2.2. Методы создания плановых геодезических сетей

В геодезических сетях принято выделять пункты двух типов. Пункты с известными координатами (известным положением в пространстве) являются исходными, а все остальные - определяемыми. Получение каталогов (списков) координат определяемых пунктов является в конечном итоге основной целью построения геодезических сетей. Однако сами координаты можно получить только из вычислений, например, в результате решения, так называемых, прямых геодезических задач. При этом необходимо, чтобы выполнялись два условия.

Во-первых, были заданы исходные данные, которые хотя бы однократно определяли местоположение, масштаб и ориентировку геодезической сети в выбранной системе координат. Местоположение задается координатами хотя бы одного исходного пункта, масштаб – длинной какой-либо стороны, а ориентировка какими-либо ориентирующими углами, например, дирекционным углом. Таким образом для системы плоских прямоугольных координат нужны либо координаты двух исходных пунктов (x₁,y₁,x₂,y₂), либо координаты одного исходного пункта (х₁,у₁), дирекционный угол ₁₂ и расстояние между пунктами S₁₂.

Действительно в первом способе задания исходных данных также содержится масштаб и ориентировка, но в неявном виде. В доказательство сказанному можно выполнить аналитический переход от второго способа к первому и наоборот. В геодезии эти переходы называются решением прямой и обратной геодезических задач.

Рис.2. Прямая и обратная геодезические задачи

В прямой геодезической задаче по известным плоским прямоугольным координатам x₁ и y₁ пункта К₁ , дирекционному углу ₁₂ и расстоянию S₁₂ необходимо вычислить плоские прямоугольные координаты x₂ и y₂ пункта К₂. Эти координаты можно получить по формулам (рис. 2)

x₂=x₁+x₁₂, y₂=y₁+y₁₂. (1)

В свою очередь приращения координат x₁₂ и y₁₂ являются катетами прямоугольного треугольника К₁К₂К₃. Поэтому они равны произведениям (рис. 2)

x₁₂=S₁₂Cos₁₂ , y₁₂=S₁₂Sin₁₂ . (2)

Обратная геодезическая задача состоит в вычислении дирекционного угла ₁₂ расстояния S₁₂ по известным координатам двух пунктов. В этом случая сначала необходимо определить разности координат x₁₂ и y₁₂

x₁₂=x₂-x₁, y₁₂=y₂-y₁ . (3)

С геометрической точки зрения эти разности, как уже отмечалось выше, есть катеты прямоугольного треугольника К₁К₂К₃ (рис. 2). Решение этого треугольника по формулам плоской тригонометрии позволяет определить его гипотенузу и один из углов, являющийся дирекционным углом. Таким образом

₁₂=arctg(y₁₂/x₁₂), (4)

S₁₂= . (5)

Второе условие заключается в том, чтобы на местности было выполнено какое-то количество необходимых измерений, позволяющих однократно вычислить координаты определяемых пунктов. Количество небходимых измерений равно числу параметров t, которое на плоскости при измерении углов и расстояний определяется как удвоенное число 2k определяемых пунктов.

Однако, как правило, в геодезических сетях выполняется измерений больше, чем необходимо. Количество избыточных измерений r равно разности всех произведенных n и необходимых измерений

r = n - t. (6)

Все наблюдения сопровождаются ошибками. Наличие избыточных измерений позволяет выявлять присутствие этих ошибок в виде невязок различных геометрических условий. Невязки позволяют контролировать качество полевых измерений. С другой стороны, избыточность измерений, отягощенных ошибками, приводит к неоднозначностям в вычислении координат определяемых пунктов, длин сторон, дирекционных углов. Устранение этих неоднозначностей (невязок) является основной целью, так называемых, уравнительных вычислений или уравнивания. Кроме того, уравнивание позволяет повысить точность геодезической сети. Поэтому при сравнении различных методов создания геодезических сетей предпочтение обычно отдается тому, где больше избыточных измерений при прочих равных показателях.

При создании плановых геодезических сетей используются три основных метода: триангуляция, полигонометрия и трилатерация, а также их сочетания друг с другом.

