	Powersim	Непрерывное	Потоковые	--	+	--
		моделирова-
M	Co.	ние	диаграммы
	Expectation	Модели сис-
DYNAMO		темной дина-	Блок-схемы	--	--	--
	Software	мики вычисли-
		тельного типа

290

14.4. Назначение и возможности инструментальной среды AnyLogic. Примеры моделирования средствами программы AnyLogic

Пакет AnyLogic – отечественный профессиональный инструмент нового поколения, который предназначен для разработки и исследования имитационных моделей. Разработчик продукта – компания «Экс Джей Текнолоджис» (XJ Technologies), г. Санкт-Петербург; электронный адрес: www.xjtek.ru. AnyLogic был разработан на основе новых идей в области информационных технологий, теории параллельных взаимодействующих процессов и теории гибридных систем.

Программный инструмент AnyLogic основан на объектно-ориенти- рованной концепции. Другой базовой концепцией является представление модели как набора взаимодействующих, параллельно функционирующих активностей. Активный объект в AnyLogic – это объект со своим собственным функционированием, взаимодействующий с окружением. Он может включать в себя любое количество экземпляров других активных объектов. Графическая среда моделирования поддерживает проектирование, разработку, документирование модели, выполнение компьютерных экспериментов, оптимизацию параметров относительно некоторого критерия.

При разработке модели можно использовать элементы визуальной графики: диаграммы состояний (стейтчарты), сигналы, события (таймеры), порты и т.д.; синхронное и асинхронное планирование событий; библиотеки активных объектов. При разработке модели на AnyLogic можно использовать концепции и средства из нескольких классических областей имитационного моделирования (рис. 14.1): динамических систем, дискретнособытийного моделирования, системной динамики, агентного моделирования. Кроме того, AnyLogic позволяет интегрировать различные подходы с целью получить более полную картину взаимодействия сложных процессов различной природы.

AnyLogic поддерживает несколько типов экспериментов: простой эксперимент, эксперимент для варьирования параметров, оптимизационный и др. С помощью экспериментов задаются конфигурационные настройки модели. На рис. 14.2 показано окно выбора эксперимента.

Простой эксперимент. Задачи вида «что – если» (так называемая

прямая задача имитационного моделирования ИМ) в AnyLogic решаются с помощью простого эксперимента. Простой эксперимент используется в большинстве случаев при разработке и анализе моделей, созданных в

AnyLogic.

Оптимизационный эксперимент. Используется для решения задач количественного анализа (расчет показателей эффективности системы). Поиск тех значений факторов, которые определяют наиболее предпочтительный вариант решения, называется обратной задачей ИМ.

291

Рис. 14.1 – Окно выбора типа модели программы AnyLogic

Рис. 14.2 – Окно выбора типа эксперимента программы AnyLogic

292

Обратные задачи моделирования отвечают на вопрос о том, какое решение из области допустимых решений обращает в максимум показатель эффективности системы. Для решения обратной задачи многократно решается прямая задача. В случае, когда число возможных вариантов решения невелико, решение обратной задачи сводится к простому перебору всех возможных решений. Сравнивая их между собой, можно найти оптимальное решение. Если перебрать все варианты решений невозможно, то используются методы направленного перебора с применением эвристик.

При этом оптимальное или близкое к оптимальному решение находится после многократного выполнения последовательных шагов (решений прямой задачи и нахождения для каждого набора входных параметров модели вектора результирующих показателей). Правильно подобранная эвристика приближает эксперимент к оптимальному решению на каждом шаге.

Далее приведены примеры типовых задач, решаемых средствами программы AnyLogic.

Пример 1. (Моделирование систем массового обслуживания). В банковском отделении находятся банкомат и стойки банковских кассиров, которые предназначены для быстрого и эффективного обслуживания посетителей банка. Операции с наличностью клиенты банка производят с помощью банкомата, а более сложные операции, такие как оплата счетов – с помощью кассиров. Необходимо произвести оценку затрат операций и определить, сколько денег тратится на обслуживание одного клиента и какую часть этой суммы составляют накладные расходы на оплату работы персонала банка, а какую – на обслуживание посетителей.

Данная задача при известных характеристиках потоков клиентов, количества кассиров, среднего времени обслуживания может быть решена с помощью имитационной модели представленной на рисунке 14.3.

Рис. 14.3 – Вид модели системы массового обслуживания в среде

AnyLogic

293

Пример 2. Разработка имитационной модели торговой компа-

нии. В торговой компании каждые 1-6 минут поступает непрерывный поток звонков от клиентов. Звонки бывают трех типов: очень важные – с ними работает только директор компании, специальные технические звонки в службу сервис центра – с ними работают специалисты сервис центра, все остальные звонки (покупка, консультация по покупке) – с ними работают менеджеры. Звонки разделяются секретарем и поступают к тому, кто будет с ними работать. Звонков третьего типа поступает больше всего (около 85%). В отделе по продажам работают три менеджера с различным опытом продаж. Все звонки поступают сначала к первому менеджеру, если он занят, то передаются ко второму, если и первый менеджер и второй заняты, то задействуется третий менеджер.

Реализовать модель торговой компании. Имеется три типа входящих звонков, и три типа обработчиков этих звонков. Места обслуживания – секретарь, директор, сервис центр, три менеджера. Учесть передачу входящих звонков между менеджерами, в случае их занятости в момент поступления заявки.

Пример 3. Модель процесса производства пластиковых окон. За-

явки от клиентов непрерывным потоком поступают на предприятие и передаются в отдел планирования. На выходе из данного отдела каждая заявка характеризуется следующими переменными:

–предельноевремявыполнениязаказа, котороеклиентсогласенждать;

–время выполнения проекта;

–время ожидания начала выполнения заказа, если предшествующая очередь заказов не пуста.

1.Далее отдел планирования передает в производственный отдел план-график по выполнению данного заказа.

2.Производственный отдел разделен на следующие участки с жестко закрепленными производственными операциями:

а) участок нарезки деталей; б) участок сварки; в) участок сборки;

г) участок по изготовлению подоконника, водоотлива и москитной сетки.

3.Завершающим этапом является установка окна в оконные проемы, которую осуществляет бригада установки.

4.Если на выходе из системы (предприятия) время выполнения проекта превышает предельное время ожидания, то данный заказ считается невыполненным, т.е. отказом.

Пример 4. Модель супермаркета. В супермаркет приходят покупатели через различные интервалы времени. Выбирают товары с витрин, которые им необходимы и идут к кассам. В супермаркете имеется 5 касс для обслуживания покупателей. Каждая может быть в рабочем состоянии свободна, в рабочем состоянии занята обслуживанием другого покупателя

294

или в нерабочем состоянии. Покупатели стремятся занять рабочую, свободную кассу или с минимумом людей в очереди. Очередь к кассе проходит последовательно. После прохождения кассы покупатели выходят из магазина. Необходимо реализовать модель работы супермаркета. Обеспечить в процессе моделирования вывод среднего времени ожидания у касс.

Пример 5. (Анализ типичной системно-динамической модели). Модель распространения среди населения инноваций и новых продуктов, разработана Франком Бассом (Frank Bass, 1969). Среди бизнес-аналитиков она является одной из самых популярных моделей исследования рынка новых продуктов. Модель представляет собой динамику процесса превращения потенциальных покупателей нового продукта (Potential_Adopters) во владельцев продукта (Adopters). Изначально продукт никому не известен, и для того, чтобы люди начали его приобретать, он рекламируется. В итоге люди покупают продукт либо под воздействием рекламы, либо узнав о нем от знакомых, по «сарафанному радио». Эффективность рекламы пропорциональна числу людей, на которых она действует, т.е. числу потенциальных покупателей. В свою очередь, эффективность «сарафанного радио» зависит от числа людей, уже купивших продукт. Иными словами, в данной модели должна быть отражена структура взаимных зависимостей характеристик и параметров системы.

Данная задача при известных характеристиках эффективности рекламы и «сарафанного радио» а также данных о численности населения и частоте контактов может быть решена с помощью имитационной модели представленной на рисунке 14.4.

Рис. 14.4 – Вид модели жизненного цикла товара в среде AnyLogic

295

Расширенная модель жизненного цикла продукта поможет спланировать стратегию выпуска продукта на рынок, сориентироваться на конкретного потребителя и спрогнозировать спрос на продукт для того, чтобы выработать более рациональную и эффективную рекламную стратегию.

Моделирование повторных покупок учитывает, что со временем продукт может быть израсходован или прийти в негодность, что вызовет необходимость его повторного приобретения. Моделирование цикличности спроса используется, если спрос на продукт зависит от текущего времени года.

Пример 6. (Агентный подход моделирования сложных систем). Рассматривается классическая модель распространения инноваций Басса и ее расширения, которые демонстрируют возможности AnyLogic для создания агентных моделей.

Главная задача модели распространения продукта – изучение того, как быстро люди покупают новый продукт. Для этого необходимо подсчитывать число потребителей и потенциальных потребителей продукта, что можно сделать с помощью функций сбора статистики.

