Rudenko_O.G.Teormeh_1

Технічна механіка

n		MAy – F sinα . АВ = 0;
∑M y (Frk ) = 0	;
k =1
n
∑Mz (Frk ) = 0		MAz = 0.
k =1

Розв’язавши цю систему рівнянь, одержимо:

XА=20,7 кН,	YА= - 27,6 кН,	ZА= - 36 кН,
MAx= 57,6 кНм,	MAy= 43,2 кНм,	MAz= 0.
Задача 4.16.

G = 4кН F = 2кН

S1=?

S6=?

Однорідна квадратна плита вагою G утримується в горизонтальному положенні за допомогою шести стержнів. Знайти зусилля в стержнях, якщо в точці D вдовж діагоналі DB діє сила F. Стержні невагомі, на

кінцях мають шарнірні з’єднання (рис. 4.24). Розглянемо рівновагу плити ABCD. Для неї в’язями є стержні 1-6. Реакції цих стержнів напрямлені по стержнях. Напрями дії реакцій стержнів показані на рис. 4.24. Початок координат виберемо в точці А. Маємо довільну просторову систему сил. Перед тим, як записати рівняння рівноваги, знайдемо

деякі кути. Рис. 4.24 Діагональ

A C = a2

+a2

+ a2

= 3a .

Діагональ A C =

2a .

1

a2 +a2 =

1

1

sinα =

a

=

a

=

1

= 0,577 ;

cosα =

A1C1

=

2a

= 0,816

3

A1C

A1C

a 3

3a

sin.α =0,577; cosα =0,816; sin.450=cos450=0,707.

Запишемо рівняння рівноваги:

n

S2cos450- S3 cosα sin 450 – S5 sin 450 - Fcos450= 0; (1)

∑ Fk x = 0 ;

k =1

61

Частина 1. Теоретична механіка

n		F sin 450 – S3cosα cos450= 0;
∑ Fk y	= 0 ;		(2)
k =1
n
∑ Fk z	= 0 ;	- S1 – S2sin450 - S3 sinα - S4 - S5cos450 – S6 - G= 0;	(3)
k =1
n		- S3 sinα a - G a - S4 а- S5 cos450 . a – S6 a = 0;
∑M x (Frk ) = 0 ;			(4)
k =1		2
n		S1a + G a + S3 sinα . a + S5cos450 . a + S6 a = 0;
∑M y (Frk ) = 0;			(5)
k =1		2
n		F sin 450 . a + S5sin450 . a = 0.
∑Mz (Frk ) = 0			(6)

k=1

Зрівняннь (6) і (2) маємо: S5 = - F = -2 кН, S3 = F / cosα = 2,45 кН;

Зрівняння (1): S2 = F = 2 кН;

З рівняння (3): S1+ S4 +S6=-5,41 кН		(7)
З рівняння (4):	S4 + S6 = -2 кН	(8)
З рівняння (5):	S1+S6 = -2 кН	(9)

Підставимо вираз (8) у вираз (7). Маємо S1 = - 3,41 кН. Тоді з виразу (9) S6 = 1,41 кН, а з виразу (7) S4 = -3,82 кН.

Зробимо перевірку: запишемо суму моментів сил відносно осі ОХ1:

∑M X 1 = S1 a2 +S2 sin 450 a2 −S3 sinα a2 −S4 a2 −S5 cos450 a2 −S6 a2

Підставивши числові значення зусиль, визначимо, що ця сума

дорівнює нулю.

Задача 4.17

а =0,5м ; Т1=2 кН Т2=3 кН; G=2 кН α = 450; R1=0.5м R2=0.2 м; b =0.3м

XА=?, YА=?, ZА=?, ХB=?, YB=?, P=?