Триангуляция

Рис.3. Схема сети триангуляции

При применении метода триангуляции на местности строится сеть треугольников, в вершинах которых должны располагаться геодезические пункты. На этих пунктах теодолитом измеряются горизонтальные углы. Кроме этого, должна быть известна длинна хотя бы одной из сторон этих треугольников. Такая сторона может измеряться светодальномером или вычисляться по формуле (5) по координатам исходных пунктов. Предположим, что в геодезической сети, изображенной на рисунке (рис.3) два пункта К₁ и К₂ являются исходными, а остальные четыре К₃-К₆ – определяемыми, т.е. пунктами, координаты которых необходимо вычислить. Для решения этой задачи в изображенной на рисунке сети (рис. 3) измерены 15 горизонтальных углов в пяти треугольниках. Технологическую схему получения координат определяемых пунктов К₃-К₆ можно представить следующей последовательностью:

1.На первом этапе необходимо вычислить дирекционный угол ₁₂ и длину S₁₂ исходной стороны путем решения обратной геодезической задачи по формулам (4), (5). Если эти величины заданы, то первый этап вычислений выполнять не нужно.

2.Второй этап технологической схемы заключается в последовательном решении треугольников по теореме синусов и вычислении длин сторон. Например, для треугольника K₁K₂K₃ теорема синусов будет иметь вид

. (7)

Решение уравнения (7) относительно неизвестных S₁₃ и S₂₃ дает

S₁₃=, S₂₃=. (8)

3.На заключительном этапе необходимо вычислить плоские прямоугольные координаты определяемых пунктов, последовательно решая, так называемые, прямые геодезические задачи. Так, для пункта K₃ координаты можно получить по формулам

x₃ = x₁ + , .(9)

В свою очередь приращения координат будут равны произведениям расстояния S₁₃ на косинус или синус дирекционного угла

, .(10)

Значение дирекционного угла можно получить, используя дирекционный угол исходной стороныи измеренный на местности горизонтальный угол(рис. 3)

. (11)

Плоские прямоугольные координаты остальных определяемых пунктов можно вычислить, решая прямые геодезические задачи по другим сторонам сети триангуляции (например, по сторонам К₁К₅, К₃К₄, К₃К₆).

К достоинствам метода триангуляции обычно относят:

1.Возможность создать геодезическую сеть, равномерно покрывающую территорию. Это означает, что в любом месте изучаемого объекта количество пунктов на единицу площади будет примерно одинаково. Наличие такой сети облегчает, в свою очередь, ее последующее сгущение и выполнение топографической съемки.

2.Большое по сравнению с другими методами построения количество избыточных измерений. Каждое избыточное измерение, как было отмечено ранее, позволяет проверить соблюдение какого-либо геометрического условия. Например, в геодезической сети, изображенной на рисунке (рис.3) сумма горизонтальных углов, измеренных в каждом из треугольников, должна равняться 180 градусам, сумма углов, измеренных на пункте К₃ и покрывающих горизонт, должна давать 360 градусов и т.д. Всего в приведенном примере количество избыточных измерений r равно семи.

Из-за того, что все измерения сопровождаются ошибками, геометрические условия строго выполняться не будут. Появятся какие-то несогласованности, которые в геодезии принято называть невязками. Эти невязки можно нормировать в зависимости от вида геометрического условия, класса точности полевых измерений, формы геодезической сети. Нормированные невязки называются допустимыми.

Сравнение вычисленных по результатам полевых измерений невязок с допустимыми позволяет судить о качестве выполненных работ. Если все невязки не превышают допустимых значений, то считается, что полевые измерения выполнены качественно. В противном случае какую-то часть полевых измерений необходимо повторить заново. К сожалению, математическая обработка не позволяет, как правило, точно указать местоположение некачественных измерений в геодезической сети. Однако в триангуляции имеется возможность значительно сузить круг "подозреваемых" наблюдений и тем самым значительно уменьшить временные и денежные затраты на повторные измерения. Например, если в треугольнике К₁К₂К₃ невязка превысила допустимую, то необходимо повторно измерить только три угла максимум, а не все 15.

В большом количестве избыточных измерений и возможности многократно проконтролировать их качество с помощью невязок геометрических условий и заключается второе достоинство этого метода. Такое свойство геодезической сети геодезисты часто называют жесткостью конструкции.