Рис. 14.5 – Вид модели распространения двух видов продукции в среде

AnyLogic

Ниже предлагаются примеры реальных моделей, иллюстрирующие возможности современного компьютерного имитационного моделирования. Все эти модели разработаны компанией XJ Technologies (http://www.xjtek.com/).

Полный список демонстрационных моделей находится на http://www.xjtek.com/ anylogic/demo_models/ (для запуска моделей с сайта нужно открыть соответствующий раздел в левом столбце и кликнуть на картинку с изображением мо-

296

дели). Все приведенные примеры моделей реализованы в модельном комплексеAnyLogic, такжеразработанномкомпаниейXJ Technologies.

Пример 7. Модель «Производство минеральной воды и тоника».

На рис. 14.6 приведены примеры работы модели, имитирующей технологическую линию по производству минеральной воды и тоника, включая складирование и вывоз готовой продукции. Ссылка на работающую версию этой модели находится на странице http://www.xjtek.com/anylogic/ demo_models/ manufacturing_logistics/ под названием Beverage Production (здесь же дано описание как запустить модель). Полный исходный код данной модели включен в дистрибутив AnyLogic 5 (находится в разделе

«Примеры» в подразделе «Manufacturing and Logistics»).

В работающем виде данная модель содержит следующие основные элементы (см. рис. 14.6):

• анимированное представление всех элементов технологического процесса производства минеральной воды и тоника, включая индикаторы текущего состояния каждого элемента;

Рис. 14.6 – Пример модели «Производство минеральной

воды и тоника»

• меню модели, включающее семь изменяемых параметров в виде ползунка, позволяющее в процессе работы модели менять некоторые условия работы данного технологического процесса (рецептуру минеральной воды и тоника, количество моющих машин для бутылок, количество подъ-

297

емно-разгрузочных машин и количество контейнеров, которые они могут перевозить);

• текстовые пояснения к выводимой информации, а также описание как переключать анимированное представление работы данного производства на технологическую линию (14.6) или на склад готовой продукции

(рис. 14.7).

Рис. 14.7 – Пример модели «Производство минеральной воды

и тоника». Продолжение

При запуске модели анимированная схема технологического процесса приходит в движение слева направо. Пустые бутылки поступают из двух источников: новые и уже ранее использованные. Ранее использованные бутылки сначала попадают в мойку (можно задать количество моющих машин). Затем бутылки из обоих источников проходят проверку и раздваиваются на линию подготовки минеральной воды и тоника. Напитки готовятся из ингредиентов, запасы которых заданы в модели: вода, углекислый газ, спирт и ромовая эссенция, смешиваемых в заданных пропорциях (пропорции можно менять параметрами «рецептура»). Заполненные бутылки проходят через два аппарата по наклеиванию этикеток, затем складываются в ящики. Как только на выходе технологической линии (рис. 14.6) скапливается 5 ящиков напитков, за ними приходит автомобиль, ко-

298

торый доставляет их контейнером на склад. На складе (рис. 14.7) автомобили разгружаются слева на анимированной схеме склада 2-мя подъемноразгрузочными машинами. Контейнеры с минеральной водой накапливаются в нижней части склада, а с тоником – в верхней. Еще одна подъемноразгрузочная машина доставляет контейнеры на правую сторону склада, где они забираются автомобилями покупателей. Количество ежедневно закупаемых бутылок напитка также задается в модели (1600 штук).

Модель является прекрасной анимированной презентацией соответствующего производства. Она дает его руководителям простую для понимания и компактную информацию о состоянии всех процессов/элементов технологической цепочки в заданные моменты времени. Чтобы создать аналогичный уровень информированности традиционными таблицами и графиками потребовалось бы гораздо больше усилий, как от руководителей, так и от аналитиков. Настраиваемы параметры модели (выполненные в виде ползунков) позволяют прямо по ходу ее работы анализировать последствия от изменения некоторых факторов. Например, выход из строя подъемно-разгрузочных машин, изменения в рецептуре напитков и т.п. Количество подобных настраиваемых параметров модели может быть при необходимости увеличено.

Пример 8. Модель «Отделение скорой помощи». На рис. 14.8 – 14.9 приведены примеры работы модели, имитирующей функционирование отделения скорой помощи при крупной больнице, включая детальную статистику об использовании ресурсов отделения. Ссылка на работающую версию этой модели находится на странице http://www.xjtek.com/ anylogic/demo_models/ healthcare/ под названием Emergency Department.

Полный исходный код данной модели включен в дистрибутив AnyLogic 5 (находится в разделе «Примеры» в подразделе «Healthcare»).

Вкниге [83] подробно описан процесс разработки упрощенной версии этой модели (стр. 280), а также история создания полной версии этой модели (стр. 354).

Вработающем виде данная модель содержит те же основные элементы, что и в предыдущей модели. Однако здесь предусмотрено только два настраиваемых параметра (два ползунка): 1) количество больных, поступающих в отделение в единицу модельного времени (на примере оно равно 10 человек); 2) процент ходячих больных в их общем потоке.

Модель отделения скорой помощи имитирует обслуживание входного потока больных со случайным распределением у них видов травм и заболеваний имеющимися ресурсами отделения. Ресурсы отделения состоят из заданного количества специалистов разного вида (рис. 14.9 список в столбце Staff utilization на нижней картинке Model statistics), количества специализированных кабинетов и рабочего времени специалистов.

299

Рис. 14.8 – Пример модели «Отделение скорой помощи»

Рис. 14.9 – Пример модели «Отделение скорой помощи». Продолжение

Дополнительным ограничением является организация пространства отделения, перемещение по которому больных и персонала требует времени, вызывая задержки в обслуживании больных, создавая дополнительные

300

очереди и т.д. Для каждого поступающего больного в зависимости от вида его заболевания в модели назначается определенная схема обслуживания, реализация которой визуализируется на анимированной презентации в виде перемещения больного из кабинета в кабинет, в том числе в сопровождении персонала отделения, ожидания в очередях, когда освободится требуемый специалист или кабинет и т.п.

Сводная статистика (рис. 14.9), в том числе, демонстрирует текущие показатели использования всех ресурсов отделения, среднее время нахождения больных в очередях, общее время, проведенное больными в отделении, включая время, проведенное в кабинетах и т.п.

Подобная компьютерная имитационная модель наглядно демонстрирует функционирование больших/сложных организационных систем, которое практически невозможно представить традиционными способами. Сложный организационный механизм предстает здесь в виде реалистичной картины изменения состояния элементов системы и связей между ними. Руководитель подобной организации может с помощью модели проанализировать фактические и/или возможные причины возникновения очередей в обслуживании и проимитировать доступные ему варианты улучшения ситуации. Возможен анализ различных сценариев развития событий и поиск наилучших решений (включая решение оптимизационных задач).

Подобная модель может быть полезным информационно справочным ресурсом для пациентов, если она соединена с информационной системой организации и регулярно актуализируется на основе получаемых из нее реальных данных (занятость специалистов, длина очереди пациентов и др.). С помощь такой модели пациенты могут получать прогноз времени ожидания в очереди, оценки общего времени и требуемой им схемы обслуживания и т.п. Родственники больных могут просматривать аналогичную информацию через Интернет.

301

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Элементы высшей математики в экономике

1.Колемаев В.А. Математическая экономика: учебник для вузов / В.А. Колемаев. – 3-е стереотип. изд. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – 399 с.

2.Красс М.С. Математика в экономике: Основы математики: Линейная алгебра; Математический анализ; Дифференциальные и разностные уравнения и др.: учебник для вузов / М.С. Красс.– М.: Изд-во: ФБК Пресс.

–2005.

3.Кремер Н.Ш. Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики: учебно-справочное пособие: для студентов высш. учебных заведений, обучающихся по экономическим специальностям / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М Тришин; под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Высшее обра-

зование, 2009. – 646 с.

4.КундышеваЕ.С. Математика: учеб. пособ. для экономистов / Е.С. Кундышева. – М.: ДашковиК, 2005. – 534 с.

5.Солодовников А.С. Математика в экономике: учебник: в 2-х ч. / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов. – М.: Финансы и стати-

стика, 2000. – Ч. 1 – 224 с.

6.Солодовников А.С. Математика в экономике: учебник: в 2-х ч. / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандра. – М.: Финансы и статистика, 1999. – Ч. 2 – 376 с.

7.Породников В.Д. Математика для экономистов [Электронный ресурс]: электрон. учеб.-метод. комплекс / В.Д. Породников. – Донецк:

ДонНУ, 2009. Режим доступа: dl.donny.edu.ua, ef.donny.edu.ua

Теория вероятностей и математическая статистика

8.Колемаев В.А. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студентов вузов, обучающ. по направлению и спец. «Менеджмент»/ В.А. Колемаев, В.Н. Калинина. – М.: ИНФРА-М, 2000. – 302 с.