	Вертикальний вал вагою
	G в точці А має підп’ятник, а
	в точці В – підшипник.
	Паралельні	горизонтальні
	гілки пасу, що на шківі,
	мають сили натягу Т1 і Т2.
	Вони	складають	з
				Рис. 4.25

62

Технічна механіка

горизонтальною віссю CY кут α . Вал перебуває в рівновазі завдяки дії вантажу вагою Р. Знайти реакції підшипника і підп’ятника, а

також силу Р (рис. 4.25).
Розглянемо рівновагу вертикального вала АВС.				Для	нього
в’язями є підшипник у точці В (складові реакції				ХB,	YB) і
підп’ятник А (складові реакції ХА, YА, ZА).
Запишемо рівняння рівноваги
n
∑ Fk x	=0;	-Т1 sinα - Т2 sinα + ХB + ХА = 0			(1)
k=1
n
∑ Fk y	= 0 ;	(Т1+Т2) cosα +YB+YА + Р = 0			(2)
k =1
n
∑ Fk z	= 0 ;	ZА - G= 0			(3)
k =1
n		YB. a+Р.(а+b)+ YА . (а+b+а) = 0
∑M x (Frk ) = 0 ;					(4)
k =1
n		- ХB . a - ХА . (а+b+а) = 0
∑M y (Frk ) = 0;					(5)
k =1
n		(Т2 – Т1) R1 - P . R2= 0
∑Mz (Frk ) = 0					(6)
k =1
Розв’язавши цю систему рівнянь, одержимо:
XА=- 2,21 кН,		ХB= 5,74 кН,	Р = 2,5 кН,
YА= 1,28 кН,		YB= - 7,3 кН,	ZА = 2 кН.

63

Частина 1. Теоретична механіка

4.5. Задачі для самостійної роботи

Задача 4.18. Знайти силу F, за якої момент у жорсткому защемлені А дорівнює 40 кНм, якщо інтенсивність розподіленого навантаження q=2 кН/м, α=30˚ (рис. 4.26)

Відповідь : F =7 кН.

Задача 4.19. Знайти опорні реакції балки СD, якщо F=8 кН,

М=16 кНм, q=2 кН/м, α=30˚(рис. 4.27).

Відповідь :YА=7,73 кН, ХВ=4 кН, YВ=5,2 кН.

Рис. 4.26

Рис. 4.27

Задача 4.20. На колінчастий важіль діють сили Р1 =100 Н, Р2=150 Н, Р3=200 Н. Знайти силу Р, необхідну для врівноваження важеля, і величину реакції шарніра А. Вагою важеля знехтувати

(рис. 4.28).

Відповідь: Р=110 Н, RА=266 Н.

Задача 4.21. (рис. 4.29). Однорідний стержень ОА вагою Р, закріплений шарнірно в точці О, утримується в положенні рівноваги за допомогою троса, перекинутого через гладкий блок В, на кінці якого є вантаж Q. Знайти кут β між стержнем ОА і горизонтом, та реакцію шарніра О, якщо Р=200 Н, Q=100 Н, а кут

α=60°.

Відповідь: β=30°, Х0=−50 3 Н, Y0=150 Н.

64

Технічна механіка

Рис. 4.28

Рис. 4.29

Задача 4.22 Знайти зусилля в стержні 2, якщо сила F=200 Н. (рис. 4.30).

Відповідь: S2=-100 Н.

Задача 4.23. Знайти зусилля в стержнях ферми, якщо F1=40 кН, F2=120 кН (рис. 4.31).

Відповідь: S1=63,2 кН, S2=126,4 кН, S3=-60 кН, S4=-60 кН, S5=0, S6=-63,2 кН, S7=-40 кН.

Рис. 4.30

Рис. 4.31

Задача 4.24. Балка АD складається з двох балок АС і СD, з’єднаних між собою шарніром у точці С. У точці D балка СD підтримується невагомим стержнем DЕ, що має на кінцях шарнірні з’єднання. Знайти реакції в опорах А і В та зусилля в стержні DE,

якщо F=12 кН. (рис. 4.32).

Відповідь: ХА=0, YА=-4 кН, RВ=12 кН, Т=4 кН.