3.Большое количество избыточных измерений позволяет существенно повысить точность вычисления координат после выполнения специального этапа математической обработки называемого уравниванием.

Триангуляция, как метод построения геодезической сети, имеет два основных недостатка:

1.При выполнении геодезических измерений на большие расстояния (несколько километров или десятков километров), как правило, нет видимости с поверхности Земли. Для обеспечения видимости по нужным направлениям приходится поднимать людей, их инструменты, визирные цели над Землей на какую-то высоту, а для этого на пунктах геодезической сети приходиться строить некие искусственные сооружения, которые называются знаками. В триангуляции обычно большое количество связей, поэтому трудно минимизировать высоты знаков, а, следовательно, и затраты на их постройку.

2.Процесс угловых измерений поддается автоматизации труднее, чем процесс измерения расстояний.

Полигонометрия

Создание геодезической сети методом полигонометрии заключается в проложении на местности ломаной линии, которая называется полигонометрическим ходом. В вершинах этой ломаной линии должны располагаться пункты геодезической сети (рис.4). На пунктах полигонометрического хода должны

Рис. 4. Схема "висячего" хода полигонометрии

измеряться горизонтальные углы _i и расстояния S_ij. На рисунке (рис. 4) показан ход полигонометрии, в котором измерены четыре горизонтальных угла (₁, ₂, ₃, ₄) и четыре расстояния (S₁₃, S₃₄, S₄₅, S₅₆). Местоположение и ориентировка данной геодезической сети заданы плоскими прямоугольными координатами x,y двух исходных пунктов К₁ и К₂. Горизонтальный угол ₁, измеряемый на исходном пункте К₁ между исходной и определяемой сторонами, называется примычным. В таком полигонометрическом ходе необходимо получить координаты остальных четырех пунктов К₃, К₄, К₅ и К₆. Технологию вычисления плоских прямоугольных координат для рассматриваемого случая можно представить следующим образом:

1.Так как ориентировка нашего хода задана в неявном виде, то на первом этапе необходимо получить дирекционный угол исходной стороны ₁₂ по формулам (3), (4).

2.Второй этап технологической цепочки заключается в вычислении координат определяемых пунктов К₃, К₄, К₅, К₆ путем последовательного решения прямых геодезических задач по формулам (9), (10), (11).

Достоинства метода полигонометрии можно сформулировать следующим образом:

1.Этот метод более гибкий по сравнению с триангуляцией, что позволяет выбрать такое местоположение определяемых пунктов, которое наиболее удобно для производства работ и дальнейшего использования геодезической сети (дорожная сеть, рельеф и т. д.).

2.В полигонометрии, как правило, нужно обеспечить взаимную видимость всего по двум, трем направлениям, поэтому на пунктах такой сети приходиться строить менее высокие, чем в триангуляции, геодезические знаки. Это, в свою очередь, позволяет уменьшить временные и денежные затраты на полевые работы.

3.В этом методе построения возможна автоматизация процессов полевых наблюдений и их последующей математической обработки. Это достоинство проявляется наиболее ярко в том случае, когда расстояния между пунктами и класс точности создаваемой геодезической сети позволяют использовать современные электронные тахеометры.

Рис. 5. Схема хода полигонометрии

Недостатками полигонометрии, как метода создания геодезической сети, считаются:

1.Малое количество избыточных измерений, а, следовательно, меньшая жесткость геометрического построения сети, чем в триангуляции. Так, например, в "висячем" ходе полигонометрии, изображенном на рисунке (рис. 4), вообще нет избыточных измерений. Действительно, здесь измерены восемь величин (четыре угла и четыре расстояния) и число необходимых измерений также равно восьми (четыре определяемых пункта).

2.Координатное обеспечение объекта происходит только в узкой полосе. Следовательно, в этом случае созданная геодезическая сеть не будет равномерно покрывать изучаемую территорию.

Для того, чтобы ослабить негативные последствия первого обстоятельства в геодезическом производстве принято создавать хода полигонометрии, у которых на концах обязательно должны быть исходные пункты. Кроме этого стараются, чтобы на каждом исходном пункте было измерено по два примычных угла. Такой ход полигонометрии показан на рисунке 5. В этом ходе (рис. 5) должно быть измерено уже восемь углов и пять расстояний при таком же, как в первом случае числе параметров. Следовательно, здесь появляется пять избыточных измерений, а значит, есть возможность контроля качества работ и уравнивания результатов полевых наблюдений. Однако, и в этом случае количество избыточных измерений будет меньше, чем в изображенной на схеме (рис. 3) сети триангуляции.