9.Теория вероятностей и математическая статистика с применением информационных технологий: учеб. пособ. / М.И. Медведева, Е.Г. Новожилова, Ю.Н. Полшков, Н.В. Румянцев. – Донецк: ДонНУ, 2002. – 331 с.

Экономико-математическое моделирование

10.Афанасьев М.Ю. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения: учеб. пособ. / М.Ю. Афанасьев, Б.П. Суворов. – М.:

ИНФРА–М, 2003. – 444 с.

11.Зайцев М.Г. Методы оптимизации управления и принятия решений: примеры, задачи, кейсы: учеб. пособ. / М.Г. Зайцев, С.Е. Варюхин – 2-е изд., испр. – М: Издательство «Дело», АНХ, 2008. – 664 с.

302

12.Иванов С.Н. Математические методы исследования операций: учеб. пособ. для студентов экон. специальностей вузов: в 2 ч. / С.Н. Ива-

нов. – Донецк: ДонНУ, 2003. – Ч. 1. – 2003. – 316 с.

13.Иванов С.Н. Математические методы исследования операций: учеб. пособ. для студентов экон. специальностей вузов: в 2 ч./ С.Н. Иванов.

–Донецк: ДонНУ, 2003. – Ч. 2. – С. 317–688.

14.Глухов В.В. Математические методы и модели для менеджмента: учеб. пособ. / В.В. Глухов, М.Д. Медников, С.Б. Коробко. – 3-е изд., стер. –

СПб.: Изд-во «Лань», 2007. – 528 с.

15.Колемаев В.А. Экономико-математическое моделирование: моделирование макроэкономических процессов и систем: учебник для студентов вузов, обучающихся по специальности 061800 «Математические методы в экономике» / В.А. Колемаев. – М.: ЮНИТИ, 2005. – 295 с.

16.Красс М.С. Математические методы и модели для магистрантов экономики: Математическое программирование и эконометрика; Инфляция и государственный долг; Эколого-экономические системы и др.: учеб. пособ. для вузов / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов – Питер, 2006. – 348 с.

17.Кундышева Е.С. Математическое моделирование в экономике: учеб. пособ. для вузов / Е.С. Кундышева; под ред. Б.А. Суслакова. – изд. 3-е, перераб., испр. – М.: Изд-во: Дашков и К, 2007. – 226 с.

18.Кулян В.Р. Математическое программирование: (с элементами информ. технологий): учеб. пособ. для студентов немат. спец. вузов / В.Р. Кулян, Е.А. Юнькова, А.Б. Жильцов; Межрегион. акад. упр. персона-

лом. – К.: МАУП, 2000. – 122 с.

19.Костевич Л.С. Математическое программирование: Информационные технологии оптимальных решений: учеб. пособ. / Л.С. Костевич. – Мн.: Новое знание, 2003. – 424 с.

20.Лю Б. Теория и практика неопределенного программирования / Б. Лю; под ред. Ю.В. Тюменцева; пер. с англ. Ю.В. Тюменцева, Ю.Т. Каганова; – М.: Бином. лаб. знаний, 2005. – 416 с.

21.Математические методы и модели исследования операций: учебник для вузов; под ред. В.А. Колемаева, Т.М. Гатауллин, Н.И. Заичкин. –

М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008. – 280 с.

22.Орехов Н.А. Математические методы и модели в экономике: учеб. пособ. для вузов по экон. спец. / Н.А. Орехов, А.Г. Левин, Е.А. Горбунов; под ред. Н.А. Орехова. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 302 с.

23.Просветов Г.И. Математика в экономике: Задачи и решения: учебник для вузов / Г.И. Просветов. – изд. 3-е, перераб., доп. – М.: Экза-

мен. – 2008. – 120 с.

24.Породников В.Д. Математические методы и модели: справочное пособие для экономистов / В.Д. Породников, А.В. Породников. – Донецк: Донецкий госуниверситет, 2006. – 85 с.

25.Таха Х.А. Введение в исследование операций / Х.А. Таха – 7-е издание пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. – 912 с.

303

26.ХристиановскийВ.В. Задачи по математическому программированию: Теория и практика / В.В. Христиановский, В.Ф. Ходыкин, А.А. Преображенский. – Донецк: ДонНУ, 2003. – 250 с.

27.Христиановский В.В. Экономико-математические методы и модели: теория и практика: учеб. пособ. / В.В. Христиановский, В.П. Щербина. – Донецк: ДонНУ, 2010. – 335 с.

28.Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: учеб. пособ. для студентов вузов, обучающ. по экон. спец. / С.И. Шелобаев. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. – 368 с.

29.Курганова М.В. Экономико-математические методы и модели: Задачник: учебно-практическое пособие для вузов / М.В. Курганова, Р.И. Горбунова, С.И. Макаров; под ред. С.И. Макарова, С.А. Севастья-

новой М.: КноРус., 2008. – 326 с.

30.Ильченко Е.В. Экономико-математические методы: учеб. пособ. для вузов / Е.В. Ильченко. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 256 с.

Эконометрия

31.Грубер Й. Эконометрия I: Введение во множественную регрессию и эконометрию. / Й. Груббер; пер. с нем. А.С. Ермоленко; науч. ред.

А.Б. Вороновой, Т.П. Романюк. – Хаген: Fernuniversitat Gesamthochschule, 1993. – Ч. 1. – 220 с.

32.Кулинич Е.И. Эконометрия. / Е.И. Кулинич; пер. с укр. Е.И. Кулинича. – М.: Финансы и статистика, 1999. – 304 с.

33.Магнус Я.Р. Эконометрика: нач. курс: учеб. пособ. для вузов по экон. спец. / Я.Р. Магнус, П.К. Катышев, А.А. Пересецкий. – 6-е изд. – М.:

Дело, 2004. – 576 с.

34.НаконечнийС.І. Економетрія: підручник / С.І. Наконечний, Т.О. Терещенко, Т.П. Романюк. –. 4-евиддоп. тапероб. – К.:КНЕУ, 2006. – 528 с.

35.Прикладная эконометрия: учеб. пособ. для студентов экон. спец. вузов / В.В. Христиановский, А. Москардини, Н.Г. Гузь и др.; Донецкий гос. ун-т. – Донецк: ДонГУ, 1998. – 172 с.

36.Чураков Е.П. Прогнозирование эконометрических временных рядов: учеб. пособ. для вузов / Е.П. Чураков – Изд.: Финансы и статистика. – 2008. – 252 с.

Финансовая математика

37.Вітлінський В.В. Ризик у менеджменті: навч. посіб. / В.В. Вітлінський, С.І. Наконечний. – К.: ТОВ “Борисфен-М”, 1996. – 336 с.

38.Дубров А.М. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе: учеб. пособ. / А.М. Дубров, Б.А. Лагоша, Е.Ю. Хрусталёв; под ред. Б.А. Лагоши. – М.: Финансы и статистика, 1999. – 176 с.

304

39.Економічний ризик: ігрові моделі: навч. посіб. / В.В. Вітлінський, П.І. Верченко, А.В. Сігал, Я.С. Наконечний; за ред. В.В. Вітлінського. – К.:

КНЕУ, 2002. – 446 с.

40.Клебанова Т.С. Теория экономического риска: учеб. пособ. для студентов вузов / Т.С. Клебанова, Е.В. Раевнева; Харьковский нац. экон. ун-т. Харьков: ИНЖЭК, 2007. – 207 с.

41.О’брайен Дж. Финансовый анализ и торговля ценными бумагами: учеб. пособ. / Дж. О’брайен, С. Шривастава. – М.: ДЕЛОЛтд, 1995. – 207 с.

42.Практикум по прогнозу и риску / В.В. Христиановский, В.П. Щербина, М.И. Медведева, Э. Флетчер. – Донецк: ДонНУ, 2000. – 316 с.

43.ПервозванскийА.А. Финансовый рынок: расчет и риск: учеб. пособ.

/А.А. Первозванский, Т.Н. Первозванская. – М.: ИНФРА-М, 1994. – 192 с.

44.Моделирование финансовых потоков предприятия в условиях неопределенности / Т.С. Клебанова, Л.С. Гурьянова, Н. Богониколоси др.; НАН Украины, Науч.-исслед. центр индустриал. пробл. развития. – Харь-

ков: ИД «Инжэк», 2006. – 312 с.

45.Румянцев Н.В. Финансовая математика и её приложения к теории инвестиций: учеб. пособ. / Н.В. Румянцев. – Донецк: ДонГУ, 2000. – 227 с.

46.ГранатуровВ.М. Экономический риск. Сущность, методы измерения, путиснижения/ В.М. Гранатуров. – М.: ДелоиСервис; 2010. – 208 с.

47.Христиановский В.В. Функция полезности: теория и анализ: учеб. пособ. / В.В. Христиановский, В.П. Щербина; Донец. нац. ун-т. – Харьков: ИНЖЭК, 2006. – 120 с.

48.Христиановский В.В. Экономический риск и методы его измерения: учеб. пособ. / В.В. Христиановский, Ю.Н. Полшков, В.П. Щербина. – Донецк: ДонГУ, 1999. – 250 с.