65

Частина 1. Теоретична механіка

Задача 4.25. (рис. 4.33).Однорідна балка ВС має вагу 3 кН, а однорідна балка АС – вагу 1,5 кН. Вантаж Q вагою 0,9 кН через трос діє на балку АС, причому АЕ=ЕС. Знайти реакції опор А, В, D і реакцію шарніра С.

Відповідь: ХА=1,53 кН, YD=1.96 кН, ХB=-0,9 кН, YB=1,01 кН, ХC=±0,9 кН, YC=±0,03 кН,

Рис. 4.32

Рис. 4.33

Задача 4.26.

Уздовж ребер куба зі стороною а спрямовані сили F1=F2=F3=F4=F. Привести цю систему сил до простішого вигляду (рис. 4.34).

Відповідь: Динама. R = 2P ;

	M =	2Pa
	Рівняння центральної осі
			Рис. 4.34
	у=а,	х+z=2а

Задача 4.27.

На колінчастий вал (рис. 4.35) діє шатун з силою F=12 кН, напрямленою перпендикулярно до шийки вала під кутом 750 до вертикалі. Нехтуючи вагою вала,

66	Рис. 4.35

Технічна механіка

знайти реакції підшипників А і В та момент М пари сил, яку необхідно прикласти до маховика С вагою Q=4,2 кН, щоб вал був у рівновазі.

Відповідь:
YА= 4,97 кН;	ZА= - 2.53кН;
YB= 6.63 кН;	ZB= 3.62 кН;
М= 1,16 кНм.
Задача 4.28.
Вертикальний		стержень ОА і
горизонтальні стержні ВС і DE
розміщені взаємно		перпендикулярно
один до другого (рис. 4.36). У точках
С і Е на стержні діють сили F1=300 Н і
F2=400 Н. Нехтуючи вагою стержнів,
знайти тиск стержнів на підшипник А
і підп’ятник	О,	якщо ВС=0,16м,	Рис. 4.36

АD=0,2м,	ОВ=0,18м,	ВD=0,22м,
DЕ=0,20м.
Відповідь:
NAx=114.3H,	NAy=297.6H,
NOx=35.7H,	NOy= 48,8H,
NOz= - 459,8H.

Задача 4.29.

Знайти реакції підшипників вала редуктора, на якому закріплені косозубе колесо і прямозуба шестірня. На колесо діє осьова сила Q1=0,72 кН, радіальна сила Т1=0,6 кН і невідома колова сила F1, а на шестерню – радіальна сила Т2=1,2 кН і колова F2=3,2 кН (рис. 4.37).

Відповідь: ХА= - 5,77 кН;	YА= 0,08 кН; ХB= - 3,83 кН; YВ= 0,52
кН; ZВ= - 0,72 кН;	F1= 6,4 кН.

67

Частина 1. Теоретична механіка

Задача 4.30.

Квадратна плита вагою G=20кН утримується в горизонтальному положенні стержнем СL. У точках А і В плита опирається на підшипники. У точці D діє вертикальна сила Q=10кН. Знайти зусилля в стержні СL і реакції в підшипниках А і В

(рис. 4.38).

Відповідь: S=40кН;
ХА= 10	6 кН;
YА= 0;		ZА= - 10 кН;
YВ= 10 6 кН;		ZВ = 20 кН.

Задача 4.31.

Знайти реакції жорсткого защемлення А (рис. 4.39), якщо

а=1,5м, q=2,5кН/м, М=4кНм, F=1,5кН.

Відповідь: ХА= YА= 0; ZА= 5,25 кН;

MAx= 14,3 кНм; MAy=5,06 кНм;

MAz= 0.

Рис. 4.38

Рис. 4.39

68

Технічна механіка

5. Розрахунково – графічна робота №2 “Визначення реакцій опор складеної конструкції”

Визначити реакції опор і зусилля в проміжному шарнірі для конструкції, що складається з двох тіл.