Рис. 6. Схема сети полигонометрии

Для того, чтобы геодезическая сеть более равномерно покрывала заданную площадь геодезисты, как правило, создают системы ходов, в которых есть общие определяемые пункты. Такие пункты называют узловыми. В них должны сходиться не менее, чем три хода. Примером сети полигонометрии может служить система ходов, изображенная на схеме (рис. 6).

Трилатерация

При использовании метода трилатерации на местности должна строиться сеть треугольников (или других более сложных фигур). В вершинах треугольников должны располагаться пункты геодезической сети. Расстояния между пунктами такой сети (стороны треугольников) необходимо измерить светодальномером. На рисунке (рис. 7) показана схема сети трилатерации с таким же количеством и расположением исходных и определяемых пунктов, как в триан-

Рис. 7. Схема сети трилатерации

гуляции (рис. 3). В этой геодезической сети измерены девять расстояний. Для получения плоских прямоугольных координат определяемых пунктов К₃-К₆ обычно используют технологическую схему, включающую три основных этапа:

1.На первом этапе, как и в триангуляции, необходимо вычислить дирекционный угол ₁₂ и длину S₁₂ исходной стороны путем решения обратной геодезической задачи по формулам (4), (5). Если эти величины заданы, то первый этап вычислений выполнять не нужно.

2.Второй этап заключается в определении горизонтальных углов треугольников по известным (измеренным или исходным) длинам сторон. Для этого можно использовать различные формулы плоской тригонометрии. Наиболее часто применяется формула квадрата стороны, которую для треугольника К₁К₂К₃ можно записать следующим образом

. (12)

В этом случае горизонтальный угол ₁ можно вычислить по формуле

₁ = arccos. (13)

3.Третий этап технологической схемы камеральной обработки результатов полевых измерений заключается в вычислении плоских прямоугольных координат определяемых пунктов путем последовательного решения прямых геодезических задач. Для пункта К₃, например, искомые координаты можно вычислить по формулам (9)-(11).

Преимущества метода трилатерации заключаются в следующем:

1.Метод позволяет создавать геодезическую сеть, в которой пункты будут равномерно покрывать изучаемую территорию.

2.При выполнении полевых измерений имеется возможность автоматизации этого процесса.

Однако из-за серьезных недостатков этот метод не находит широкого применения при создании геодезических сетей. В геодезической литературе [16,17] отмечаются три таких недостатка.

1.В трилатерации очень мало (по сравнению с триангуляцией) избыточных измерений, а, следовательно, недостаточно средств для надежного контроля качества полевых измерений и своевременного выявления брака. Например, в геодезической сети, изображенной на рисунке (рис. 7), должно измеряться девять расстояний в то время, как количество необходимых измерений здесь равно восьми. Следовательно, число избыточных измерений здесь всего одно и контроль девяти измерений всего один. Сравните эти показатели с аналогичными для сети триангуляции (рис. 3), где семь избыточных измерений при таком же количестве определяемых пунктов.

2.При выполнении светодальномерных измерений кроме светодальномера необходимо устанавливать специальные геодезические приборы, называемые отражателями, на смежных пунктах. Это обстоятельство, в свою очередь, приводит к увеличению численности полевых бригад и транспортных расходов.

3. Для обеспечения видимости по нужным направлениям приходится строить геодезические знаки, как правило такой же высоты, как в триангуляции. А так, как в трилатерации обычно большое количество связей, то трудно минимизировать высоты знаков, а, следовательно, и затраты на их постройку.

Линейно-угловая сеть.

Линейно-угловой сетью принято называть сеть треугольников, в вершинах которых должны располагаться геодезические пункты. На этих пунктах должны измеряться теодолитом горизонтальные углы и светодальномером – расстояния. В известном смысле линейно-угловая сеть представляет собой комбинацию двух методов: триангуляции и трилатерации. Такой метод позволяет построить на объекте плановую геодезическую сеть с максимальной для наземных технологий точностью.