49.Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Факты. Модели: монография/ А.Н. Ширяев. – М.: ФАЗИС, 1998. – Т. 1. – 512 с.

50.Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Теория: монография / А.Н. Ширяев. – М.: ФАЗИС, 1998. – Т. 2. – 544 с.

Другие модели в экономике

51.Ечмаков С.М. Теневая экономика: анализ и моделирование / С.М. Ечмаков. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 408 с.

52.Вилисов В.Я. Методы выбора экономических решений: Адаптивные модели / В.Я. Виллисов. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 150 с.

53.Леонтьев В. Межотраслевая экономика / В. Леонтьев – М.: Эко-

номика, 1997. – 478 с.

54.Лысенко Ю.Г. Нейронные сети и генетические алгоритмы: учеб. пособ. для студентов экон. специальностей вузов / Ю.Г. Лысенко, Н.Н. Иванов, А.Ю. Минц. – Донецк: Юго-Восток, 2003. – 230 с.

55.Маркетинг: учебник для вузов / Н.Д. Эриашвили, К. Ховард, Ю.А. Цыпкин и др.; под ред. Н.Д. Эриашвили. – 2-е изд. – М.: ЮНИТИ-

ДАНА, 2001. – 623 с.

305

56.Моделирование экономической динамики: учеб. пособ. / Т.С. Клебанова, Н.А. Дубровина, О.Ю. Полякова и др.; Харьк. гос. экон.

ун-т. – Харьков: ИНЖЭК, 2004. – 243 c.

57.Моделирование финансовых потоков предприятия в условиях неопределенности / Т.С. Клебанова, Л.С. Гурьянова, Н. Богониколоси др.; НАН Украины, Науч.-исслед. центр индустриал. пробл. развития. – Харь-

ков: ИД «Инжэк», 2006. – 312 с.

58.Моделирование экономических процессов: учебник для вузов по специальностям экономики и управления (060000) / Е.Н. Лукаш, В.А. Чахоян, Ю.Н. Черемных и др.; под ред. М.В. Грачевой, Л.Н. Фадеевой, Ю.Н. Черемных. – Москва: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – 350, [1] с.

59.Моделi i методи соцiально-економiчного прогнозування: пiдручник для студ. вищ. навч. закл. / В.М. Геєць, Т.С. Клебанова, О.I. Черняк та iн.; Харкiвський нац. экон. ун-т. – 2-ге вид. – Харкiв: Iнжек, 2008. – 394 с.

60.Нескородева Т.В. Логико-формальные правила контроля формирования товарного обеспечения торгового предприятия / Т.В. Нескородева

//Вестник национального технического университета «ХПИ». Сборник научных трудов. Тематический выпуск «Системный анализ, управление и информационные технологии» – 2010. – № 9. – С. 81–92.

61.Нескородева Т.В. Моделі та інформаційні технології поліваріантного аналізу діяльності підприємства: автореф. дис. на здобуття наук. ступеня канд. техн. наук: спеціальність 05.13.06 „Інформаційні технології” / Т.В. Нескородева. – Харків, 2008. – 19 с.

62.Полшков Ю.Н. Развитие туризма, стохастическое моделирование и другие вопросы / Ю.Н. Полшков // Проблемы и перспективы развития сотрудничества между странами Юго-Восточной Европы в рамках Черноморского экономического сотрудничества и ГУАМ: Сборник научных трудов. – Стамбул-Донецк: ДонНУ, РФ НИСИ в г. Донецке. – 2010. –

С. 209 – 213.

63.Савиных В.Н. Математическое моделирование производственного и финансового менеджмента / В.Н. Савиных. – М.: Кно-Рус. – 2009. – 190 с.

64.Стерлигова А.Н. Управление запасами в цепях поставок: учебник / А.Н. Стерлигова. – М.: ИНФРА-М, 2008. – 430 с. – (Высшее образование).

65.Полшков Ю.Н. О математических методах оптимального управления товарными запасами // Вiсник Донецького унiверситету. Серiя В.

Економiка i право. – 2010. – № 1. – С. 236–241.

66.Хаустова В.Е. Моделирование маркетинговой стратегии предприятия на рынках продукции производственно-технического назначения / В.Е. Хаустова, Ю.А. Лидовский. – Харьков: ИНЖЭК, 2004. – 175 с.

306

Информационные технологии в экономике и управлении

67. Нескородева Т.В. Інформаційна технологія СППР «Аудит» / Т.В. Нескородева // Вісник Донецького національного університету, Серія А: Природничі науки. – 2010. – Вип. 1 – С. 252–258.

68.Цисарь И.Ф. Компьютерное моделирование экономики: учеб. пособ. / И.Ф. Цисарь, В.Г. Нейман М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2002. – 304 с.

69.Цисарь И.Ф. Лабораторные работы на персональном компьютере: Для студентов экон. специальностей / И.Ф. Цисарь. – 2-е изд. – М.: Экза-

мен, 2004. – 223 с.

70.Информационные технологии управления: учебник для вузов по экон. специальностям / под ред. Г.А. Титоренко. – 2-е изд. – М.: ЮНИТИ, 2003. – 439 с.

71.Козырев А.А. Информационные технологии в экономике и управлении: учебник / А.А. Козырев – 3-е изд. – СПб.: Изд-во В.А. Михайлова, 2003. – 495 с.

72.Информационные технологии и управление предприятием / В.В. Баронов, Г.Н. Калянов, Ю.И. Попов, И.Н. Титовский. – M.: Акад.

АйТи, 2006. – 326 с.

73.Исаев Г.Н. Информационные системы в экономике: учеб. пособ. / Г.Г. Исаев, И.В. Чернышев. – М.: Омега-Л, 2006. – 462 с.

74.Моисеева Н.К. Управление маркетингом: теория, практика, информационные технологии: учеб. пособ. по спец. «Менеджмент организации», «Маркетинг» / Н.К. Моисеева, М.В. Конышева; под ред. Н.К. Моисеевой. – 2-е изд. – М.: Финансы и статистика, 2005. – 416 с.

75.КельтонВ. Имитационное моделирование. Классика CS / В. Кельтон, АЛоу. – 3-е изд. – СПб.: Питер: Киев: Издательская группа BHV, 2004. – 847 с.

76.Томашевский В. Имитационное моделирование в среде GPSS / В. Томашевский, Е. Жданова – М.: Бестселлер, 2003. – 416 с.

77.Емельянов А.А. Имитационное моделирование экономических процессов: учеб. пособ. / А.А. Емельянов, Е.А. Власова, Р.В. Дума – М.: Финансы и статистика, 2002. – 368 с.

78.Хемди А. Введение в исследование операций. Operations Research: An Introduction / А. Хемди — 7-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. – 912 c.

79.Строгалев В.П. Имитационное моделирование / В.П. Строгалев, И.О. Толкачева – МГТУ им. Баумана, 2008. — 280 c.

80.Христиановский В.В. Введение в имитационное моделирование с помощью пакета ARENA / В.В. Христиановский, Э.Д. Флетчер, В.Ф. Ходыкин; Донец. гос. ун-т. – Донецк: ДонГУ, 2000. – Ч. 1. – 127 с.

81.Имитационное моделирование экономических систем: учеб. пособ. / Ю.Г. Лысенко, Г.С. Овечко, А.В. Овечко и др.; под ред. Ю.Г. Лысенко; Донецкий нац. ун-т, каф. эконом. кибернетики. – Донецк: Юго-

Восток, 2007. – 286 с.

307

82.Кострова Е.M. Среда моделирования AnyLogic. [Электронный ресурс] / Е.M. Кострова. – Режим доступа: http://www.xjtek.ru/anylogic/

83.Карпов Ю.Г. Имитационное моделирование систем. Введение в моделирование с AnyLogic / Ю.Г. Карпов. – М.: Издательство «BHV», 2005. – 450 с.

84.Просанов И.Ю. Оптимизация бизнес-процессов. учеб. пособ. / И.Ю. Просанов. М.: Диалог Мифи, 2002. – 320 с.

85.Гомоненко Е.И. Пакет имитационного моделирования ARENA [Электронный ресурс] / Е.И. Гомоненко. – Режим доступа: http://www. interface.ru/sysmod/ARENA.htm

86. Трапезникова Н.В. Оптимизация структурно-функциональных моделей [Электронный ресурс] / Н.В. Трапезникова – Режим доступа: http://www.optium.ru

87.Карпов Ю.Г. Имитационное моделирование систем. Введение в моделирование с AnyLogic 5 / Ю.Г. Карпов. – СПб.: БХВ Петербург, 2006.

–400 с.

88.AnyLogic User’s Manual. XJ Technologies: [Электронный ресурс].

–Режим доступа: http://www.xjtek.com.

89. Многоподходное имитационное моделирование в AnyLogic. XJ Technologies: [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.xjtek.ru 90. Имитационное моделирование систем в среде AnyLogic: учебнометодическое пособие / М.В. Киселёва. – Екатеринбург: УГТУ – УПИ,

2009. – 88 с.

