Работа 6.1. Составление вариационного ряда. Вычисление средней арифметической и коэффициента вариации

ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Чтобы получить представление о размахе модификационной изменчивости изучаемого признака (например, длины или ширины листовой пластинки вяза), необходимо составить вариационный ряд. С этой целью измеряют, например, длину и ширину 50 листовых пластинок вяза с точностью до 1 мм и получают варианты – возможные значения изучаемого признака, которые обозначают буквой Х или Y:

Полученные варианты располагают в порядке их возрастания (см. образец представления данных в табл.9). Так, в вышеприведенном примере длина листа варьирует от 81 до 101, а ширина – от 63 до 83 мм, и в возрастающем порядке варианты записаны в табл.5. Каждое значение признака встречается неодинаковое число раз. Число, указывающее, сколько раз повторяется каждое значение признака в данном вариационном ряду, называется частотойи обозначается буквойf.

Таким образом, вариационный ряд представляет собой такой ряд данных, в котором указаны значения варьирующего признака в порядке возрастания или убывания, а также соответствующие их частоты. Из представленных данных видно, что чаще всего встречаются варианты, находящиеся в середине ряда, реже – в начале и в конце ряда.

Таблица 5

Два вариационных ряда, характеризующих длину и ширину листьев вяза

Длина листа, мм (варианты Х)	Число листьев (частоты f)	Ширина листа, мм (варианты Y)	Число листьев (частоты f)
81	2	63	2
83	7	65	7
86	10	67	10
87	12	71	12
88	10	75	10
95	7	77	5
101	2	81	2
		83	2

n=∑f=50n=∑f=50

Имея вариационный ряд, можно получить достаточно полную характеристику изучаемого признака. Для этого необходимо вычислить следующие статистические показатели: среднюю арифметическую, стандартное отклонение (или среднее квадратическое отклонение), коэффициент вариации, или изменчивости, ошибку средней арифметической.

Средняя арифметическаяхарактеризует величину признака всей совокупности изучаемых растений и обозначается буквойх. Вычисляют среднюю арифметическую вариационного ряда по формуле:

∑ Х^.f

х =---------------;

n

где: х – средняя арифметическая,

f – частота встречаемости варианта,

Х – варианты,

∑ - знак суммы,

n – сумма частот, то есть общий объем выборки.

Для подсчетов следует воспользоваться табл. 5. Таким образом, средняя арифметическая длины листа равна 87,88 мм. Эта величина наиболее характерна для данной выборки.

Для характеристики вариационных рядов большое значение имеют также следующие средние величины: мода – Мо и медиана – Ме. Модальным называется класс, обладающий наибольшей частотой; значение его называется модой. В нашем примере модальным является класс со средним значением 87.

Медианой называется значение варианты, находящейся посередине вариационного ряда, т.е. разделяющей его пополам. В данном случае медиана совпадает с модой и равна 87. При четном числе классов, как в другом вариационном ряду – ширина листовой пластинки, нужно сложить значение вариант двух центральных классов и сумму их разделить пополам. Таким образом, в нашем примере медиана соответствует значению73.

В ряде случаев рассчитывают не среднюю арифметическую, а среднюю геометрическую по следующей формуле:

log x_геом =1/n · (log x₁ + log x₂ + log x₃ + …+ log x_n) .

По значению log x_геом затем определяется величина x_геом.

Основным критерием для применения средней геометрической является возрастание данного признака не путем арифметического прибавления к первоначальному значению какой-то величины, а в геометрической прогрессии (например, при изучении темпов роста организмов или популяции).

Таблица 6

Вычисление средней арифметической, моды и медианы длины листа вяза

Длина листа, мм (Х)	Число листьев (f)	X·f	X -x	(X -x)^2	(X -x)^2·f
81	8	162	-6,88	47,33	378,64
83	17	581	-4,88	23,81	404,77
86	26	860	-1,88	3,53	91,78
87	28	1044	-0,88	0,77	21,56
88	14	880	0,12	0,01	0,14
95	7	665	7,12	50,69	354,83
101	2	202	13,12	172,13	344,26
	n=Σf=50	Σ=4394			Σ=1595,98

∑ Хf 4394

х = --------- = ------- = 87,88; Мо = 87; Ме = 87.

n 50

Средняя арифметическая не отражает степени изменчивости признака у данной группы особей, сорта и т.д. Для характеристики изменчивости используют стандартное (среднее квадратическое) отклонение. Оно обозначается буквой σ; это число выражается в тех же единицах, что и средняя арифметическая. Стандартное отклонение вычисляем по формуле:

 (Х-х)^2.f 1595,98

σ =  --------------- =  -------- =  32,571= 5,71 (мм).

n-1 49

Это означает, что по длине каждый лист в среднем отличается от средней арифметической х на 5,71 мм.