5.1. Варіанти завдань РГР №2

Схеми конструкцій показані на рисунках 5.3- 5.6. Необхідні числові дані наведені в таблицях 5.1- 5.2. На схемах не показано місцезнаходження опор та точки прикладання

зосереджених сил, пар сил, та ділянки, де розміщене Рис. 5.1

розподілене навантаження.

Ці дані беруть з таблиць. На рисунку 5.1 показано напрями дії сил залежно від кута α, а також показаний напрям дії зосередженого навантаження і пари сил. Задана пара сил з моментом М діє завжди проти ходу годинникової стрілки.

Для даного варіанту за даними, наведеними в таблиці, необхідно побудувати конструкцію з опорами і діючими силами.

Для ілюстрації на рисунку 5.2 побудована конструкція з опорами і діючими на неї силами згідно з варіантом 13.

Рис. 5.2

69

Частина 1. Теоретична механіка

ОПОРА

Таблиця 5.1

Пара

Розподілене

Тип, місце

Зосереджені сили

сил

навантажен-

розташування

uur

ня

β

F

1

F 2

М

q

F1

α1

F2

α2

Варіант

Схема

Точка

Точка

Ділянка

Ділянка

град

кН

град

кН

град

кНм

кН/м

1	1	A,B	-	-	-	5	E	30	6	K	45	4	CL	2	EC
2	1	-	B	A	30	10	E	45	15	D	60	5	LK	4	CL
3	1	-	D	A	0	12	B	60	14	L	45	6	AE	3	EC
4	2	-	A	B	45	8	D	60	4	L	45	4	CB	4	AL
5	2	A,B	-	-	-	4	D	45	8	K	60	6	DL	6	CB
6	2	D	-	A,B	0	10	K	30	12	L	45	4	AL	3	CB
7	3	A,B	-	-	-	7	K	45	8	E	30	6	EC	4	BL
8	3	-	A	B	30	5	E	60	4	L	45	4	KD	6	BL
9	3	-	B	A	0	4	D	30	5	L	60	6	CL	4	KD
10	4	A,B	-	-	-	12	L	30	10	K	45	8	CL	6	AC
11	4	-	A	B	30	10	L	60	12	K	0	4	LD	3	BD
12	4	-	B	A	30	8	D	30	9	L	90	6	BK	4	AC
13	5	A	-	K,B	30	4	L	45	5	D	90	6	DB	4	AK
14	5	-	A	B	30	3	L	60	4	D	120	5	CD	5	LC
15	5	-	B	A	30	6	K	120	5	D	0	4	AK	3	KL
16	6	A,B	-	-	-	8	D	45	7	E	90	6	CD	5	KB
17	6	-	A	B	45	10	D	0	9	E	60	8	CE	7	AD
18	6	-	B	A	30	12	E	90	10	K	45	12	EK	8	BK
19	7	A,B	-	-	-	4	K	180	3	L	0	2	KC	2	BL
20	7	-	A	B	30	6	D	0	4	L	45	2	CL	2	KD
21	7	-	B	A	0	8	K	45	6	L	30	4	AD	4	BL
22	8	D,B	-	-	-	5	A	60	4	L	45	3	BK	2	AD
23	8	-	B	D	0	16	D	45	14	L	0	10	CL	8	DC
24	8	A,B	-	-	-	20	D	30	18	K	45	16	DC	10	BK
25	9	A	-	B,D	0	18	E	30	16	L	45	10	CD	6	KL
26	9	B	-	A,D	0	8	E	0	6	L	90	6	CD	4	LC
27	9	D	-	A,B	0	6	E	45	4	K	30	2	CD	2	BC
28	10	A,D	-	-	-	4	L	45	3	B	30	2	CD	2	AL
29	10	D	-	A,B	0	5	L	60	0	-	-	4	AЕ	4	CD
30	10	B	-	A,D	0	12	L	45	0	-	-	10	CD	8	AL

70