Организация учебного процесса в ВУЗе

91.Сучасна економічна освіта: Україна і Болонський процес / за ред. В.Д. Базидевича. – К.: Знання, 2006. – 326 с.

92.Управління навчальним процесом за кредитно-модульною системою в Донецькому національному університеті. Тематичний збірник для

професорсько-викладацького складу / уклад. А.М. Кучко, В.В. Христіановський, О.В. Мазнєв та ін.; за редакцією академіка НАН України Шевченка В.П. . – Донецьк: ДонНУ, 2008.– Вип. 2. – 292 с.

308

ПРИЛОЖЕНИЕ А Статистические данные

Таблица А.1

Данные «Затраты - выпуск» Госкомстата Украины за 2006 год (млн грн)

309

310

Продолжение таблицы А.1

Таблица А.2

311

312

Продолжение таблицы А.2

Таблица А.3

313

314

Продолжение таблицы А.3

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Статистические таблицы

Таблица Б.1

Значения F -критерия Фишера при уровне значимости α = 0,05

	k1	1	2	3	4	5	6	8	12	24	∞
	k2
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
	1	161,5	199,5	215,7	224,6	230,2	233,9	238,9	243,9	249,0	254,3
	2	18,51	19,00	19,16	19,25	19,30	19,33	19,37	19,41	19,45	19,50
	3	10,13	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,84	8,74	8,64	8,53
	4	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,04	5,91	5,77	5,63
	5	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,82	4,68	4,53	4,36
	6	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,15	4,00	3,84	3,67
	7	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,73	3,57	3,41	3,23
	8	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,44	3,28	3,12	2,93
	9	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,23	3,07	2,90	2,71
	10	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,07	2,91	2,74	2,54
	11	4,84	3,98	3,59	3,36	3,20	3,09	2,95	2,79	2,61	2,40
	12	4,75	3,88	3,49	3,26	3,11	3,00	2,85	2,69	2,50	2,30
	13	4,67	3,80	3,41	3,18	3,02	2,92	2,77	2,60	2,42	2,21
	14	4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,70	2,53	2,35	2,13
	15	4,54	3,68	3,29	3,06	2,90	2,79	2,64	2,48	2,29	2,07
	16	4,49	3,63	3,24	3,01	2,85	2,74	2,59	2,42	2,24	2,01
	17	4,45	3,59	3,20	2,96	2,81	2,70	2,55	2,38	2,19	1,96
	18	4,41	3,55	3,16	2,93	2,77	2,66	2,51	2,34	2,15	1,92
	19	4,38	3,52	3,13	2,90	2,74	2,63	2,48	2,31	2,11	1,88
	20	4,35	3,49	3,10	2,87	2,71	2,60	2,45	2,28	2,08	1,84
	21	4,32	3,47	3,07	2,84	2,68	2,57	2,42	2,25	2,05	1,81
	22	4,30	3,44	3,05	2,82	2,66	2,55	2,40	2,23	2,03	1,78
	23	4,28	3,42	3,03	2,80	2,64	2,53	2,38	2,20	2,00	1,76
	24	4,26	3,40	3,01	2,78	2,62	2,51	2,36	2,18	1,98	1,73
	25	4,24	3,38	2,99	2,76	2,60	2,49	2,34	2,16	1,96	1,71
	26	4,22	3,37	2,98	2,74	2,59	2,47	2,32	2,15	1,95	1,69
	27	4,21	3,35	2,96	2,73	2,57	2,46	2,30	2,13	1,93	1,67
	28	4,20	3,34	2,95	2,71	2,56	2,44	2,29	2,12	1,91	1,65
	29	4,18	3,33	2,93	2,70	2,54	2,43	2,28	2,10	1,90	1,64
	30	4,17	3,32	2,92	2,69	2,53	2,42	2,27	2,09	1,89	1,62
	35	4,12	3,26	2,87	2,64	2,48	2,37	2,22	2,04	1,83	1,57
	40	4,08	3,23	2,84	2,61	2,45	2,34	2,18	2,00	1,79	1,51
	45	4,06	3,21	2,81	2,58	2,42	2,31	2,15	1,97	1,76	1,48
	50	4,03	3,18	2,79	2,56	2,40	2,29	2,13	1,95	1,74	1,44

315

Продолжение таблицы Б.1

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
60	4,00	3,15	2,76	2,52	2,37	2,25	2,10	1,92	1,70	1,39
70	3,98	3,13	2,74	2,50	2,35	2,23	2,07	1,89	1,67	1,35
80	3,96	3,11	2,72	2,49	2,33	2,21	2,06	1,88	1,65	1,31
90	3,95	3,10	2,71	2,47	2,32	2,20	2,04	1,86	1,64	1,28
100	3,94	3,09	2,70	2,46	2,30	2,19	2,03	1,85	1,63	1,26
125	3,92	3,07	2,68	2,44	2,29	2,17	2,01	1,83	1,60	1,21
150	3,90	3,06	2,66	2,43	2,27	2,16	2,00	1,82	1,59	1,18
200	3,89	3,04	2,65	2,42	2,26	2,14	1,98	1,80	1,57	1,14
300	3,87	3,03	2,64	2,41	2,25	2,13	1,97	1,79	1,55	1,10
400	3,86	3,02	2,63	2,40	2,24	2,12	1,96	1,78	1,54	1,07
500	3,86	3,01	2,62	2,39	2,23	2,11	1,96	1,77	1,54	1,06
1000	3,85	3,00	2,61	2,38	2,22	2,10	1,95	1,76	1,53	1,03
∞	3,84	2,99	2,60	2,37	2,21	2,09	1,94	1,75	1,52	1

Таблица Б.2

Значения t -критерия Стьюдента при уровне значимости

0,10; 0,05; 0,01 (двусторонний)

Число		α		Число		α
степеней				степеней
свободы	0,10	0,05	0,01	свободы	0,10	0,05	0,01
d.f.				d.f.
1	6,3138	12,706	63,657	18	1,7341	2,1009	2,8784
2	2,9200	4,3027	9,9248	19	1,7291	2,0930	2,8609
3	2,3534	3,1825	5,8409	20	1,7247	2,0860	2,8453
4	2,1318	2,7764	4,5041	21	1,7207	2,0796	2,8314
5	2,0150	2,5706	4,0321	22	1,7171	2,0739	2,8188
6	1,9432	2,4469	3,7074	23	1,7139	2,0687	2,8073
7	1,8946	2,3646	3,4995	24	1,7109	2,0639	2,7969
8	1,8595	2,3060	3,3554	25	1,7081	2,0595	2,7874
9	1,8331	2,2622	3,2498	26	1,7056	2,0555	2,7787
10	1,8125	2,2281	3,1693	27	1,7033	2,0518	2,7707
11	1,7959	2,2010	3,1058	28	1,7011	2,0484	2,7633
12	1,7823	2,1788	3,0545	29	1,6991	2,0452	2,7564
13	1,7709	2,1604	3,0123	30	1,6973	2,0423	2,7500
14	1,7613	2,1448	2,9768	40	1,6839	2,0211	2,7045
15	1,7530	2,1315	2,9467	60	1,6707	2,0003	2,6603
16	1,7459	2,1199	2,9208	120	1,6577	1,9799	2,6174
17	1,7396	2,1098	2,8982	∞	1,6449	1,9600	2,5758

316

Таблица Б.3

Значения χ2 -критерия Пирсона при уровне значимости 0,10; 0,05;

0,01

Число		α		Число		α
степеней				степеней
свободы	0,10	0,05	0,01	свободы	0,10	0,05	0,01
d.f.				d.f.
1	2,706	3,841	6,635	18	25,989	28,869	34,805
2	4,605	5,991	9,210	19	27,204	30,144	36,191
3	6,251	7,815	11,345	20	28,412	31,410	37,566
4	7,779	9,488	13,277	21	29,615	32,671	38,932
5	9,236	11,070	15,086	22	30,813	33,924	40,289
6	10,645	12,592	16,812	23	32,007	35,172	41,638
7	12,017	14,067	18,475	24	33,196	36,415	42,980
8	13,362	15,507	20,090	25	34,382	37,652	44,314
9	14,684	16,919	21,666	26	35,563	38,885	45,642
10	15,987	18,307	23,209	27	36,741	40,113	46,963
11	17,275	19,675	24,725	28	37,916	41,337	48,278
12	18,549	21,026	26,217	29	39,087	42,557	49,588
13	19,812	22,362	27,688	30	40,256	43,773	50,892
14	21,064	23,685	29,141	40	51,805	55,758	63,691
15	22,307	24,996	30,578	60	74,397	79,082	88,379
16	23,542	26,296	32,000	120	140,233	146,567	158,950
17	24,769	27,587	33,409	1000	1057,724	1074,679	1106,969