Стандартное отклонение иногда называют ошибкой отдельного варианта, так как, зная значение х и σ для данного вариационного ряда, можно определить, относится ли данная особь к этому ряду. Она может относиться к данному ряду с вероятностью 99%, если ее отклонение от средней арифметической не превышает 3σ. В рассматриваемом примерех = 87,88; σ = 5,71, наибольшее значение варианта равно 101, наименьшее – 81. Отклонение составит 101 - 87,88=+13,12; 81- 87,88= - 6,88.

Так как отклонения наибольшего и наименьшего вариантов от средней арифметической не превышают 3σ, то есть 17,13, то все особи относятся к данному вариационному ряду. Следовательно, пределы модификационной изменчивости определяются значениями х3σ.

Для сравнения изменчивости разных признаков у особей одной выборки (например, у растений одного сорта) или изменчивости одного и того же признака у разных сортов, а также, чтобы иметь возможность судить о степени выровненности изучаемого материала, вычисляют коэффициент вариации(V):

σ

V = ---  100%.

х

В нашем примере:

5,71

V = -------  100% = 6,5%.

87,88

Чтобы сравнить размах изменчивости различных признаков у растений одного и того же сорта, следует вычислить стандартное отклонение (σ) и коэффициент вариации (V) для этих признаков.

Чем больше коэффициент вариации того или иного признака, тем более он изменчив под действием внешних условий.

Ошибка средней арифметической обозначается S_х. Она показывает, какую допустили ошибку, считая, что средняя арифметическая выборки равна средней арифметической генеральной совокупности. Ошибку средней арифметической вычисляют по формуле:

σ

S_х = -------- .

n

В нашем примере:

5,71

S_х = -------- = 0,81 (мм).

50

После вычисления ошибки средней арифметической можем сказать, что у вяза, изучавшегося нами, средняя длина листа равна 87,880,81мм.

Данные, полученные в результате статистического изучения тех или иных признаков, заносят в сводную таблицу (табл.7).

Таблица 7

Изменчивость признаков листовой пластинки вяза

Растение	Изучаемый признак	Статистический показатель
		х	σ	V	Sх	х Sх
Вяз	Длина листа, мм	87,88	5,71	6,5	0,81	87,880,81
	Ширина листа, мм
	Количество крупных жилок

При определении степени взаимосвязи двух случайных величин, XиY, вычисляюткоэффициент корреляции(r) по следующей формуле:

 (x_i – x) · (y_i - y)

r = ------------------------------

  (x_i-x)²·(y_i-y)²

Если величина rимеет знак «+», то корреляционная связь – положителная, если знак «-» - то связь отрицательная. Считается, что:

при r0,3 – корреляция отсутствует,

при 0,3 r0,5 – корреляция слабая,

при 0,5 r0,7 – корреляция средняя,

при 0,7 r0,9 – корреляция сильная,

при 0,9 r1,0 – корреляция значительная.

Для удобства расчета данные заносят в следующую таблицу:

Таблица 8

Представление данных для вычисления коэффициента корреляции

Номер пары	xi	yi	xi-x	(xi–x)^2	yi-y	(yi–y)^2	(xi–x) · * (yi–y)
1
2
…
n
	 xi= …	 yi= …		(xi– x)^2= …		(yi – y)^2= …	(xi– x) *(yi – y)= …

ПОДГОТОВКА К ЗАНЯТИЮ (ОСУЩЕСТВЛЯЕТСЯ ЛАБОРАНТОМ). Летом необходимо собрать листья вяза с одного дерева и высушить их между листами бумаги под прессом.

ЗАДАНИЕ. Замерьте длину, ширину и число крупных зубчиков листовой пластинки вяза. Измерения проводить с точностью до 1 мм.

Запишите данные по всем трём признакам для каждого листа отдельнов виде единой таблицы по следующему образцу:

Таблица 9

Образец представления первичных данных по изменчивости листьев вяза

Длина листа, мм	81	81	83	…
Ширина листа, мм	63	63	65	…
Количество зубчиков	19	19	21	…

Рассчитайте средние арифметические, определите моды и медианы для каждого из трёх признаков. Данные представьте в виде трёх отдельных таблиц (по аналогии с табл. 6).

Рассчитайте стандартное отклонение, коэффициент вариации, ошибку средней арифметической по каждому из показателей. Данные представьте в виде таблиц (по аналогии с табл.7).

Сформулируйте и запишите вывод о степени изменчивости и сравните размах модификационной изменчивости каждого из признаков.

Представьте в виде двух отдельных таблиц (по аналогии с табл. 8) данные для расчёта коэффициентов корреляции между длиной листа (x) и числом зубчиков (z), а также между длиной (x) и шириной листа (y). Рассчитайте коэффициенты корреляции между этими двумя парами признаков.

Запишите этот расчет и сделайте письменное заключение о наличии и степени взаимосвязи двух пар признаков (длины листа и количества зубчиков; длины и ширины листа).