317

Таблица Б.4

Значения статистик Дарбина-Уотсона dL dU при 5%-ом уровне

значимости

	n	m =1		m = 2		m = 3		m = 4		m = 5
		dL	dU	dL	dU	dL	dU	dL	dU	dL	dU
	6	0,61	1,40
	7	0,70	1,36	0,47	1,90
	8	0,76	1,33	0,56	1,78	0,37	2,29
	9	0,82	1,32	0,63	1,70	0,46	2,13
	10	0,88	1,32	0,70	1,64	0,53	2,02
	11	0,93	1,32	0,66	1,60	0,60	1,93
	12	0,97	1,33	0,81	1,58	0,66	1,86
	13	1,01	1,34	0,86	1,56	0,72	1,82
	14	1,05	1,35	0,91	1,55	0,77	1,78
	15	1,08	1,36	0,95	1,54	0,82	1,75	0,69	1,97	0,56	2,21
	16	1,10	1,37	0,98	1,54	0,86	1,73	0,74	1,93	0,62	2,15
	17	1,13	1,38	1,02	1,54	0,90	1,71	0,78	1,90	0,67	2,10
	18	1,16	1,39	1,05	1,53	0,93	1,69	0,82	1,87	0,71	2,06
	19	1,18	1,40	1,08	1,53	0,97	1,68	0,85	1,85	0,75	2,02
	20	1,20	1,41	1,10	1,54	1,00	1,68	0,90	1,83	0,79	1,99
	21	1,22	1,42	1,13	1,54	1,03	1,67	0,93	1,81	0,83	1,96
	22	1,24	1,43	1,15	1,54	1,05	1,66	0,96	1,80	0,86	1,94
	23	1,26	1,44	1,17	1,54	1,08	1,66	0,99	1,79	0,90	1,92
	24	1,27	1,45	1,19	1,55	1,10	1,66	1,01	1,78	0,93	1,99
	25	1,29	1,45	1,21	1,55	1,12	1,66	1,04	1,77	0,95	1,89
	26	1,30	1,46	1,22	1,55	1,14	1,65	1,06	1,76	0,98	1,88
	27	1,32	1,47	1,24	1,56	1,16	1,65	1,08	1,76	1,01	1,86
	28	1,33	1,48	1,26	1,56	1,18	1,65	1,10	1,75	1,03	1,85
	29	1,34	1,48	1,27	1,56	1,20	1,65	1,12	1,74	1,05	1,84
	30	1,35	1,49	1,28	1,57	1,21	1,65	1,14	1,74	1,07	1,83

318

									1		Таблица Б.5
		Значения функции Гаусса ϕ(x) =								e−x2 / 2
									2π
							ϕ(x)
x	ϕ(x)	x	ϕ(x)	x	ϕ(x)	x			x	ϕ(x)	x	ϕ(x)
0	0,3989	0,7	0,3123	1,4	0,1497	2,1	0,0440		2,8	0,0079	3,5	0,0009
0,01	0,3989	0,71	0,3101	1,41	0,1476	2,11	0,0431		2,81	0,0077	3,51	0,0008
0,02	0,3989	0,72	0,3079	1,42	0,1456	2,12	0,0422		2,82	0,0075	3,52	0,0008
0,03	0,3988	0,73	0,3056	1,43	0,1435	2,13	0,0413		2,83	0,0073	3,53	0,0008
0,04	0,3986	0,74	0,3034	1,44	0,1415	2,14	0,0404		2,84	0,0071	3,54	0,0008
0,05	0,3984	0,75	0,3011	1,45	0,1394	2,15	0,0396		2,85	0,0069	3,55	0,0007
0,06	0,3982	0,76	0,2989	1,46	0,1374	2,16	0,0387		2,86	0,0067	3,56	0,0007
0,07	0,3980	0,77	0,2966	1,47	0,1354	2,17	0,0379		2,87	0,0065	3,57	0,0007
0,08	0,3977	0,78	0,2943	1,48	0,1334	2,18	0,0371		2,88	0,0063	3,58	0,0007
0,09	0,3973	0,79	0,2920	1,49	0,1315	2,19	0,0363		2,89	0,0061	3,59	0,0006
0,1	0,3970	0,8	0,2897	1,5	0,1295	2,2	0,0355		2,9	0,0060	3,6	0,0006
0,11	0,3965	0,81	0,2874	1,51	0,1276	2,21	0,0347		2,91	0,0058	3,61	0,0006
0,12	0,3961	0,82	0,2850	1,52	0,1257	2,22	0,0339		2,92	0,0056	3,62	0,0006
0,13	0,3956	0,83	0,2827	1,53	0,1238	2,23	0,0332		2,93	0,0055	3,63	0,0005
0,14	0,3951	0,84	0,2803	1,54	0,1219	2,24	0,0325		2,94	0,0053	3,64	0,0005
0,15	0,3945	0,85	0,2780	1,55	0,1200	2,25	0,0317		2,95	0,0051	3,65	0,0005
0,16	0,3939	0,86	0,2756	1,56	0,1182	2,26	0,0310		2,96	0,0050	3,66	0,0005
0,17	0,3932	0,87	0,2732	1,57	0,1163	2,27	0,0303		2,97	0,0048	3,67	0,0005
0,18	0,3925	0,88	0,2709	1,58	0,1145	2,28	0,0297		2,98	0,0047	3,68	0,0005
0,19	0,3918	0,89	0,2685	1,59	0,1127	2,29	0,0290		2,99	0,0046	3,69	0,0004
0,2	0,3910	0,9	0,2661	1,6	0,1109	2,3	0,0283		3	0,0044	3,7	0,0004
0,21	0,3902	0,91	0,2637	1,61	0,1092	2,31	0,0277		3,01	0,0043	3,71	0,0004
0,22	0,3894	0,92	0,2613	1,62	0,1074	2,32	0,0270		3,02	0,0042	3,72	0,0004
0,23	0,3885	0,93	0,2589	1,63	0,1057	2,33	0,0264		3,03	0,0040	3,73	0,0004
0,24	0,3876	0,94	0,2565	1,64	0,1040	2,34	0,0258		3,04	0,0039	3,74	0,0004
0,25	0,3867	0,95	0,2541	1,65	0,1023	2,35	0,0252		3,05	0,0038	3,75	0,0004
0,26	0,3857	0,96	0,2516	1,66	0,1006	2,36	0,0246		3,06	0,0037	3,76	0,0003
0,27	0,3847	0,97	0,2492	1,67	0,0989	2,37	0,0241		3,07	0,0036	3,77	0,0003
0,28	0,3836	0,98	0,2468	1,68	0,0973	2,38	0,0235		3,08	0,0035	3,78	0,0003
0,29	0,3825	0,99	0,2444	1,69	0,0957	2,39	0,0229		3,09	0,0034	3,79	0,0003
0,3	0,3814	1	0,2420	1,7	0,0940	2,4	0,0224		3,1	0,0033	3,8	0,0003
0,31	0,3802	1,01	0,2396	1,71	0,0925	2,41	0,0219		3,11	0,0032	3,81	0,0003
0,32	0,3790	1,02	0,2371	1,72	0,0909	2,42	0,0213		3,12	0,0031	3,82	0,0003
0,33	0,3778	1,03	0,2347	1,73	0,0893	2,43	0,0208		3,13	0,0030	3,83	0,0003
0,34	0,3765	1,04	0,2323	1,74	0,0878	2,44	0,0203		3,14	0,0029	3,84	0,0003
0,35	0,3752	1,05	0,2299	1,75	0,0863	2,45	0,0198		3,15	0,0028	3,85	0,0002
0,36	0,3739	1,06	0,2275	1,76	0,0848	2,46	0,0194		3,16	0,0027	3,86	0,0002
0,37	0,3725	1,07	0,2251	1,77	0,0833	2,47	0,0189		3,17	0,0026	3,87	0,0002
0,38	0,3712	1,08	0,2227	1,78	0,0818	2,48	0,0184		3,18	0,0025	3,88	0,0002
0,39	0,3697	1,09	0,2203	1,79	0,0804	2,49	0,0180		3,19	0,0025	3,89	0,0002
0,4	0,3683	1,1	0,2179	1,8	0,0790	2,5	0,0175		3,2	0,0024	3,9	0,0002
0,41	0,3668	1,11	0,2155	1,81	0,0775	2,51	0,0171		3,21	0,0023	3,91	0,0002
0,42	0,3653	1,12	0,2131	1,82	0,0761	2,52	0,0167		3,22	0,0022	3,92	0,0002
0,43	0,3637	1,13	0,2107	1,83	0,0748	2,53	0,0163		3,23	0,0022	3,93	0,0002
0,44	0,3621	1,14	0,2083	1,84	0,0734	2,54	0,0158		3,24	0,0021	3,94	0,0002
0,45	0,3605	1,15	0,2059	1,85	0,0721	2,55	0,0154		3,25	0,0020	3,95	0,0002
												319

Продолжение таблицы Б.5

x	ϕ(x)	x	ϕ(x)	x	ϕ(x)	x	ϕ(x)	x	ϕ(x)	x	ϕ(x)
0,46	0,3589	1,16	0,2036	1,86	0,0707	2,56	0,0151	3,26	0,0020	3,96	0,0002
0,47	0,3572	1,17	0,2012	1,87	0,0694	2,57	0,0147	3,27	0,0019	3,97	0,0002
0,48	0,3555	1,18	0,1989	1,88	0,0681	2,58	0,0143	3,28	0,0018	3,98	0,0001
0,49	0,3538	1,19	0,1965	1,89	0,0669	2,59	0,0139	3,29	0,0018	3,99	0,0001
0,5	0,3521	1,2	0,1942	1,9	0,0656	2,6	0,0136	3,3	0,0017	4	0,0001
0,51	0,3503	1,21	0,1919	1,91	0,0644	2,61	0,0132	3,31	0,0017	4,01	0,0001
0,52	0,3485	1,22	0,1895	1,92	0,0632	2,62	0,0129	3,32	0,0016	4,02	0,0001
0,53	0,3467	1,23	0,1872	1,93	0,0620	2,63	0,0126	3,33	0,0016	4,03	0,0001
0,54	0,3448	1,24	0,1849	1,94	0,0608	2,64	0,0122	3,34	0,0015	4,04	0,0001
0,55	0,3429	1,25	0,1826	1,95	0,0596	2,65	0,0119	3,35	0,0015	4,05	0,0001
0,56	0,3410	1,26	0,1804	1,96	0,0584	2,66	0,0116	3,36	0,0014	4,06	0,0001
0,57	0,3391	1,27	0,1781	1,97	0,0573	2,67	0,0113	3,37	0,0014	4,07	0,0001
0,58	0,3372	1,28	0,1758	1,98	0,0562	2,68	0,0110	3,38	0,0013	4,08	0,0001
0,59	0,3352	1,29	0,1736	1,99	0,0551	2,69	0,0107	3,39	0,0013	4,09	0,0001
0,6	0,3332	1,3	0,1714	2	0,0540	2,7	0,0104	3,4	0,0012	4,1	0,0001
0,61	0,3312	1,31	0,1691	2,01	0,0529	2,71	0,0101	3,41	0,0012	4,11	0,0001
0,62	0,3292	1,32	0,1669	2,02	0,0519	2,72	0,0099	3,42	0,0012	4,12	0,0001
0,63	0,3271	1,33	0,1647	2,03	0,0508	2,73	0,0096	3,43	0,0011	4,13	0,0001
0,64	0,3251	1,34	0,1626	2,04	0,0498	2,74	0,0093	3,44	0,0011	4,14	0,0001
0,65	0,3230	1,35	0,1604	2,05	0,0488	2,75	0,0091	3,45	0,0010	4,15	0,0001
0,66	0,3209	1,36	0,1582	2,06	0,0478	2,76	0,0088	3,46	0,0010	4,16	0,0001
0,67	0,3187	1,37	0,1561	2,07	0,0468	2,77	0,0086	3,47	0,0010	4,17	0,0001
0,68	0,3166	1,38	0,1539	2,08	0,0459	2,78	0,0084	3,48	0,0009	4,18	0,0001
0,69	0,3144	1,39	0,1518	2,09	0,0449	2,79	0,0081	3,49	0,0009	4,19	0,0001

Например, требуется определить ординату функции Гаусса в точке x =1,33 (рис. Б.1). Имеем (в табл. Б.5 выделено жирным шрифтом):

ϕ(1,33) = 0,1647 .

Рис. Б.1 – Графическая иллюстрация работы с табл. Б.5

Напомним, что функция Гаусса – чётная, т.е. ϕ(−x) = ϕ(x) . Кроме того, ϕ(x) = N(0,1) , то есть является плотностью нормированного нормального распределения.

320

												Таблица Б.6
Значения интегральной функции Лапласа Φ(x) =										1		∫x e−z2 / 2 dz
										2π		0
x	Φ(x)	x	Φ(x)	x	Φ(x)	x	Φ(x)	x	Φ(x)			x	Φ(x)
0	0	0,9	0,3159	1,8	0,4641	2,7	0,4965	3,6	0,499841			4,5	0,4999966
0,01	0,004	0,91	0,3186	1,81	0,4649	2,71	0,4966	3,61	0,499847			4,51	0,4999968
0,02	0,008	0,92	0,3212	1,82	0,4656	2,72	0,4967	3,62	0,499853			4,52	0,4999969
0,03	0,012	0,93	0,3238	1,83	0,4664	2,73	0,4968	3,63	0,499858			4,53	0,499997
0,04	0,016	0,94	0,3264	1,84	0,4671	2,74	0,4969	3,64	0,499864			4,54	0,4999972
0,05	0,0199	0,95	0,3289	1,85	0,4678	2,75	0,497	3,65	0,499869			4,55	0,4999973
0,06	0,0239	0,96	0,3315	1,86	0,4686	2,76	0,4971	3,66	0,499874			4,56	0,4999974
0,07	0,0279	0,97	0,334	1,87	0,4693	2,77	0,4972	3,67	0,499879			4,57	0,4999976
0,08	0,0319	0,98	0,3365	1,88	0,4699	2,78	0,4973	3,68	0,499883			4,58	0,4999977
0,09	0,0359	0,99	0,3389	1,89	0,4706	2,79	0,4974	3,69	0,499888			4,59	0,4999978
0,1	0,0398	1	0,3413	1,9	0,4713	2,8	0,4974	3,7	0,499892			4,6	0,4999979
0,11	0,0438	1,01	0,3438	1,91	0,4719	2,81	0,4975	3,71	0,499896			4,61	0,499998
0,12	0,0478	1,02	0,3461	1,92	0,4726	2,82	0,4976	3,72	0,4999			4,62	0,4999981
0,13	0,0517	1,03	0,3485	1,93	0,4732	2,83	0,4977	3,73	0,499904			4,63	0,4999982
0,14	0,0557	1,04	0,3508	1,94	0,4738	2,84	0,4977	3,74	0,499908			4,64	0,4999983
0,15	0,0596	1,05	0,3531	1,95	0,4744	2,85	0,4978	3,75	0,499912			4,65	0,4999983
0,16	0,0636	1,06	0,3554	1,96	0,475	2,86	0,4979	3,76	0,499915			4,66	0,4999984
0,17	0,0675	1,07	0,3577	1,97	0,4756	2,87	0,4979	3,77	0,499918			4,67	0,4999985
0,18	0,0714	1,08	0,3599	1,98	0,4761	2,88	0,498	3,78	0,499922			4,68	0,4999986
0,19	0,0753	1,09	0,3621	1,99	0,4767	2,89	0,4981	3,79	0,499925			4,69	0,4999986
0,2	0,0793	1,1	0,3643	2	0,4772	2,9	0,4981	3,8	0,499928			4,7	0,4999987
0,21	0,0832	1,11	0,3665	2,01	0,4778	2,91	0,4982	3,81	0,49993			4,71	0,4999988
0,22	0,0871	1,12	0,3686	2,02	0,4783	2,92	0,4982	3,82	0,499933			4,72	0,4999988
0,23	0,091	1,13	0,3708	2,03	0,4788	2,93	0,4983	3,83	0,499936			4,73	0,4999989
0,24	0,0948	1,14	0,3729	2,04	0,4793	2,94	0,4984	3,84	0,499938			4,74	0,4999989
0,25	0,0987	1,15	0,3749	2,05	0,4798	2,95	0,4984	3,85	0,499941			4,75	0,499999
0,26	0,1026	1,16	0,377	2,06	0,4803	2,96	0,4985	3,86	0,499943			4,76	0,499999
0,27	0,1064	1,17	0,379	2,07	0,4808	2,97	0,4985	3,87	0,499946			4,77	0,4999991
0,28	0,1103	1,18	0,381	2,08	0,4812	2,98	0,4986	3,88	0,499948			4,78	0,4999991
0,29	0,1141	1,19	0,383	2,09	0,4817	2,99	0,4986	3,89	0,49995			4,79	0,4999992
0,3	0,1179	1,2	0,3849	2,1	0,4821	3	0,4987	3,9	0,499952			4,8	0,4999992
0,31	0,1217	1,21	0,3869	2,11	0,4826	3,01	0,4987	3,91	0,499954			4,81	0,4999992
0,32	0,1255	1,22	0,3888	2,12	0,483	3,02	0,4987	3,92	0,499956			4,82	0,4999993
0,33	0,1293	1,23	0,3907	2,13	0,4834	3,03	0,4988	3,93	0,499958			4,83	0,4999993
0,34	0,1331	1,24	0,3925	2,14	0,4838	3,04	0,4988	3,94	0,499959			4,84	0,4999993
0,35	0,1368	1,25	0,3944	2,15	0,4842	3,05	0,4989	3,95	0,499961			4,85	0,4999994
0,36	0,1406	1,26	0,3962	2,16	0,4846	3,06	0,4989	3,96	0,499963			4,86	0,4999994
0,37	0,1443	1,27	0,398	2,17	0,485	3,07	0,4989	3,97	0,499964			4,87	0,4999994
0,38	0,148	1,28	0,3997	2,18	0,4854	3,08	0,499	3,98	0,499966			4,88	0,4999995
0,39	0,1517	1,29	0,4015	2,19	0,4857	3,09	0,499	3,99	0,499967			4,89	0,4999995
0,4	0,1554	1,3	0,4032	2,2	0,4861	3,1	0,499	4	0,499968			4,9	0,4999995
0,41	0,1591	1,31	0,4049	2,21	0,4864	3,11	0,4991	4,01	0,49997			4,91	0,4999995
0,42	0,1628	1,32	0,4066	2,22	0,4868	3,12	0,4991	4,02	0,499971			4,92	0,4999996
0,43	0,1664	1,33	0,4082	2,23	0,4871	3,13	0,4991	4,03	0,499972			4,93	0,4999996
0,44	0,17	1,34	0,4099	2,24	0,4875	3,14	0,4992	4,04	0,499973			4,94	0,4999996
0,45	0,1736	1,35	0,4115	2,25	0,4878	3,15	0,4992	4,05	0,499974			4,95	0,4999996
0,46	0,1772	1,36	0,4131	2,26	0,4881	3,16	0,4992	4,06	0,499975			4,96	0,4999996
0,47	0,1808	1,37	0,4147	2,27	0,4884	3,17	0,4992	4,07	0,499976			4,97	0,4999997
0,48	0,1844	1,38	0,4162	2,28	0,4887	3,18	0,4993	4,08	0,499977			4,98	0,4999997
													321

Продолжение таблицы Б.6

x	Φ(x)	x	Φ(x)	x	Φ(x)	x	Φ(x)	x	Φ(x)	x	Φ(x)
0,49	0,1879	1,39	0,4177	2,29	0,489	3,19	0,4993	4,09	0,499978	4,99	0,4999997
0,5	0,1915	1,4	0,4192	2,3	0,4893	3,2	0,4993	4,1	0,499979	5	0,4999997
0,51	0,195	1,41	0,4207	2,31	0,4896	3,21	0,4993	4,11	0,49998	5,01	0,4999997
0,52	0,1985	1,42	0,4222	2,32	0,4898	3,22	0,4994	4,12	0,499981	5,02	0,4999997
0,53	0,2019	1,43	0,4236	2,33	0,4901	3,23	0,4994	4,13	0,499982	5,03	0,4999998
0,54	0,2054	1,44	0,4251	2,34	0,4904	3,24	0,4994	4,14	0,499983	5,04	0,4999998
0,55	0,2088	1,45	0,4265	2,35	0,4906	3,25	0,4994	4,15	0,499983	5,05	0,4999998
0,56	0,2123	1,46	0,4279	2,36	0,4909	3,26	0,4994	4,16	0,499984	5,06	0,4999998
0,57	0,2157	1,47	0,4292	2,37	0,4911	3,27	0,4995	4,17	0,499985	5,07	0,4999998
0,58	0,219	1,48	0,4306	2,38	0,4913	3,28	0,4995	4,18	0,499985	5,08	0,4999998
0,59	0,2224	1,49	0,4319	2,39	0,4916	3,29	0,4995	4,19	0,499986	5,09	0,4999998
0,6	0,2257	1,5	0,4332	2,4	0,4918	3,3	0,4995	4,2	0,499987	5,1	0,4999998
0,61	0,2291	1,51	0,4345	2,41	0,492	3,31	0,4995	4,21	0,499987	5,11	0,4999998
0,62	0,2324	1,52	0,4357	2,42	0,4922	3,32	0,4995	4,22	0,499988	5,12	0,4999998
0,63	0,2357	1,53	0,437	2,43	0,4925	3,33	0,4996	4,23	0,499988	5,13	0,4999999
0,64	0,2389	1,54	0,4382	2,44	0,4927	3,34	0,4996	4,24	0,499989	5,14	0,4999999
0,65	0,2422	1,55	0,4394	2,45	0,4929	3,35	0,4996	4,25	0,499989	5,15	0,4999999
0,66	0,2454	1,56	0,4406	2,46	0,4931	3,36	0,4996	4,26	0,49999	5,16	0,4999999
0,67	0,2486	1,57	0,4418	2,47	0,4932	3,37	0,4996	4,27	0,49999	5,17	0,4999999
0,68	0,2517	1,58	0,4429	2,48	0,4934	3,38	0,4996	4,28	0,499991	5,18	0,4999999
0,69	0,2549	1,59	0,4441	2,49	0,4936	3,39	0,4997	4,29	0,499991	5,19	0,4999999
0,7	0,258	1,6	0,4452	2,5	0,4938	3,4	0,4997	4,3	0,499991	5,2	0,4999999
0,71	0,2611	1,61	0,4463	2,51	0,494	3,41	0,4997	4,31	0,499992	5,21	0,4999999
0,72	0,2642	1,62	0,4474	2,52	0,4941	3,42	0,4997	4,32	0,499992	5,22	0,4999999
0,73	0,2673	1,63	0,4484	2,53	0,4943	3,43	0,4997	4,33	0,499993	5,23	0,4999999
0,74	0,2704	1,64	0,4495	2,54	0,4945	3,44	0,4997	4,34	0,499993	5,24	0,4999999
0,75	0,2734	1,65	0,4505	2,55	0,4946	3,45	0,4997	4,35	0,499993	5,25	0,4999999
0,76	0,2764	1,66	0,4515	2,56	0,4948	3,46	0,4997	4,36	0,499993	5,26	0,4999999
0,77	0,2794	1,67	0,4525	2,57	0,4949	3,47	0,4997	4,37	0,499994	5,27	0,4999999
0,78	0,2823	1,68	0,4535	2,58	0,4951	3,48	0,4997	4,38	0,499994	5,28	0,4999999
0,79	0,2852	1,69	0,4545	2,59	0,4952	3,49	0,4998	4,39	0,499994	5,29	0,4999999
0,8	0,2881	1,7	0,4554	2,6	0,4953	3,5	0,4998	4,4	0,499995	5,3	0,4999999
0,81	0,291	1,71	0,4564	2,61	0,4955	3,51	0,4998	4,41	0,499995	5,31	0,4999999
0,82	0,2939	1,72	0,4573	2,62	0,4956	3,52	0,4998	4,42	0,499995	5,32	0,4999999
0,83	0,2967	1,73	0,4582	2,63	0,4957	3,53	0,4998	4,43	0,499995	5,33	0,5
0,84	0,2995	1,74	0,4591	2,64	0,4959	3,54	0,4998	4,44	0,499995	5,34	0,5
0,85	0,3023	1,75	0,4599	2,65	0,496	3,55	0,4998	4,45	0,499996	5,35	0,5
0,86	0,3051	1,76	0,4608	2,66	0,4961	3,56	0,4998	4,46	0,499996	5,36	0,5
0,87	0,3078	1,77	0,4616	2,67	0,4962	3,57	0,4998	4,47	0,499996	5,37	0,5
0,88	0,3106	1,78	0,4625	2,68	0,4963	3,58	0,4998	4,48	0,499996	5,38	0,5
0,89	0,3133	1,79	0,4633	2,69	0,4964	3,59	0,4998	4,49	0,499996	5,39	0,5

Например, требуется определить вероятность того, что нормально распределенная нормированная случайная величина z примет значение в интервале от 0 до 1,33. Имеем (в табл. Б.6 выделено жирным шрифтом):

P(0 < z <1,33) = Φ(1,33) = 0,4082 .

На графике это выглядит так (рис. Б.2):

322

Рис. Б.2 – Графическая иллюстрация работы с таблицей Б.6

Полученный результат P(0 < z <1,33) = 0,4082 можно проиллюстрировать и с помощью функции Гаусса ϕ(x) (табл. Б.5). Число 0,4082 – величина площади криволинейной трапеции, расположенной под кривой плотности нормированного нормального распределения (рис. Б.3).

Рис. Б.3 – Графическая иллюстрация работы с таблицей Б.6

по функции Гаусса

Напомним, что интегральная функция Лапласа – нечётная, т.е. Φ(−x) = −Φ(x) . Кроме того, эта функция связана с функцией распределения нормированной нормальной случайной величины

F (x) = 1 ∫x e−t 2 / 2 dt

2π −∞

следующим соотношением:

F(x) = Φ(x) + 0,5 .

323

Навчальне видання

Христіановський Вадим Володимирович, Нескородєва Тетяна Василівна, Полшков Юліан Миколайович

Економіко-математичні методи і моделі: практика застосування в курсових і дипломних роботах

Редактор Т.О. Важеніна

Компьютерна верстка Н.Л. Попова

План вид. 2012 р., поз. № 225

Підписано до друку 20.02.2012 р. Формат 60 х 84/16. Папір офсетний.

Друк – цифровий. Умовн.-друк. арк. 18,83. Тираж 300 прим. Зам. №203.

Видавництво Донецького національного університету 83001, м. Донецьк, вул. Університетська, 24.

Свідоцтво про внесення суб’єкта видавничої справи до Державного реєстру

серія ДК №1854 від 24.06.2004 р.